Пусть число $\usepackage{amsfonts} x \in \mathbb {R}$ . Тогда обозначим через $q_1$ наибольшее целое число, меньшее $x$ . Если $x$ не целое число, то мы получим равенство вида $\displaystyle x = q_1 + \frac{1}{x_1}$ , так как дробь $\displaystyle \frac{1}{x_1} < 1$ , то $x_1>1$ , и тогда аналогично для $x_1$ находим такое целое $q_2 < x_1$ , получаем $\displaystyle x_1 = q_2 + \frac{1}{x_2}$ , возвращаясь к первому равенству $\displaystyle x = q_1 + \frac{1}{\displaystyle q_2 + \frac{1}{x_2}}$ . Продолжая этот процесс будем получать представления последующих $\displaystyle x_k:$

$x_2 = q_3 + \frac{1}{x_3},$

$x_3 = q_4 + \frac{1}{x_4},$

$\ldots$

$x_i = q_{i+1} + \frac{1}{x_{i+1}},$

$\ldots$

В итоге и получим непрерывную дробь:

$\usepackage{amsmath} \begin{multline*} \displaystyle x = q_1 + \frac{1}{\displaystyle q_2+ \frac{1}{q_3+\cdots}} \\ \ddots \\ \cdots + \frac{1}{\displaystyle q_{n-1} + \frac{1}{\displaystyle q_{n}+\frac{1}{x_n}}}. \end{multline*}$

Далее, нам стоит рассмотреть два случая: первый — $\usepackage{amsfonts} x \in \mathbb {Q}$ , т. е. $x$ — рациональное число и второй — $\usepackage{amsfonts} x \in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q}$ , т. е. $x$ — иррациональное число. Почему важны именно эти случаи?

По определению, рациональное число представимо в виде несократимой дроби $\displaystyle \frac{m}{n}$ , где $\usepackage{amsfonts} m \in \mathbb {Z}, \; n \in \mathbb {N}$ , а, значит, и разложение, представленное сверху, должно быть конечным и, более того, может быть получено благодаря алгоритму Евклида.

С иррациональным числом получим ситуацию обратную — процесс можно будет продолжать неограниченно долго т. к. на каждом этапе $x_i$ будет иррационально.

Пусть $x_i$ — иррационально, тогда

$\displaystyle x_i = q_{i+1} + \frac{1}{x_{i+1}},$ сумма

$\displaystyle q_{i+1} + \frac{1}{x_{i+1}}$ — иррациональна, однако

$q_{i+1}$ является целым по определению, которое мы дали ему выше

$\Rightarrow$ дробь

$\displaystyle \frac{1}{x_{i+1}}$ должна быть иррациональной. А это означает, что и

$x_{i+1}$ — иррациональное число.

Т. е. получаем, что иррациональность $x_i$ влечёт за собой иррациональность $x_{i+1}$ , а т. к. изначальное число $x$ — иррационально, то и все $x_j,$ при $j = 1,2,3 \ldots$ — иррациональны.

Как было упомянуто ранее, если $\usepackage{amsfonts} x \in \mathbb {Q}$ , то его разложение в непрерывную дробь можно получить с помощью алгоритма Евклида.

Перед описанием алгоритма стоит ввести понятие неполного частного — это целые числа вида $q_i, \; i = \overline{1,n}$ .

Опишем сам алгоритм:

Суть алгоритма заключается в том, что на каждом шаге мы будем непосредственно получать одно из неполных частных — $q_i$ , а также отношение $\displaystyle \frac{r_{i}}{r_{i-1}}$ (начиная со второго шага).

