Processing math: 100%

Делители нуля

Делители нуля

Пусть latexR кольцо, latexa,bR,a,b0,ab=0. Числа latexa,b  называются делителями нуля кольца latexR, причем latexa — левый делитель нуля, latexb — правый делитель нуля.

Пример 1:

latex(C[1;1],+,) — кольцо непрерывных функций на промежутке latex[1,1].

latexf(x)={x,0x1;0,1x0.

latexg(x)={x,1x0;0,0x1.

latexf(x)g(x)=0

Пример 2:

Пусть дано latexP=(M2(R),+,)

latex(1122)latex(1111)=latex(1122)latex(1111)

Из равенства видно, что в  кольце latexP  присутствуют делители нуля. Как следствие этого, мы можем наблюдать невозможность сокращения обоих частей равенства, так как это приведет нас к неверному равенству, то есть в кольце latexP не действует закон сокращения. Если же в кольце latexP нет делителей нуля, то

latexab=ac,a0b=c — закон сокращения.

Литература:

Делители нуля

Тест


 

Простейшие задачи на определение структур группы, кольца, поля

Группа

Множество G с бинарной алгебраической операцией называется группой, если выполняются следующие условия:

  1. Операция в G ассоциативна: a(bc)=(ab)ca,b,cG;
  2. В G существует нейтральный элемент θ:aθ=θa=aaG;
  3. Для каждого элемента aG существует обратный ему элемент a1G:aa1=a1a=θ.

Если операция коммутативна, то группа называется коммутативной, или абелевой. В противном случае группа называется некоммутативной.

Задача

Доказать, что множество рациональных чисел R является абелевой группой относительно операции сложения.

Спойлер

Кольцо

Множество K , на котором заданы две операции — сложение (+) и умножение , называется кольцом, если выполняются следующие условия:

  1. Относительно операции сложения множество K — коммутативная группа, т.е:
    1. Операция сложения коммутативна: a+b=b+aa,bK;
    2. Операция сложения ассоциативна:a+(b+c)=(a+b)+ca,b,cK;
    3. Существует нулевой элемент θ:a+θ=θ+a=aaK;
    4. для каждого элемента существует противоположный ему элемент (a)K:a+(a)=(a)+a=θ;
  2. Операция умножения в множестве K ассоциативна:
    a(bc)=(ab)ca,b,cK
  3. Операции сложения и умножения связаны законами дистрибутивности:
    (a+b)c=ac+bcc(a+b)=ca+cba,b,cK

Если операция умножения коммутативна:ab=ba, то кольцо называется коммутативным, в противном случае кольцо называется некоммутативным. Если для операции умножения существует единичный элемент e:ae=ea=a, то говорят, что кольцо — есть кольцо с единицей.

Задача

Проверить яляется ли кольцом множество комплексных чисел.

Спойлер

Поле

Полем называется кольцо P, обладающее следующими свойствами:
1. Обратимость умножения. a,bP, где a0, уравнение ax=b имеет (по крайней мере одно) решение, т. е. существует элемент такой, что aq=b.

2. P содержит по крайней мере один элемент, отличный от нуля.

Источники

Структуры и подструктуры

Тест на тему «Простейшие задачи на определение структур группы, кольца, поля. Подструктуры.Циклическая группа. Симметрическая группа.». Прочтите все четыре статьи, прежде чем проходить тест.

Таблица лучших: Структуры и подструктуры

максимум из 7 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных