Интеграл Фурье как разложение в сумму гармоник

Интегральную формулу Фурье можно переписать следующим образом:
$$f\left(x\right)=\intop _{ 0 }^{ +\infty }{ \left[ a\left(\lambda \right)\cos { \lambda x } +b\left(\lambda \right)\sin { \lambda x } \right] d\lambda },\quad\left(\ast\right)$$ где
$$a\left(\lambda \right)=\frac { 1 }{ \pi } \intop _{ -\infty }^{ +\infty }{ f\left(\xi \right)\cos { \lambda \xi } d\xi } ,$$ $$b\left(\lambda \right)=\frac { 1 }{ \pi } \intop _{ -\infty }^{ +\infty }{ f\left(\xi\right)\sin { \lambda \xi } d\xi }.$$
Равенство $\left( \ast \right)$ аналогично разложению функции в тригонометрический ряд Фурье, а выражения $a\left(\lambda \right), b\left(\lambda \right)$ аналогичны формулам для коэффициентов Фурье.

Замечание. Для удобства дальнейших вычислений формула $\left(\ast\right)$ может быть упрощена, а именно:

• Если $f\left(x\right)$ — чётная функция, то $$a\left(\lambda \right)=\frac { 2 }{ \pi } \intop_{ 0 }^{ +\infty }{ f\left(\xi\right)\cos { \lambda \xi } d\xi } ,$$ а $b\left(\lambda \right)$ принимает значение $0.$ Тогда формулу $\left(\ast\right)$ можно записать в виде $$f\left(x\right)=\frac { 2 }{ \pi } \intop_{ 0 }^{ +\infty }{ \cos { \lambda x } d\lambda } \intop_{ 0 }^{ +\infty }{ f\left(\xi\right)\cos { \lambda \xi } d\xi }.$$ Это выражение называется косинус-формулой Фурье.
• Для нечётной $f\left(x\right)$ получаем соответственно, что $a\left(\lambda\right)$ обращается в нуль, а $$b\left(\lambda\right)=\frac { 2 }{ \pi } \intop_{ 0 }^{ +\infty }{ f\left(\xi\right)\sin { \lambda \xi } d\xi },$$ поэтому исходная формула приобретает вид $$f\left(x\right)=\frac { 2 }{ \pi } \intop_{ 0 }^{ +\infty }{ \sin { \lambda x } d\lambda } \intop_{ 0 }^{ +\infty }{ f\left(\xi\right)\sin { \lambda \xi } d\xi }.$$ Таким образом, мы получили синус-формулу Фурье.

Замечание. Интегральная формула Фурье имеет эквивалентную ей комплексную формулу интеграла Фурье $$f\left( x \right) =\frac { 1 }{ 2\pi } \int\limits _{ -\infty }^{ +\infty }{ d\lambda } \int _{ -\infty }^{ +\infty }{ f\left( \xi \right) { e }^{ i\lambda \left( x-\xi \right) }d\xi } .$$

Пример

Представить следующую функцию интегралом Фурье: $$f\left(x\right)=\begin{cases} 1,\quad если \quad \left| x \right| < 1; \\ 0,\quad если \quad \left| x \right| > 1. \end{cases}$$

Литература

• Будак Б. М., Фомин С. В. Курс высшей математики и математической физики — Кратные интегралы и ряды, М., «Наука», 1965, стр 516-517
• Демидович Б. П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу — 13-е издание, исправленное, — М.: Издательство Московского университета, 1997, стр 404-405
• Лысенко З. М. Конспект лекций по курсу математического анализа (I курс)

Тестирование. Представление функции интегралом Фурье

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 2 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2

Информация

Тесты помогут понять насколько хорошо был усвоен материал.

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Время вышло

Средний результат
Ваш результат

Рубрики

1. Математический анализ 0%

максимум из 6 баллов

Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

1. 1
2. 2

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 2

   1.