Пусть нам задано рациональное число, тогда его можно записать в виде несократимой дроби $\displaystyle \frac{m}{n}$ , где $\usepackage{amsfonts} m \in \mathbb {Z}, \; n \in \mathbb {N}$ . Тогда, первый шаг:

$m=nq_1 + r_1 \Rightarrow \displaystyle \frac{m}{n} = q_1 + \frac{1}{\displaystyle \frac{m}{r_1}},$ узнали значение

$q_1$ , а так же получили возможность вычислить значение

$r_1$ . Второй шаг:

$n = r_1q_2+r_2 \Rightarrow \displaystyle \frac{n}{r_1} = q_2 + \frac{1}{\displaystyle \frac{r_1}{r_2}},$ узнали значение

$q_2$ , а так же получили возможность вычислить значение

$r_2$ . Продолжая алгоритм далее:

$r_1 = r_2q_3+r_3 \Rightarrow \displaystyle \frac{r_1}{r_2} = q_3 + \frac{1}{\displaystyle \frac{r_2}{r_3}}, \\ r_2 = r_3q_4+r_4 \Rightarrow \frac{r_2}{r_3} = q_4 + \frac{1}{\displaystyle \frac{r_3}{r_4}},\\ \cdots \\r_{n-2} = r_{n-1}q_n+r_n \Rightarrow \frac{r_{n-2}}{r_{n-1}} = q_n + \frac{1}{\displaystyle \frac{r_{n-1}}{r_n}}, \\ r_{n-1} = r_nq_{n+1}, \frac{r_{n-1}}{r_n} = q_{n+1}.$ Заканчиваем алгоритм тогда, когда получим, что очередная дробь

$\displaystyle \frac{r_{i-1}}{r_{i}}$ будет целым числом и, соответственно,

$q_{i+1}$ будет полным частным.

Так как найдены все неполные частные, то дробь $\displaystyle \frac{m}{n}$ можно представить в виде:

С помощью алгоритма Евклида есть возможность найти разложение в непрерывную дробь, однако, иногда промежуточные результаты важнее конечного, а именно:

$\displaystyle \delta_1 = q_1, \; \delta_2 = q_1 + \frac{1}{q_2}, \; \delta_3 = q1 + \frac{1}{q_2 + \displaystyle \frac{1}{q_3}}, \; \ldots$

$\delta_i$ называются подходящими дробями. Несложно заметить зависимость

$\delta_{i+1}$ от

$\delta_i$ — если в записи

$\delta_i$ число

$q_i$ заменить на сумму

$\displaystyle q_i + \frac{1}{q_{i+1}}$ , то мы получим

$\delta_{i+1}.$

Подходящие дроби будут нас интересовать тем, что они образуют последовательность, которая приближается к изначальному числу. Понятно, что зная все неполные частные (после применения алгоритма Евклида) можно вычислить значения всех подходящих дробей, однако, это не очень удобно и долго.

Введем специальные обозначения для нахождения значений подходящих дробей: $\displaystyle \delta_i = \frac{P_i}{Q_i}$ . При этом положим, что $P_0=1, \; P_1 = q_1$ и $Q_0=0, \; Q_1 = 1$ . Так же стоит отметить, что в силу того, что для рационального числа $\displaystyle x = \frac{m}{n}$ непрерывная дробь конечна, то и количество подходящих дробей будет конечно, а это означает что существует равенство $\displaystyle \frac{m}{n} = \frac{P_i}{Q-i}$ . А так как подходящие дроби так же являются несократимыми, то равенство можно упростить до $m = P_i$ и $n = Q_i$ . Тогда получим, что:

$\displaystyle \delta_1 = \frac{q_1}{1} = \frac{P_1}{Q_1},$

$\delta_2 = q_1 + \frac{1}{q_2} = \frac{q_2 q_1+1}{q_2 \cdot 1 + 0} = \frac{q_2 P_1+P_0}{q_2 Q_1 + Q_0} = \frac{P_2}{Q_2},$

$\delta_3 = q1 + \frac{1}{q_2 + \displaystyle \frac{1}{q_3}} = \frac{q_1 \left( q_2 + \displaystyle \frac{1}{q_3} \right) +1}{q_2 + \displaystyle \frac{1}{q_3}} = \frac{q_1 \left( q_2 q_3 + 1\right)+q_3}{q_2 q_3 +1} =$

