Метка: комплексные числа

Определение

Комплексное число $z$, записанное в виде $z=a+ib$,
называется алгебраической формой комплексного числа, где

$a$ и $b$ — вещественные числа,
$i$ — мнимая единица ($i^{2}=-1$) ,
$a=\mathrm{Re}\ z$ — вещественная часть $z$,
$b=\mathrm{Im}\ z$ — мнимая часть $z$.

Действия над комплексными числами:

Пусть даны два числа:
$z_{1}=a+ib$,
$z_{2}=c+id$

• Cравнение:
  $z_{1}=z_{2} \Leftrightarrow (\mathrm{Re}\ z_{1}=\mathrm{Re}\ z_{2})\wedge( \mathrm{Im}\ z_{1}=\mathrm{Im}\ z_{2})$,
  т.е. $(a=c)\wedge(b=d)$
• Сложение:
  $z_{1}+z_{2}=(a+c)+i(b+d)$
• Вычитание:
  $z_{1}-z_{2}=(a-c)+i(b-d)$
• Умножение:
  $z_{1} \cdot z_{2}=ac+bci+adi+bdi^{2}$
  $=(ac-bd)+(ad+bc)i$
• Деление:
  $ \large\frac{z_{1}}{z_{2}}=\frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)}$
  $ \large =\frac{ac+bd}{c^{2}+d^{2}}+\frac{bc-ad}{c^{2}+d^{2}}$

Примеры действий над комплексными числами:

• Найти сумму двух комплексных чисел $z_{1}$ и $z_{2}$, где
  $z_{1}=5+6i$, $\, z_{2}=8-4i$:

  $z_{3}=z_{1}+z_{2}$ $=(5+8)+(6-4)i$
  $z_{3}=13+2i$

• Найти произведение двух комплексных чисел $z_{1}$ и $z_{2}$, где
  $z_{1}=4+3i$, $\, z_{2}=7+2i$:

  $z_{3}=z_{1} \cdot z_{2}$ $=(4 \cdot 7-3 \cdot 2)+(4 \cdot 2+3 \cdot 7)i$
  $z_{3}=22+29i \\ $

• Упростить выражение $ \large\frac{(1+i)(3+i)(5-i)}{3-i} \\$:
  $ \large \frac{(1+i)(3+i)(5-i)}{3-i}=\frac{(3+i+3i+i^{2})(5-i)}{3-i}= \\$
  $ \large = \frac{15+20i+5i^{2}-3i-3i^{2}-i^{3}}{3-i}=\\ $
  т.к. $\, \large i^{2}=-1 \Rightarrow i^{3}=i^{2} \cdot i=-i \\$
  $ \large = \frac{7+23i}{3-i}= \frac{21-23}{3+1}+\frac{69+7}{3+1}i =\\$
  $ = -\frac{1}{2}+19i $

$\quad$

• Найти решения уравнения $(3+2i)x+(-2+4i)y=-8+16i$:
  $\quad$
  $(3+2i)x+(-2+4i)y=-8+16i \Rightarrow $
  $3x+2xi-2y+4yi=-8+16i\Rightarrow$
  $(3x-2y)+(2x+4y)i=-8+16i\Rightarrow$

  Приравняем вещественную и мнимую часть в левой и правой частях уравнения и составим систему уравнений:

  $ \begin{cases}3x-2y=-8\\ 2x+4y=16\end{cases} \Rightarrow $
  $ \begin{cases}x=8-2y\\ 3(8-2y)-2y=-8\end{cases} \Rightarrow $
  $ \begin{cases}x=8-2y\\ 24-8y=-8\end{cases} \Rightarrow $
  $ \begin{cases}x=8-2y\\ 8y=32\end{cases} \Rightarrow $ $ \begin{cases}x=2\\ y= 3\end{cases} $

  Ответ: $ \ x=0$; $\, y=4$

Литература:

1. Курс лекций по линейной алгебре. Г.С. Белозеров
2. А.Г. Курош, Курс высшей алгебры (девятое издание, Москва, 1968), стр. 114-116

Алгебраическая форма комплексного числа

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 6 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5
6. 6

Информация

Тест на знание темы: «Алгебраическая форма комплексного числа»

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 6

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Средний результат
Ваш результат

Рубрики

1. Нет рубрики 0%

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5
6. 6

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 6

   1.