   Пусть функция $f(x)$ представима интегралом Фурье: $$f(x)=\intop _{ 0 }^{ +\infty }{ \left[ a(\lambda )\cos { \lambda x } +b(\lambda )\sin { \lambda x } \right] d\lambda },$$ где $$a(\lambda )=\frac { 1 }{ \pi } \intop _{ -\infty }^{ +\infty }{ f(\xi )\cos { \lambda \xi } d\xi } ,$$ $$b(\lambda )=\frac { 1 }{ \pi } \intop _{ -\infty }^{ +\infty }{ f(\xi)\sin { \lambda \xi } d\xi }.$$ Необходимо сопоставить информацию о функции с соответствующей формулой.

   Элементы сортировки

   • $a(\lambda )=\frac { 2 }{ \pi } \int\limits_{ 0 }^{ +\infty }{ f(\xi)\cos { \lambda \xi } d\xi }$
   • $f(x)=\frac { 2 }{ \pi } \int\limits_{ 0 }^{ +\infty }{ \cos { \lambda x } d\lambda } \int\limits_{ 0 }^{ +\infty }{ f(\xi)\cos { \lambda \xi } d\xi }$
   • $f(x)=\frac { 1 }{ \pi } \int\limits_{ 0 }^{ +\infty }{ d\lambda } \int\limits_{ -\infty }^{ +\infty }{ f(\xi )\cos { { \lambda } } (\xi -x)d\xi }$
   • $a(\lambda)=0$
   • $f(x)=\frac { 2 }{ \pi } \int\limits_{ 0 }^{ +\infty }{ \sin { \lambda x } d\lambda } \int\limits_{ 0 }^{ +\infty }{ f(\xi)\sin { \lambda \xi } d\xi }$

   • $f(x)$ – чётная функция.

   • $b(\lambda)=0$

   • Двойной интеграл Фурье функции $f(x)$.

   • $f(x)$ – нечётная функция.

   • $a(\lambda)=0$

   Правильно
   

   Неправильно
   
2. Задание 2 из 2

   2.

   Для интегральной формулы Фурье существует эквивалентная ей комплексная форма?

   • Да
   • Нет
   Правильно
   

   Неправильно
   

   Существует, комплексная формула интеграла Фурье имеет вид $$f\left( x \right) =\frac { 1 }{ 2\pi } \int\limits _{ -\infty }^{ +\infty }{ d\lambda } \int _{ -\infty }^{ +\infty }{ f\left( \xi \right) { e }^{ i\lambda \left( x-\xi \right) }d\xi } .$$

Для лучшего понимания материала, изложенного ниже, пожалуйста, ознакомьтесь с темой «Ряды Фурье».

Интегральная формула Фурье

Если интервал $\left[ -l,l \right],$ на котором функция $f\left(x\right)$ разлагается в тригонометрический ряд Фурье, неограниченно возрастает, т.е. $l\rightarrow +\infty,$ то ряд Фурье превращается в интеграл Фурье. При переходе к пределу происходит качественный скачок: функция, заданная на любом конечном интервале $\left[ -l,l \right],$ разлагается в ряд «гармонических колебаний», частоты которых образуют дискретную последовательность; функция $f\left(x\right),$ заданная на всей оси $x$ или на полуоси $x,$ разлагается в интеграл, который представляет собой сумму «гармонических колебаний», частоты которых непрерывно заполняют действительную полуось $0\le \lambda \le +\infty .$ Рассмотрим этот предельный переход от ряда Фурье к интегралу Фурье.

Замечание. Напомним, что функция $f$ является кусочно-гладкой на отрезке $\left[ a,b \right],$ если:

• $f$ непрерывна во всех точках, кроме, быть может, конечного числа точек ${ x }_{ 1 },\dots ,{ x }_{ n }\in \left(a,b\right).$
• $\forall i=1,\dots ,n \quad \exists f\left({ x }_{ i }\pm 0\right),\quad f\left(a+0\right),\quad f\left(b-0\right).$
• $f$ – дифференцируема во всех точках, кроме, быть может, конечного числа точек ${ x }_{ 1 },\dots ,{ x }_{ n }.$
• $\exists f^{ \prime }\left({ x }_{ i }\pm 0\right).$Пусть $f\left(x\right)$ задана на всей оси $x$ и на каждом конечном отрезке $\left[ -l,l \right],$ является кусочно-гладкой. Тогда, в силу основной теоремы о сходимости тригонометрического ряда Фурье, при любом $l>0$ $$f(x)=\frac { { a }_{ 0 } }{ 2 } +\sum _{ k=1 }^{ +\infty }{ \left( { a }_{ k }\cos { \frac { k\pi x }{ l } } +{ b }_{ k }\sin { \frac { k\pi x }{ l } } \right) } ,\quad \left( 1 \right)$$
  где $$\left(2\right)\quad \begin{cases} { a }_{ 0 }=\frac { 1 }{ l } \int\limits_{ -l }^{ l }{ f\left(\xi \right) } d\xi , \\ { a }_{ k }=\frac { 1 }{ l } \int\limits_{ -l }^{ l }{ f\left(\xi \right)\cos { \frac { k\pi \xi }{ l } d\xi , } } \\ { b }_{ k }=\frac { 1 }{ l } \int\limits_{ -l }^{ l }{ f\left(\xi \right)\sin { \frac { k\pi \xi }{ l } d\xi . } } \end{cases}$$
  Равенство $\left(1\right)$ имеет место, если $x$ — внутренняя точка отрезка $\left[ -l,l \right],$ в которой $f\left(x\right)$ непрерывна; если же $x$ — внутренняя точка этого отрезка, в которой $f\left(x\right)$ разрывна, то в левой части равенства $\left(1\right)$ $f\left(x\right)$ нужно заменить через $\frac { f\left(x+0\right)+f\left(x-0\right) }{ 2 }.$
  Подставляя выражения $\left(2\right)$ в $\left(1\right),$ получим $$f\left(x\right)=\frac { 1 }{ 2l } \intop_{ -l }^{ l }{ f\left(\xi \right)d\xi } +\frac { 1 }{ l } \sum _{ k=1 }^{ +\infty }{ \intop_{ -l }^{ l }{ f\left(\xi \right)\cos { \frac { k\pi }{ l } } \left(\xi -x\right)d\xi } }.\quad \left(3\right)$$
  Если $f\left(x\right)$ ещё и абсолютно интегрируема на всей оси $x,$ т.е. $$\intop_{ -\infty }^{ +\infty }{ \left| f\left(x\right) \right| dx } =Q<+\infty, \quad \left(4\right)$$
  то при переходе к пределу при $l\rightarrow +\infty$ первое слагаемое в правой части $\left(3\right)$ в силу условия $\left(4\right)$ стремится к нулю. Следовательно, $$f\left(x\right)=\lim _{ l\rightarrow +\infty }{ \frac { 1 }{ l } \sum _{ k=1 }^{ +\infty }{ \intop_{ -l }^{ l }{ f\left(\xi \right)\cos { \frac { k\pi }{ l } } \left(\xi -x\right)d\xi } . } } \quad \left(5\right)$$ Положим $\frac { k\pi }{ l } ={ \lambda }_{ k },$ $\frac { \pi }{ l } ={ \Delta \lambda }_{ k }.$ Тогда $\left(5\right)$ можно переписать в виде $$f\left( x \right) =\lim _{ \begin{matrix} l\rightarrow +\infty \\ \Delta { \lambda }_{ k }\rightarrow 0 \end{matrix} }{ \frac { 1 }{ \pi } } \sum _{ k=1 }^{ +\infty }{ \Delta { \lambda }_{ k } } \intop_{ -l }^{ l }{ f\left( \xi \right) \cos { { \lambda }_{ k } } \left( \xi -x \right) d\xi }.\quad \left( 6 \right)$$
  Будем рассуждать нестрого:
  1. при больших значениях $l$ интеграл $$\intop_{ -l }^{ l }{ f\left(\xi \right)\cos { { \lambda }_{ k } } \left(\xi -x\right)d\xi }$$ можно заменить интегралом
     $$\intop_{ -\infty }^{ +\infty }{ f\left(\xi \right)\cos { { \lambda }_{ k } } \left(\xi -x\right)d\xi },$$
  2. $$\sum _{ k=1 }^{ +\infty }{ \Delta { \lambda }_{ k } } \intop_{ -\infty }^{ +\infty }{ f\left(\xi \right)\cos { { \lambda }_{ k } } \left(\xi -x\right)d\xi }$$ является интегральной суммой для интеграла $$\intop_{ 0 }^{ +\infty }{ d\lambda } \intop_{ -\infty }^{ +\infty }{ f\left(\xi \right)\cos { { \lambda } } \left(\xi -x\right)d\xi } ,$$ поэтому из $\left(6\right)$ получаем $$f\left(x\right)=\frac { 1 }{ \pi } \intop_{ 0 }^{ +\infty }{ d\lambda } \intop_{ -\infty }^{ +\infty }{ f\left(\xi \right)\cos { { \lambda } } \left(\xi -x\right)d\xi } , \quad \left(7\right)$$ где в левой части равенства $\left(7\right)$ вместо $f\left(x\right)$ нужно писать $\frac { f\left(x+0\right)+f\left(x-0\right) }{ 2 } ,$ если $x$ является точкой разрыва функции $f\left(x\right).$

  Равенство $\left(7\right)$ называется интегральной формулой Фурье, а интеграл, стоящий в её правой части, — интегралом Фурье либо двойным интегралом Фурье

  Обоснование интегральной формулы Фурье

  Равенство $\left(7\right)$ было получено с помощью формальных предельных переходов, которые не были обоснованы.
  Вместо того чтобы их обосновать, удобнее непосредственно доказывать справедливость равенства $\left(7\right).$

  Теорема

  Если функция $f\left(x\right),$ кусочно-гладкая на каждом конечном отрезке оси $x,$ абсолютно интегрируема на всей оси $x,$ т.е. интеграл $\int\limits_{ -\infty }^{ +\infty }{ \left| f\left(x\right) \right| dx }$ сходится, то $$\lim _{ l\rightarrow +\infty }{ \frac { 1 }{ \pi } \intop_{ 0 }^{ l }{ d\lambda } \intop_{ -\infty }^{ +\infty }{ f\left(\xi \right)\cos { { \lambda } } \left(\xi -x\right)d\xi } } =\frac { f\left(x+0\right)+f\left(x-0\right) }{ 2 }.$$

  Доказательство

  Заметим прежде всего, что интеграл $$\intop_{ -\infty }^{ +\infty }{ f\left(\xi \right)\cos { \lambda \left(\xi -x\right)d\xi } },$$ зависящий от параметра $\lambda,$ сходится равномерно по параметру $\lambda$ при $0\le \lambda \le +\infty,$ так как $\left| f\left(\xi \right)\cos { \lambda } \left(\xi -x\right) \right| \le \left| f\left(\xi \right) \right| ,$ а интеграл $\int\limits_{ -\infty }^{ +\infty }{ \left| f\left(\xi \right) \right| d\xi }$ по условию сходится. Следовательно, можно изменить порядок интегрирования, т.е. записать так:
  $$\frac { 1 }{ \pi } \intop_{ 0 }^{ l }{ d\lambda } \intop_{ -\infty }^{ +\infty }{ f\left(\xi \right)\cos { { \lambda } } \left(\xi -x\right)d\xi } =$$
  $$=\frac { 1 }{ \pi } \intop_{ -\infty }^{ +\infty }{ d\xi } \intop_{ 0 }^{ l }{ f\left(\xi \right)\cos { { \lambda } } \left(\xi -x\right)d\lambda } =$$
  $$=\frac { 1 }{ \pi } \intop_{ -\infty }^{ +\infty }{ f\left(\xi \right)\frac { \sin { l\left(\xi -x\right) } }{ \xi -x } d\xi } =$$
  $$=\frac { 1 }{ \pi } \intop_{ -\infty }^{ +\infty }{ f\left(x+\zeta \right)\frac { \sin { l\zeta } }{ \zeta } d\zeta } ,$$
  где $\zeta=\xi-x,$ $d\zeta=d\xi.$ Нам остаётся доказать, что $$\lim _{ l\rightarrow +\infty }{ \frac { 1 }{ \pi } \intop_{ -\infty }^{ 0 }{ f\left(x+\zeta \right)\frac { \sin { l\zeta } }{ \zeta } d\zeta } } =\frac { f\left(x-0\right) }{ 2 },\quad\left(8\right)$$
  $$\lim _{ l\rightarrow +\infty }{ \frac { 1 }{ \pi } \intop_{ 0 }^{ +\infty }{ f\left(x+\zeta \right)\frac { \sin { l\zeta } }{ \zeta } d\zeta } } =\frac { f\left(x+0\right) }{ 2 }.\quad\left(9\right)$$
  При доказательстве мы воспользуемся известным соотношением (см. п. 5 § 2 гл. 10) $$\frac { 1 }{ \pi } \intop_{ 0 }^{ +\infty }{ \frac { \sin { l\zeta } }{ \zeta } d\zeta } =\frac { 1 }{ 2 } \quad \left(10\right).$$ Докажем, например, справедливость соотношения $\left(9\right).$ В силу равенства $\left(10\right),$ можно записать, что $$\frac { f\left(x+0\right) }{ 2 } =\frac { 1 }{ \pi } \intop_{ 0 }^{ +\infty }{ f\left(x+0\right)\frac { \sin { l\zeta } }{ \zeta } d\zeta } .$$