$= \frac{q_1 q_2 q_3 + q_1 +q_3}{q_2 q_3} = \frac{q_3 \left( q_1 q_2 + 1 \right) + q_1}{q_3 q_2 + 1} = \frac {q_3 P_2 + P_1}{q_3 Q_2 + Q_1}.$

Несложно заметить рекуррентное выражение для $\displaystyle \frac{P_i}{Q_i}$ :

$P_i = q_i P_{i-1} + P_{i-2} \\ Q_i = q_i Q_{i-1} + Q_{i-2}.$ Докажем это с помощью математической индукции.

База индукции: $\delta_3 = \displaystyle \frac{P_3}{Q_3} = \frac{q_3 P_2 + P_1}{q_3 Q_2 + Q_1}$ .

Предположим, что $\delta_k = \displaystyle \frac{P_k}{Q_k} =\frac{q_k P_{k-1} + P_{k-2}}{q_k Q_{k-1} + Q_{k-2}}$ .

Тогда:

$\delta_{k+1} = \frac{\displaystyle \left(q_k + \frac{1}{q_{k+1}} \right) P_{k-1} + P_{k-2} }{\displaystyle \left(q_k + \frac{1}{q_{k+1}} \right) Q_{k-1} + Q_{k-2}} = \frac {\displaystyle \frac{P_{k-1}}{q_{k+1}} + q_k P_{k-1} + P_{k-2}}{\displaystyle \frac{Q_{k-1}}{q_{k+1}} + q_k Q_{k-1} + Q_{k-2}} =$ (выполним замену по предположению индукции)

$\displaystyle = \frac{\displaystyle \frac{P_{k-1}}{q_{k+1}} + P_k}{\displaystyle \frac{Q_{k-1}}{q_{k+1}} + Q_k} = \frac{P_{k-1} + P_k q_{k+1}}{Q_{k-1} + Q_k q_{k+1}} = \frac{P_{k+1}}{Q_{k+1}},$ что и требовалось доказать.

Имеет место следующее свойство подходящих дробей:

При $n > 0$ имеет место равенство $P_n Q_{n-1} — P_{n-1}Q_n = (-1)^n$ .

Проверим значение левой части при $n = 1$ , получим:

$P_1 Q_0 — P_0 Q_1 = -1,$ далее вычислим значение левой части при увеличении индекса на 1, т. е. при

$n+1,$ получим:

$P_{n+1} Q_n — P_n Q_{n+1} = \left( q_{n+1} P_n + P_{n-1} \right) Q_n — P_n \left( q_{n+1} Q_n + Q_{n-1} \right) = \\ = P_{n-1} Q_n — P_{n} Q_{n-1},$ получили выражение противоположное заданному в условии. А, значит, при изменении индекса на единицу меняется и знак выражения, а т. к. первое значение

$-1$ , то и получаем требуемое.

Примеры решения задач

Рассмотрим примеры задач в которых могут быть использованы непрерывные дроби. Рекомендуется сначала решать примеры самому, а только затем сверить решение с представленным ниже.

Разложить число $\displaystyle x = \frac{89}{13}$ в непрерывную дробь.

Решение

Применяя алгоритм Евклида получим:
$89 = 13 \cdot 6 + 11, \; q_1 = 6;$
$13 = 11 \cdot 1 + 2, \; q_2 = 1;$
$11 = 2 \cdot 5 + 1, \; q_3 = 5;$
$2 = 1 \cdot 2, \; q_4 = 2.$ Нашли все $q_i \Rightarrow$ можем записать $x$ как непрерывную дробь:
$\displaystyle x = 6 + \frac{1}{\displaystyle 1 + \frac{1}{\displaystyle 5 + \frac{1}{2}}}$
Найти все подходящие дроби числа $\displaystyle x = \frac{127}{19}$ .