   Количество баллов: 1

   Найти произведение двух комплексных чисел [latex]z_{1}=-1+3i[/latex]
   [latex]z_{2}=5+i[/latex]

   • $-8+14i$
   • $-8-i$
   • $4+4i$
   • $-34+i$
   Правильно
   

   Неправильно
   
2. Задание 2 из 6

   2.

   Количество баллов: 1

   Выберите правильно выполненные сложения комплексных чисел

   • $3+i+(-5+i)=-2+2i$
   • $4+100i+(2-i)=6+99i$
   • $3+4i-(2-i)=5+5i$
   • $i+(10-i)=-i^{2}+10$
   Правильно
   

   Неправильно
   
3. Задание 3 из 6

   3.

   Количество баллов: 1

   Два комплексных числа называются равными, если равны их
   Правильно
   

   Неправильно
   
4. Задание 4 из 6

   4.

   Количество баллов: 1

   
   
   Вычислить выражения:
   $ \large\frac{5+i}{1-i}$
   $(8-2i)^{2}$
   $(3-i)(3+i)$
   $ \large\frac{1+i}{2+2i}$

   • $2+3i$
   • $60-16i$
   • $10$
   • $ \frac{1}{2}$
   Правильно
   

   Неправильно
   
5. Задание 5 из 6

   5.

   Количество баллов: 1

   Отсортировать в правильном порядке:

   Элементы сортировки

   • $-1$
   • $-i$
   • $i$
   • $1$

   • $i^{30}$

   • $i^{13}$

   • $-i^{33}$

   • $-i^{4}$

   Правильно
   

   Неправильно
   
6. Задание 6 из 6

   6.

   Количество баллов: 1

   
   
   Вставить пропущенное слово:
   Число $z$, записанное в виде $z=a+ib$ называется

   • (алгебраической) формой комплексного числа.
   Правильно
   

   Неправильно
   

Для того чтобы приступить к работе над этим пунктом, необходимо иметь понимание о том, что написано в 3 предыдущих пунктах этой темы, а так-же соответствующий теоретический материал.

Здесь представлены некоторые примеры задач в которых нужно преобразовать комплексное число из одной формы в другую для их решения.

Пример 1
Представим число $z=\sqrt{3}+i$ в геометрической и тригонометрической форме.

Вспомним если $a+ib$ и $r(\cos{\alpha}+i\sin{\alpha})$ два представления одного и того-же комплексного числа, то $r=\sqrt{a^2+b^2}$, $\cos{\alpha}=\frac{a}{r}$ и $\sin{\alpha}=\frac{b}{r}$.

Получаем $r=\sqrt{3+1}=2$ и $\alpha = \frac{\pi}{6}$, то-есть $z_1=2(\cos{\frac{\pi}{6}}+i\sin{\frac{\pi}{6}})$ — тригонометрическая форма комплексного числа.

Зная, что в представлении $z=a+ib$, $Re(z)=a$, $Im(z)=b$, получаем что в комплексной плоскости точка представляющая комплексное число имеет координаты $(a,b)$.

Получаем $Z_2(\sqrt{3},1)$ — геометрическая форма комплексного числа.

Пример 2
Найдем г.м.т. точек $z$, если $z=4(\cos{\alpha}+i\sin{\alpha})$ и $0\leq \alpha \leq \frac{\pi}{2}$.

Имеем $|z|=r=4$, $a=4\cos{\alpha}=Re(z)$, $b=4\sin{\alpha}=Im(z)$, отсюда и из условия получаем $0\leq a \leq 4$, $0\leq b \leq 4, a^2+b^2=16$. Получаем четверть круга радиуса $4$, расположенная в первой четверти декартовых координат. Так-же решение очевидно, если использовать полярную систему координат.

Пример 3
Найдем комплексное число $z=\frac{(1-i\sqrt{3})(\cos{\alpha}+i\sin{\alpha})}{(1-i)(\cos{\alpha}-i\sin{\alpha})}$.