  Поэтому разность между переменной величиной и предполагаемым пределом в соотношении $\left(9\right)$ будет равна
  $${ J }_{ 0,+\infty }=\frac { 1 }{ \pi } \intop_{ 0 }^{ +\infty }{ f\left(x+ \zeta \right)\frac { \sin { l\zeta } }{ \zeta } d\zeta } -\frac { f\left(x+0\right) }{ 2 } =$$
  $$=\frac { 1 }{ \pi } \intop_{ 0 }^{ +\infty }{ \left[ f\left(x+\zeta \right)-f\left(x+0\right) \right] \frac { \sin { l\zeta } }{ \zeta } d\zeta } .\quad\left(11\right)$$
  Таким образом, нужно доказать, что этот интеграл стремится к нулю при $l\rightarrow +\infty.$ Разобьём интервал интегрирования $0\le \zeta <+\infty$ на три:
  $0 < \zeta \le\delta ,$ $\quad \delta \le \zeta \le\Delta ,$ $\quad \Delta \le \zeta <+\infty ;$ тогда интеграл $\left(11\right)$ будет представлен в виде суммы трёх интегралов $${ J }_{ 0,+\infty }={ J }_{ 0,\delta }+{ J }_{ \delta ,\Delta }+{ J }_{ \Delta ,+\infty }. \quad\left(12\right)$$ После этого будем действовать следующим образом. Сначала, задавшись произвольным $\varepsilon >0,$ докажем, что при всех достаточно малых $\delta>0$ и всех достаточно больших $\Delta >\delta$ будут выполняться неравенства $$\left| { J }_{ 0,\delta } \right| <\frac { \varepsilon }{ 3 }\quad и \quad \left| { J }_{ \Delta,+\infty } \right| <\frac { \varepsilon }{ 3 } \quad \left(13\right)$$ сразу при всех $l\ge 1.$ Затем, фиксировав $\delta$ и $\Delta$ так, чтобы выполнялись неравенства $\left(13\right),$ выберем $l\ge 1$ столь большим, чтобы в силу основной леммы выполнялось неравенство $\left| { J }_{ \delta ,\Delta } \right| <\frac { \varepsilon }{ 3 } .$ Отсюда, в силу $\left(12\right),$ будет следовать, что $\left| { J }_{ 0,+\infty } \right| <\varepsilon$ при всех достаточно больших $l\ge 1.$ Итак, оценим сначала интеграл $${ J }_{ 0,\delta }=\frac { 1 }{ \pi } \intop_{ 0 }^{ \delta }{ \frac { f\left(x+\zeta \right)-f\left(x+0\right) }{ \zeta } \sin { l\zeta } d\zeta } .$$ При всех достаточно малых $\delta>0$ $$\left| \frac { f\left(x+\zeta \right)-f\left(x+0\right) }{ \zeta } \right| <\left| { f }_{ + }^{ \prime }\left(x\right) \right| +1\quad \forall \zeta \in \left(0,\delta \right).$$ Следовательно, $$\left| { J }_{ 0,\delta } \right| <\frac { \delta }{ \pi } \left\{ \left| { f }_{ + }^{ \prime }\left(x\right) \right| +1 \right\} <\frac { \varepsilon }{ 3 } \quad\left(14\right)$$ при всех $\delta <\frac { \varepsilon \pi }{ 3\left\{ \left| { f }_{ + }^{ \prime }\left( x \right) \right| +1 \right\} }$ и при всех значениях $l.