Перед прочтением данной статьи желательно ознакомиться с темой Определение криволинейных интегралов второго рода и их свойства. Физический смысл
Вычисление криволинейных интегралов II рода
Если Γ — кусочно гладкая кривая заданная уравнением r=r(t) (α≤t≤β), а функции φi (i=1,…,n) непрерывные вдоль кривой Γ, то существует криволинейный интеграл II рода ∫Γ(F,dr) и справедливо равенство:
∫Γ(F,dr)= =β∫αn∑i=1φi(x1(t),…,xn(t))x′i(t)dt.
Примеры
-
Вычислить криволинейный интеграл ∫Γ(ydx−xdy), где Γ — дуга окружности x2+y2=1, которая начинается в точке (1,0) и заканчивается в точке (0,1).
Параметрическое представление кривой Γ имеет вид Γ:x=cost,y=sint (0≤t≤π2). Отсюда,∫Γ(ydx−xdy)= =π2∫0[sint(−sint)−cost⋅cost]dt= =−π2∫0dt=−t|π20= =−(π2−0)=−π2.
-
Вычислить криволинейный интеграл ∫Γ(ydx−xdy), где Γ — отрезок, который начинается в точке (1,0) и заканчивается в точке (0,1).
Параметрическое представление кривой Γ имеет вид Γ:x=1−t,y=t (0≤t≤1). Отсюда,∫Γ(ydx−xdy)= =1∫0[t(−1)−(1−t)⋅1]dt= =−1∫0dt=−t|π20=−(1−0)=−1.
-
Вычислить криволинейный интеграл ∫Γ(ydx+xdy), где Γ — дуга окружности x2+y2=1, которая начинается в точке (1,0) и заканчивается в точке (0,1).
Параметрическое представление кривой Γ имеет вид Γ:x=cost,y=sint (0≤t≤π2). Отсюда,∫Γ(ydx+xdy)= =π2∫0[sint(−sint)+cost⋅cost]dt= =π2∫0[cos2t−sin2t]dt=π2∫0cos2tdt= =sin2t2|π20=sinπ2−sin02=0.
Литература
Вычисление криволинейных интегралов второго рода
Чтобы убедиться в том что вы усвоили данный материал советую пройти этот тест.
Таблица лучших: Вычисление криволинейных интегралов второго рода
| Место | Имя | Записано | Баллы | Результат |
|---|---|---|---|---|
| Таблица загружается | ||||