Решение

Для этого используем рекуррентные формулы подходящих дробей. Воспользуемся алгоритмом Евклида для поиска всех $q_i$ :
$127 = 19 \cdot 6 + 13, \; q_1 = 6;$
$19 = 13 \cdot 1 + 6, \; q_2 = 1;$
$13 = 6 \cdot 2 + 1, \; q_3 = 2;$
$6 = 1 \cdot 6, \; q_4 = 6.$
Далее будем выписывать подходящие дроби в порядке возрастания индекса:
$\displaystyle \delta_1 =\frac{q_1}{1} = \frac{6}{1}$
$\displaystyle \delta_2 =\frac{q_2 P_1 + P_0}{q_2 Q_1 + Q_0} = \frac{1 \cdot 6 + 1}{1 \cdot 1 + 0} = \frac{7}{1},$ продолжая расчеты получим:
$\displaystyle \delta_3 = \frac{2 \cdot 7 + 6}{2 \cdot 1 + 1} = \frac{20}{3}$ и, наконец,
$\displaystyle \delta_4 = \frac{6 \cdot 20 + 7}{6 \cdot 3 + 1} = \frac{127}{19} = x,$ как и ожидалось четвертая подходящая дробь равна заданному числу, т. к. максимальный индекс $q_i$ был равен четырём.
Разложить в непрерывную дробь иррациональное число $\sqrt{7}$ .

Решение

Для этого воспользуемся разложением, которое было представлено в теме первым. А именно

$\displaystyle x_0 = \sqrt{7} = q_1 + \frac{1}{x_1} = 2 + \left( \sqrt{7} — 2 \right)$
$\displaystyle \frac{1}{x_1} = \sqrt{7} — 2 \Rightarrow x_1 = \frac{1}{\sqrt{7}-2} = \frac{\sqrt{7}+2}{3} = 1 + \frac{\sqrt{7}-1}{3} = 1 + \frac{1}{x_2},$
$\displaystyle x_2 = \frac{3}{\sqrt{7}-1} = \frac{3 \left( \sqrt{7} + 1 \right) }{6} = \frac{\sqrt{7}+1}{2} = 1 + \frac{\sqrt{7} — 1}{2} = 1 + \frac{1}{x_3},$
$\displaystyle x_3 = \frac{2}{\sqrt{7}-1} = \frac{2 \left( \sqrt{7} + 1 \right) }{6} = \frac{\sqrt{7}+1}{3} = 1 + \frac{\sqrt{7} — 2}{3} = 1 + \frac{1}{x_4},$
$\displaystyle x_4 = \frac{3}{\sqrt{7} — 2} = \frac{3 \left(\sqrt{7} + 2 \right) }{3} = \sqrt{7} + 2 = 4 + \left( \sqrt{7} — 2 \right).$
Однако, слагаемое вида $\sqrt{7} — 2$ у нас уже было, а значит мы пришли к циклу. Выпишем все неполные частные, они же — целые части дробей. Получим: $\sqrt{7} = \left[2,\: \overline{1, \: 1, \: 1, \: 4} \right]$ — часть чисел находятся под чертой т. к. они находятся в цикле.
Восстановить по заданным $q_i = \left[10, \: 4, \: 3, \: 2, \: 4 \right]$ рациональное число $x$ .

Решение

Для этого воспользуемся разложением, полученным в результате алгоритма Евклида:
Получим дробь:
$10 + \frac{1}{\displaystyle 4 + \frac{1}{\displaystyle 3 + \frac{1}{\displaystyle 2 + \frac{1}{4}}}},$ её значением и будет искомым $x$ . Посчитав значение этой дроби получим, что $\displaystyle x = \frac{1361}{133}.$
Восстановить по заданным $q_i = \left[\overline{2, \: 9} \right]$ иррациональное число $x$ .