$ Оценим, далее, интеграл $${ J }_{ \Delta ,+\infty }=\frac { 1 }{ \pi } \intop_{ \Delta }^{ +\infty }{ f\left(x+\zeta \right)\frac { \sin { l\zeta } }{ \zeta } d\zeta } -\frac { f\left(x+0\right) }{ \pi } \intop_{ \Delta }^{ +\infty }{ \frac { \sin { l\zeta } }{ \zeta } d\zeta } .$$ Мы имеем $$\left| { J }_{ \Delta ,+\infty } \right| \le \frac { 1 }{ \pi } \intop_{ \Delta }^{ +\infty }{ \left| f\left(x+\zeta \right) \right| \frac { d\zeta }{ \zeta } } +\frac { \left| f\left(x+0\right) \right| }{ \pi } \left| \intop_{ \Delta }^{ +\infty }{ \frac { \sin { l\zeta } }{ \zeta } d\zeta } \right| \le$$ $$\le \frac { 1 }{ \pi \Delta } \intop_{ -\infty }^{ +\infty }{ \left| f\left(x+\zeta \right) \right| d\zeta } +\frac { \left| f\left(x+0\right) \right| }{ \pi } \left| \intop_{ l\Delta }^{ +\infty }{ \frac { \sin { { \zeta }^{ \ast } } }{ { \zeta }^{ \ast } } } d{ \zeta }^{ \ast } \right| =$$
  $$=\frac { Q }{ \pi \Delta } +\frac { \left| f\left(x+0\right) \right| }{ \pi } \left| \intop_{ l\Delta }^{ +\infty }{ \frac { \sin { { \zeta }^{ \ast } } }{ { \zeta }^{ \ast } } d{ \zeta }^{ \ast } } \right| ,$$ где ${ \zeta }^{ \ast }=l\zeta. \quad\left(15\right)$ Напомним, что, согласно условию $\left(4\right),$ $Q=\int\limits_{ -\infty }^{ +\infty }{ \left| f\left(x\right) \right| dx } <\infty,$ поэтому при всех достаточно больших $\Delta>0$ будет $\frac { Q }{ \pi \Delta } <\frac { \varepsilon }{ 6 }$ сразу для всех $l.$ Далее, так как интеграл $\int\limits_{ 0 }^{ +\infty }{ \frac { \sin { { \zeta }^{ \ast } } }{ { \zeta }^{ \ast } } d{ \zeta }^{ \ast } }$ сходится, то при всех достаточно больших $\Delta>0$ и всех $l\ge 1$ $$\frac { \left| f\left(x+0\right) \right| }{ \pi } \left| \intop_{ l\Delta }^{ +\infty }{ \frac { \sin { { \zeta }^{ \ast } } }{ { \zeta }^{ \ast } } d{ \zeta }^{ \ast } } \right| <\frac { \varepsilon }{ 6 } .$$ Следовательно, в силу $\left(15\right)$ $$\left| { J }_{ \Delta ,+\infty } \right| <\frac { \varepsilon }{ 3 } \quad\left(16\right)$$ при всех достаточно больших $\Delta>0$ и всех $l\ge 1.$ Оценим, наконец, интеграл $${ J }_{ \delta ,\Delta }=\frac { 1 }{ \pi } \intop_{ \delta }^{ \Delta }{ \frac { f\left(x+\zeta \right)-f\left(x+0\right) }{ \zeta } \sin { l\zeta } d\zeta } .$$ Функция $\frac { f\left(x+\zeta \right)-f\left(x+0\right) }{ \zeta }$ по переменной $\zeta$ является кусочно-гладкой на отрезке $\delta \le \zeta \le \Delta .$ Поэтому, в силу основной леммы, при всех достаточно больших значениях $l\ge1$ будет выполняться неравенство $$\left| { J }_{ \delta ,\Delta } \right| <\frac { \varepsilon }{ 3 }. \quad\left(17\right)$$ Сопостовляя $\left(14\right), \left(16\right)$ и $\left(17\right),$ получим, что при всех достаточно больших $l\ge1$ $$\left| { J }_{ 0,+\infty } \right| <\varepsilon ,$$ что и требовалось доказать. $\blacksquare$

