Задача из журнала «Квант» (1992 год, 8 выпуск)

Условие

Заряженная частица с кинетической энергией $W$ пролетает мимо длинного равномерно заряженного провода. Частица движется в плоскости, перпендикулярно проводу, и в результате отклоняется на небольшой угол $a$ от первоначального направления полета (смотреть рис.1). Найдите этот угол, если заряд частицы $e$, а заряд единицы длины провода $q$. На расстояние $R$ от длинного провода напряженность поля $E=\frac{q}{(2\pi\varepsilon_{0}R)}$.

Решение

В произвольной точке $A$ на расстояние $R$ от заряженного провода скорость частицы направлена под малым углом $\alpha$ к оси $X$, таким, что

$$\alpha =\frac{\upsilon_{y}}{\upsilon_{x} }.$$

Здесь $\upsilon_{y}$ — вертикальная проекция скорости, а $\upsilon_{x}= \sqrt{2 \frac{W}{m}}$ — ее горизонтальная проекция.

Запишем второй закон Ньютона в проекциях на ось $Y$ (рис.2):

$$F_{y}dt=md\upsilon_{y}$$ где $$F_{y}=eE\cos\mu=\frac{eq\cos\mu}{2\pi\varepsilon_{0}R}$$

Малый промежуток времени $dt$ выразим из соотношения $\nu_{x}=\frac{dx}{dt}$:

$$dt= \frac{dx}{\nu_{x}}=\frac{Rd\mu} {\mu_{x}\cos\mu}$$

За это время вертикальная проекция скорости изменится на величину

$$d\nu_{y}=\frac{F}{m}dt=\frac{eq}{2\pi m\nu}d\mu$$

Полная проекция скорости вдоль оси $Y$ складывается их приращений:

$$\nu_{y}=\int\limits^\frac{ \pi }{ 2 }_{ \frac{- \pi}{2}}d\nu_{y} = \frac{eq}{2\varepsilon_{o}m\nu_{x}}$$

Итак, искомый угол $\alpha$ получается таким:

$$\alpha=\frac{\nu_{y}}{\nu_{x}}=\frac{ eq }{2\varepsilon_{o}m\nu_{x}^{2}}=\frac{eq}{4\varepsilon_{o}W}$$

В. Можаев

Задача из журнала «Квант» (2001 год, 2 выпуск)

Условие

Длинный товарный поезд трогается с места. Вагоны соединены друг с другом с помощью абсолютно неупругих сцепок. Первоначально зазор в каждой сцепке равен $L$ (см. рисунок). Масса локомотива $m$, а его порядковый номер первый. Все вагоны загружены, и масса каждого из них тоже m.

1. Считая силу тяги локомотива постоянной и равной $F$ , найдите время, за которое в движение будет вовлечено $N$ вагонов.
2. Полагая, что состав очень длинный ($N\rightarrow \infty$), определите предельную скорость ${\mathcal v}_\infty$ локомотива.

Решение

1. Пусть ${\mathcal v}_i^{\prime}$ — скорость части состава из $i$ вагонов сразу после вовлечения в движение $i$-го вагона, а ${\mathcal v}_i$ — скорость части состава из $i$ вагонов перед ударом с $(i+1)$-м вагоном. Из закона сохранения импульса $$(i+1)m\mathcal v_{i+1}^{\prime}=im\mathcal {v}_i=\mathcal {p}_i$$ По второму закону Нютона $$a_{a+1}=\dfrac{F}{(i+1)m}$$ а по известному кинематическому соотношению $$a_{i+1}L=\dfrac{\mathcal v_{i+1}^{2}-\mathcal v_{i+1}^{\prime2}}{2}$$ Отсюда получим $$\mathcal v_{i+1}^{2}=\dfrac{2FL}{(i+1)m}+\left({\dfrac{i}{i+1}}\right)^{2}\mathcal v_{i+1}^{2}$$ или $$\mathcal {p}_{i+1}^{2}=2(i+1)mFL+\mathcal {p}_{i}^{2}$$ Из этой рекуррентной формулы следует $$\mathcal {p}_{N}^{2}=2mFL\sum_{i=1}^{N}i+\mathcal {p}_{0}^{2}$$ или, так как $\mathcal {p}_{0}=0$, $$\mathcal {p}_{N}^{2}=2mFL\dfrac{N(N+1)}{2}$$ откуда $$\mathcal v_{N}=\sqrt{\dfrac{FL}{m}}\sqrt{\dfrac{N+1}{N}}$$ Найдём теперь время $\mathcal t_{N}$ вовлечения в движение $N$ вагонов: $$\mathcal v_{i}-\mathcal v_{i}^{\prime}=\mathcal a_{i}\triangle\mathcal t_{i},$$ $$\triangle\mathcal t_{i}=\dfrac{\mathcal v_{i}-\mathcal v_{i}^{\prime}}{\mathcal a_{i}}=\dfrac{m}{F}(i\mathcal v_{i}-i\mathcal v_{i}^{\prime})=\dfrac{m}{F}(i\mathcal v_{i}-(i-1)\mathcal v_{i-1}),$$ $$\mathcal t_{N}=\dfrac{m}{F}\sum_{i=1}^{N-1}(i\mathcal v_{i}-(i-1)\mathcal v_{i-1})=\dfrac{m}{F}((N-1)\mathcal v_{N-1}-0\cdot\mathcal v_{0})=$$ $$=\dfrac{m}{F}\mathcal v_{N-1}(N-1).$$ Используя полученное ранее выражение для $\mathcal v_{N}$, окончательно получим $$\mathcal t_{N}=\sqrt{\dfrac{mL}{F}}N\sqrt{1-\dfrac{1}{N}}.$$
2. Из выражения для $\mathcal v_{N}$ находим, что при $N\rightarrow \infty$ скорость состава $\mathcal n_{\infty}\rightarrow\sqrt{FL/m}$.

П. Бойко, Ю. Полянский