Для на чала преобразуем комплексные числа $z_1=1-i\sqrt{3},z_2=1-i$ в тригонометрическую форму. Получим $z_1=2(\cos{\frac{5\pi}{3}}+i\sin{\frac{5\pi}{3}})$ и $x_2=\sqrt{2}(\cos{\frac{7\pi}{4}}+i\sin{\frac{7\pi}{4}})$.

Подставив найденное в исходное выражение, получим что оно состоит только из комплексных чисел в тригонометрической форме. Решим полученное.
$$\frac{2(\cos{\frac{5\pi}{3}}+i\sin{\frac{5\pi}{3}})(\cos{\alpha}+i\sin{\alpha})}{\sqrt{2}(\cos{\frac{7\pi}{4}}+i\sin{\frac{7\pi}{4}})(\cos{\alpha}-i\sin{\alpha})}=$$
$$=\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot\frac{\cos{(\alpha+\frac{5\pi}{3})}+i\sin{(\alpha+\frac{5\pi}{3})}}{\cos{(-\alpha+\frac{7\pi}{4})}+i\sin{(-\alpha+\frac{7\pi}{4})}}=$$
$$=\frac{2}{\sqrt{2}}\cdot(\cos {( — \frac{\pi}{12}+2\alpha )}+i\sin {( — \frac{\pi}{12}+2\alpha )})=z$$

В этой задаче удобно привести комплексное число к тригонометрической форме, так как операции с ними выполняются проще.

Литература

• Фаддеев Д.К., Соминский И.С. Сборник задач по высшей алгебре $—$ М.:Наука, 1972.(c.18-22)
• Фаддеев Д.К Лекции по алгебре $—$ М.:Наука, 1984.(c.26-39)

Смешанные задачи на комплексные числа.

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 5 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5

Информация

Тест на тему «Смешанные задачи на комплексные числа».

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 5

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Рубрики

1. Алгебра 0%

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 5

   1.

   Сократить (дать ответ в тригонометрической форме) $z=(1+i\sqrt{3})(1+i)(\cos{\alpha}+i\sin{\alpha})$.

   • $z=2\sqrt{2}(\cos{(\alpha + \frac{7\pi}{12})}+i\sin{(\alpha + \frac{7\pi}{12})})$
   • $z=\cos{(\alpha + \frac{7\pi}{12})}+i\sin{(\alpha + \frac{7\pi}{12})}$
   • $z=2\sqrt{2}(\cos{(\alpha + \frac{\pi}{12})}+i\sin{(\alpha + \frac{\pi}{12})})$
   • $z=\cos{\alpha}+i\sin{\alpha}$
   Правильно
   

   Неправильно
   
2. Задание 2 из 5

   2.

   Упорядочить по возрастанию модуля числа:

   • $1+i\sqrt{3}$
   • $\frac{3}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{4}$
   • $4(\cos{\frac{\pi}{6}}+i\sin{\frac{\pi}{6}})$
   • $\frac{\lg^4{100}}{3}(\cos{\frac{4\pi}{7}}+i\sin{\frac{4\pi}{7}})$
   Правильно
   

   Неправильно
   
3. Задание 3 из 5

   3.

   Выбрать два представления отвечающие одному и тому же комплексному числу.

   • $\sqrt{2}-i\sqrt{2}$
   • $2(\cos{\frac{7\pi}{4}}+i\sin{\frac{7\pi}{4}})$
   • $4-i4$
   • $\sqrt{2}(\cos{\frac{7\pi}{4}}+i\sin{\frac{7\pi}{4}})$
   • $4(\cos{\frac{\pi}{4}}+i\sin{\frac{\pi}{4}})$
   Правильно
   

   Неправильно
   
4. Задание 4 из 5

   4.

   Поставить в соответствие комплексным числам в алгебраической форме их тригонометрическое представление.