  [свернуть]

  Замечание. Основная теорема об интеграле Фурье справедлива и при более слабых ограничениях, налагаемых на функцию $f\left(x\right).$ А именно, если абсолютно интегрируемая на всей оси $x$ функция $f\left(x\right)$

  • кусочно-непрерывна на каждом конечном отрезке оси $x$
  • отношение $\left| \frac { f\left(x+\zeta \right)-f\left(x+0\right) }{ \zeta } \right|$ ограничено при любом фиксированном $x$ для всех достаточно малых $\zeta,$ то основная теорема сохраняет силу.
  Доказательство

  Действительно, доказательство основной теоремы сводится к оценке трёх интегралов: ${ J }_{ 0,\delta },{ J }_{ \delta ,\Delta },{ J }_{ \Delta ,+\infty }$ для ${ J }_{ 0 ,+\infty }.$ Последний из этих трёх интегралов мал при достаточно большом $\Delta,$ в силу абсолютной интегрируемости $f\left(x\right).$ Интеграл ${ J }_{ 0,\delta }$ мал при всех достаточно малых $\delta>0,$ если отношение $\left| \frac { f\left(x+\zeta \right)-f\left(x+0\right) }{ \zeta } \right|$ ограничено при каждом фиксированном $x$ для всех достаточно малых $\zeta>0.$ В интеграле же $${ J }_{ \delta ,\Delta }=\frac { 1 }{ \pi } \intop _{ \delta }^{ \Delta }{ \frac { f\left(x+\zeta \right)-f\left(x+0\right) }{ \zeta } \sin { l\zeta } d\zeta }$$ функция $\varphi \left(\zeta \right)= \frac { f\left(x+\zeta \right)-f\left(x+0\right) }{ \zeta }$ кусочно-непрерывна на отрезке $0<\delta \le \zeta \le \Delta$ при любом фиксированном $x.$ Пусть $\left[ a,b \right]$ — какой-либо сегмент, на котором $\varphi \left(\zeta \right)$ непрерывна, и пусть дано какое угодно $\varepsilon>0.$ Построим такую кусочно-гладкую функцию ${ g }_{ \varepsilon }\left(x\right)$ (как при доказательстве первой теоремы Вейерштрасса), чтобы выполнялось неравенство $$\left| \varphi \left(\zeta \right)-{ g }_{ \varepsilon }\left(\zeta\right) \right| <\frac { \varepsilon }{ 2\left(b-a\right) },\quad 0<\delta \le \zeta \le \Delta .$$ Но тогда $$\left| \int _{ a }^{ b }{ \varphi \left(\zeta \right)\sin { l\zeta } d\zeta } \right| \le \intop _{ a }^{ b }{ \left| \varphi \left(\zeta \right)-{ g }_{ \varepsilon }\left(\zeta\right) \right| d\zeta } +$$ $$+\left| \intop _{ a }^{ b }{ { g }_{ \varepsilon }\left(\zeta \right)\sin { l\zeta } d\zeta } \right| <\frac { \varepsilon }{ 2 } +\frac { \varepsilon }{ 2 } =\varepsilon \quad$$ при всех достаточно больших $l\ge0,$ так как для кусочно-гладкой функции ${ g }_{ \varepsilon }\left(x\right)$ справедлива основная лемма. Разбивая интеграл ${ J }_{ \delta ,\Delta }$ на интервалы по сегментам непрерывности $\varphi \left(\zeta \right),$ получаем, что ${ J }_{ \delta ,\Delta }\rightarrow 0$ при $l\rightarrow +\infty,$ чем и завершается доказательство теоремы.