Решение

Так как число $x$ — иррациональное, то его непрерывная дробь будет бесконечной, поэтому воспользоваться методом из предыдущего примера не получится. Однако, так как мы видим по данным $q_i$ , что дробь зацикливается, то можем записать следующие выражение:
$\displaystyle x = 2 + \frac{1}{\displaystyle 9 + \frac{1}{x}}$ приведем дробь к квадратному уравнению:
$9x^2 — 18x + 2 = 0,$
$D = 324 + 72 = 396, \; \displaystyle x_{1,2} = 1 \pm \frac{\sqrt{396}}{18}.$ Т. к. целая часть числа равна 2, то вариант $\displaystyle x = 1-\frac{\sqrt{396}}{18}$ можно отбросить. И окончательный ответ:
$\displaystyle x = 1 + \frac{\sqrt{396}}{18}$

Простейшие сведения о непрерывных дробях и их свойствах

Тест на знание темы «Простейшие сведения о непрерывных дробях и их свойствах».

Задание 1 из 6

1.
Какая из данных непрерывных дробей имеет ровно $3$ неполных частных?
- $\displaystyle \frac{415}{94}$
- $\displaystyle \frac{416}{94}$
- $\displaystyle \frac{415}{93}$
- $\displaystyle \frac{416}{93}$
Правильно

Неправильно
Задание 2 из 6

2.
Выберите все дроби, которые являются подходящими для $\displaystyle x = \frac{227}{53}$
- $4$
- $\displaystyle \frac{14}{3}$
- $\displaystyle \frac{17}{4}$
- $\displaystyle \frac{35}{8}$
- $\displaystyle \frac{30}{7}$
Правильно

Неправильно
Задание 3 из 6

3.
Отсортировать числа по убыванию количества их неполных частных.
- $\displaystyle \frac{923}{1089}$
- $\displaystyle \frac{532}{235}$
- $\displaystyle \frac{1039}{57}$
- $\displaystyle \frac{103}{7}$
- $\displaystyle \frac{65}{9}$
Правильно

Неправильно
Задание 4 из 6

4.
Найдите сумму чисел, образующих цикл в представлении числа $x = \sqrt{13}$ как непрерывной дроби.
Правильно

Неправильно

Задание 5 из 6

5.

Сопоставьте иррациональные числа с количеством чисел, которые образуют цикл при представлении данных иррациональных числе в виде непрерывных дробей.

Элементы сортировки

$\sqrt{12}$

$\sqrt{17}$

$\sqrt{29}$

$\sqrt{34}$

Задание 6 из 6

6.
Заполните пропуски
- Если число (рациональное), то количество его неполных частных будет числом конечным, а если (иррациональное), то бесконечным.
Правильно

Неправильно

Смотрите также

Виноградов И.М. Основы теории чисел. cтр. 14-18
Арнольд В.И. Цепные дроби.
Теоретические материалы основанные на конспекте и лекциях Белозерова Г.С.

Задача из журнала «Квант»(1982 год, 6 выпуск)

Условие

a) Докажите, что если $x_1, x_2, x_3$ — положительные числа, то

$\frac{x_1}{x_2 + x_3} + \frac{x_2 }{x_3+x_1} + \frac{x_3}{x_1 + x_2} \ge \frac{3}{2};$ при каком условии то неравенство превращается в равенство?

б) Докажите, что если $x_1, x_2,…,x_n (n ≥ 4)$ — положительные числа, то

$\frac{x_1}{x_2 + x_n} + \frac{x_2}{x_3 + x_1} + … + \frac{x_{n-1}}{x_n + x_{n-2}} + \frac{x_n}{x_1 + x_{n-1}} \ge 2.$ причем равенство возможно только при

$n = 4.$

в) Докажите, что при $n>4$ неравенство пункта б) является точным в том смысле, что ни при каком $n$ число $2$ в правой части нельзя заменить на большее.