   Элементы сортировки

   • $4(\cos{\frac{\pi}{6}}+i\sin{\frac{\pi}{6}})$
   • $4(\cos{\frac{5\pi}{3}}+i\sin{\frac{5\pi}{3}})$
   • $2(\cos{\frac{11\pi}{6}}+i\sin{\frac{11\pi}{6}})$
   • $8\sqrt{2}(\cos{\frac{5\pi}{6}}+i\sin{\frac{5\pi}{6}})$

   • $2\sqrt{3}+i2$

   • $2-i2\sqrt{3}$

   • $\sqrt{3}-i$

   • $-4\sqrt{3}+i4$

   Правильно
   

   Неправильно
   
5. Задание 5 из 5

   5.

   Указать число с полярными координатами $(2,\frac{11\pi}{6})$.

   • $\sqrt{3}-i$
   • $-1+i\sqrt{3}$
   • $2+i2$
   • $1-i2$
   Правильно
   

   Неправильно
   

Любое комплексное число [latex] z=(a,b)[/latex] можно изобразить как точку на комплексной плоскости с координатами [latex]a[/latex] и [latex]b[/latex], где ось абсцисс называется вещественной, а ось ординат — мнимой.

Определение 1:

Модулем комплексного числа называется корень суммы квадратов его действительной и мнимой частей. [latex]z=a+ib[/latex], [latex]|z|=\sqrt{a^2+b^2}=[/latex] [latex]\sqrt{(Re\;z)^{2}+(Im\;z)^{2}}[/latex],
[latex]|z|\ge 0,\; |z|= [/latex] [latex]0 \Leftrightarrow z=0.[/latex]

Определение 2:

Величина угла, который образует вектор изображающий данное число на комплексной плоскости с вещественной осью называется аргументом этого комплексного числа [latex](\arg z), z\ne 0.[/latex]
Угол, отсчитываемый от оси против часовой стрелки — отрицательный, по — положительный.
Углы, отличающиеся на [latex]2\pi k,k \in Z[/latex], соответствуют одному и тому же числу и записываются как:
[latex]\mathrm{Arg}\;z=[/latex] [latex]\arg z +2\pi k,k \in Z[/latex] , [latex]0\le \arg z < 2\pi[/latex].

Определение 3:

У комплексного числа существует тригонометрическая форма записи [latex]z=r(\cos \varphi + i\sin\varphi),[/latex] [latex] r=|z|.[/latex]

Примеры:

Найти геометрическое место точек (ГМТ):

1. [latex]|z|\le 1[/latex]



2. [latex]|z+1|>1[/latex]

[latex]|z+1|=|x+iy+1|=[/latex] [latex]|(x+1)+iy|=[/latex] [latex]\sqrt{(x+1)^{2}+y{2}}=[/latex] [latex]\sqrt{(x+1)^{2}+(y+0)^{2}}>1[/latex]

Формула Муавра:

[latex]z^n=[/latex] [latex]r^n(\cos(n\varphi)+i\sin(n\varphi)).[/latex]

Лемма 1:

Для любых двух комлексных чисел [latex]z_1,z_2\;\in C[/latex] справедливо неравенство [latex]\left||z_1|-|z_2|\right|\le |z_1\pm z_2|[/latex] [latex]\le |z_1|+|z_2|[/latex]

Доказательство:

Пусть [latex]z_1\ne 0, z_2\ne 0[/latex],[latex]z_1=r_1(\cos\varphi_1+i\sin\varphi_1),[/latex] [latex]z_2=r_2(\cos\varphi_2+i\sin\varphi_2).[/latex]
[latex]|z_1+z_2|=[/latex] [latex]|r_1(\cos\varphi_1+i\sin\varphi_1)+r_2(\cos\varphi_2+i\sin\varphi_2)|=[/latex] [latex]|(r_1\cos\varphi_1+r_2\cos\varphi_2)+i(r_1\sin\varphi_1+r_2\sin\varphi_2)|=[/latex] [latex]\sqrt{r_1\cos\varphi_1+r_2\cos\varphi_2)^{2}+i(r_1\sin\varphi_1+r_2\sin\varphi_2)^{2}}=[/latex] [latex]\sqrt{r_{1}^{2}(\cos^{2}\varphi_1+\sin^{2}\varphi_1)+r_2^{2}(\cos^{2}\varphi_2+\sin^{2}\varphi_2)+2r_{1}r_{2}(\cos\varphi_1\cos\varphi_2+\sin\varphi_1\sin\varphi_2)}=[/latex](*)
[latex]\cos^{2}\varphi_1+\sin^{2}\varphi_1 = 1[/latex]
[latex]cos^{2}\varphi_2+\sin^{2}\varphi_2 = 1[/latex]
(*)=[latex]\sqrt{r_{1}^{2}+r_{2}^{2}+2r_1r_2\cos(\varphi_1-\varphi_2)}\le[/latex] [latex] \sqrt{r_{1}^{2}+r_{2}^{2}+2r_1r_2}=[/latex] [latex]\sqrt{(r_1+r_2)^2}=[/latex] [latex]r_1+r_2=|z_1|+|z_2|.[/latex]