  [свернуть]

  Литература

  • Будак Б. М., Фомин С. В. Курс высшей математики и математической физики — Кратные интегралы и ряды, М., «Наука», 1965, стр 510-516
  • Демидович Б. П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу — 13-е издание, исправленное, — М.: Издательство Московского университета, 1997, стр 404-405
  • Лысенко З. М. Конспект лекций по курсу математического анализа (I курс)

  Тестирование. Интеграл Фурье

  Лимит времени: 0

  Навигация (только номера заданий)

  0 из 5 заданий окончено

  Вопросы:

  1. 1
  2. 2
  3. 3
  4. 4
  5. 5

  Информация

  После прочтения материала настоятельно рекомендую попробовать силы в несложных тестах для закрепления материала.
  Желаю успехов!

  Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

  Тест загружается...

  Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

  Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

  Результаты

  Время вышло

  Средний результат
  Ваш результат

  Рубрики

  1. Математический анализ 0%

  максимум из 20 баллов

  Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
  Таблица загружается
  Нет данных

  Ваш результат был записан в таблицу лидеров

  Загрузка

  Имя: E-Mail:

  Капча:

  1. 1
  2. 2
  3. 3
  4. 4
  5. 5

  1. С ответом
  2. С отметкой о просмотре

  1. Задание 1 из 5

     1.

     Допишите недостающую часть формулы $$b(x)=\frac { 1 }{ \pi } \intop _{ -\infty }^{ +\infty }{ f(t)\dots dt } .$$
     Правильно
     

     Неправильно
     

     Правильный ответ: $\sin tx.$
  2. Задание 2 из 5

     2.

     Всегда ли справедливо равенство $$f(x)=\frac { 1 }{ \pi } \intop_{ 0 }^{ +\infty }{ d\lambda } \intop_{ -\infty }^{ +\infty }{ f(\xi )\cos { { \lambda } } (\xi -x)d\xi }\quad?$$

     • Да
     • Нет
     Правильно
     

     Неправильно
     

     Нет, поскольку, если $x$ является точкой разрыва функции, то в левой части равенства нужно писать $\frac { f(x+0)+f(x-0) }{ 2 } .$
  3. Задание 3 из 5

     3.

     Среди предложенных ниже утверждений выберите правильные.

     • Если выполнено условие $-\infty <\intop_{ -\infty }^{ +\infty }{ \left| f(x) \right| dx }$, то $f(x)$ – абсолютно интегрируема.
     • Если функция имеет точки разрыва, то её невозможно представить интегралом Фурье.
     • Если функция кусочно-дифференцируема на отрезке $\left[ a,b \right],$ то она непрерывна во всех точках, кроме, быть может, конечного числа точек полуинтервала $\left[ a,b \right).$
     • Основная теорема об интеграле Фурье справедлива и при более слабых ограничениях, налагаемых на функцию.
     • Всякую функцию можно представить интегралом Фурье.
     • Функция в примере – нечётная, поскольку её график симметричен относительно оси ординат.
     • В доказательстве теоремы применялась теорема о перестановке порядков интегрирования.
     • Интегральную формулу Фурье можно переписать следующим образом: $$f(x)=\intop _{ -\infty }^{ +\infty }{ \left[ a(\lambda )\cos { \lambda x } +b(\lambda )\sin { \lambda x } \right] d\lambda }.$$
     Правильно
     

     Неправильно
     
  4. Задание 4 из 5

     4.

     Восстановите порядок действий в доказательстве теоремы.

     • Изменили порядок интегрирования.
     • Воспользовались соотношением $$\frac { 1 }{ \pi } \intop_{ 0 }^{ +\infty }{ \frac { \sin { l\zeta } }{ \zeta } d\zeta } =\frac { 1 }{ 2 } .$$
     • Разбили интервал интегрирования $0\le \zeta <+\infty$ на три интервала.
     • Поочерёдно оценили интегралы.
     • Получили соотношение $\left| { J }_{ 0,+\infty } \right| <\varepsilon .$
     Правильно
     

     Неправильно
     
  5. Задание 5 из 5

     5.

     Заполните пропуски в тексте.

     • Ряд Фурье превращается в (интеграл) Фурье, если интервал, на котором функция разлагается в тригонометрический (ряд Фурье, ряд), неограниченно (возрастает).
     Правильно
     

     Неправильно