А. Прокопьев

Решение

a) Пусть $a=x_2+x_3, b=x_3+x_1, c=x_1+x_2.$ Тогда $x_1=\frac{b+c-a}{2},$ $x_2 = \frac{a+c-b}{2},$ $x_3=\frac{a+b-c}{2},$ и левая часть неравенства перепишется так: $\frac{b+c-a}{2a}+\frac{a+c-b}{2b}+\frac{a+b-c}{2c}=$ $\frac{1}{2}(\frac{b}{a}+\frac{a}{b})+\frac{1}{2}(\frac{c}{a}+\frac{a}{c})+\frac{1}{2}(\frac{b}{c}+\frac{c}{b})-\frac{3}{2}.$ Каждая из скобок в этом выражении, не меньше $2$ в силу известного неравенства $x + \frac{1}{x} \ge 2$ при $x > 0.$ Поэтому вся левая часть не меньше $3-\frac{3}{2} = \frac{3}{2}.$ А так как $x + \frac{1}{x} = 2$ только при $x = 1,$ доказанное неравенство обращается в равенство только при $a = b = c.$

б) Докажем неравенство индукцией по $n.$ При $n = 4$ оно очевидно:

$\frac{x_1}{x_2+x_4}+\frac{x_2}{x_3+x_1} + \frac{x_3}{x_4+x_2}+\frac{x_4}{x_1+x_3} = \frac{x_1+x_3}{x_2+x_4}+\frac{x_2+x_4}{x_1+x_3} \ge 2$ равенство возможно в том и в только в том случае, когда

$x_1 + x_3 = x_2 + x_4.$

Докажем теперь неравенство для произвольных положительных чисел $x_1, …, x_{n + 1},$ предполагая, что оно справедливо для любых $n (n \ge 4)$ положительных чисел. Выберем наименьшее из чисел $x_1, …, x_{n + 1}.$ Поскольку они входят в неравенство симметрично, можно, не ограничивая общности, считать, что это $x_{n + 1}.$ Тогда $x_{n+1} > 0,$ $x_{n+1} \le x_n$ и $x_{n + 1} \le x_1,$ и поэтому

$\frac{x_1}{x_2 + x_{n+1}} + \frac{x_2}{x_3+x_1} + … + \frac{x_n}{x_{n + 1}+x_{n- 1}}+$

$+\frac{x_{n+1}}{x_1+x_n}> \frac{x_1}{x_2+x_n}+\frac{x_2}{x_3 + x_1} + … + \frac{x_n}{x_1 + x_{n-1}} \ge 2$

(последнее неравенство выполняется по предположению индукции). Попутно получаем, что при $n>4$ равенство невозможно.

в) Числа $x_1, …, x_n$ удобно расставлять по окружности; тогда каждое слагаемое в левой части рассматриваемого неравенства есть одно из этих чисел, деленное на сумму двух соседних с ним. При $n = 2k$ определим $x_i$ так, как показано на рисунке 1, а при $n = 2k+1$ — как на рисунке 2.

В первом случае получим сумму

$2(\frac{1}{q+1}+ \frac{q}{q^2+1}+\frac{q^2}{q^3+q}+ … + \frac{q^{k-1}}{q^{k-1}+q^{k-2}})= 2(1 + \frac{(k-2)q}{g^2+1}),$

а во втором —

$\frac{1}{2q} + 2(\frac{q}{q^2+1} + \frac{q^2}{q^3 + q} + … + \frac{q^k}{q^k+q^{k-1}})=\frac{1}{2q} + \frac{2(k-1)q}{q^2+1}-\frac{2q}{q+1}=$

$=2+(\frac{1}{2q} + \frac{2(k-1)q}{q^2+1} — \frac{2}{q+1}).$

В обоих случаях при достаточно большом $q$ значение левой части будет сколь угодно близко к $2$ , поэтому число $2$ в неравенстве на большее заменить нельзя.

А. Егоров

Метка: дроби

Простейшие сведения о непрерывных дробях и их свойствах

Примеры решения задач

Простейшие сведения о непрерывных дробях и их свойствах

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

3.

4.

5.

Элементы сортировки

6.

Смотрите также

М749* Задача на различные доказательства неравенства

Условие

Решение

М697. Пузатость прямоугольника

Задача

Доказательство