Литература:

• Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре. М.: Наука, 1984 — c.31-35.
• Конспект лекций Г.С.Белоозерова.

Геометрическая интерпретация комплексных чисел

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 4 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4

Информация

Тест на тему «Геометрическая интерпретация комплексных чисел»:

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 4

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Рубрики

1. Нет рубрики 0%

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 4

   1.

   Количество баллов: 1

   Соеденить:

   Элементы сортировки

   • $$z^n=r^n(\cos(n\varphi)+i\sin(n\varphi))$$
   • $$\sqrt{a^2+b^2}$$
   • $$r(\cos \varphi + i\sin\varphi)$$

   • Формула Муавра:

   • Модуль комплексного числа:

   • Тригонометрическая форма комплексного числа:

   Правильно
   

   Неправильно
   
2. Задание 2 из 4

   2.

   Количество баллов: 3

   Расставить в правильном порядке доказательство леммы 1:

   • $|z_1+z_2|=|r_1(\cos <!--\; \; -->{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_1+i\sin <!--\; \; -->{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_1)+r_2(\cos <!--\; \; -->{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_2+i\sin <!--\; \; -->{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_2)|=$
   • $|(r_1\cos <!--\; \; -->{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_1+r_2\cos <!--\; \; -->{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_2)+i(r_1\sin <!--\; \; -->{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_1+r_2\sin <!--\; \; -->{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_2)|=$
   • $\sqrt{r_1\cos <!--\; \; -->{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_1+r_2\cos <!--\; \; -->{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_2{)}^2+i(r_1\sin <!--\; \; -->{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_1+r_2\sin <!--\; \; -->{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_2{)}^2}=$
   • $\sqrt{r_1^2({\cos }^2<!--\; \; -->{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_1+{\sin }^2<!--\; \; -->{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_1)+r_2^2({\cos }^2<!--\; \; -->{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_2+{\sin }^2<!--\; \; -->{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_2)+}$
   • $\sqrt{2r_1{r}_2(\cos <!--\; \; -->{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_1\cos <!--\; \; -->{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_2+\sin <!--\; \; -->{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_1\sin <!--\; \; -->{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_2)}=$
   • $\sqrt{r_1^2+r_2^2+2r_1{r}_2\cos <!--\; \; -->({\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_1-<!--\; -\; -->{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_2)}$
   • $\le <!--\; \le \; -->\sqrt{r_1^2+r_2^2+2r_1{r}_2}=$
   • $\sqrt{(r_1+r_2{)}^2}=r_1+r_2=|z_1|+|z_2|.$
   Правильно
   

   Неправильно
   
3. Задание 3 из 4

   3.

   Количество баллов: 3

   Вставить пропущенные слова (учитывая род, число, падеж):

   • "Величина угла, (который образует вектор, образующий вектор)изображающий данное число на комплексной плоскости с вещественной осью называется (аргументом) этого комплексного числа."
   Правильно
   

   Неправильно
   
4. Задание 4 из 4

   4.

   Количество баллов: 3

   [latex]\mathrm{Arg}\;z=[/latex]

   • $$\arg z +2\pi k,k \in Z$$
   • $$\arg z +3\pi k,k \in Z$$
   • $$\arg z +\pi k,k \in R$$
   Правильно
   

   Неправильно