Метка: Критерий подгруппы

Пусть [latex]H[/latex] — подгруппа группы [latex]G[/latex], т. е. [latex]H[/latex] — группа  относительно сужения операции, определенной в группе [latex]G[/latex]. Определена алгебраическая операция в [latex]H[/latex], поэтому [latex]h_{1}h_{2}\in H[/latex] для всех [latex]h_{1},h_{2}\in H[/latex].

Проверим что единица [latex]e_{1}[/latex] подгруппы [latex]H[/latex] совпадает с единицей [latex]e[/latex] группы [latex]G[/latex]. Ясно, что [latex]e_{1}e=[/latex] [latex]ee_{1}=[/latex] [latex]e_{1}[/latex], т. к. [latex]e_{1}[/latex] — элемент из [latex]G[/latex].  В группе [latex]G[/latex] для [latex]e_{1}[/latex] имеется обратный элемент [latex]e_{1}^{-1}[/latex], то есть [latex]e_{1}^{-1}e_{1}=[/latex] [latex]e_{1}e_{1}^{-1}=[/latex] [latex]e[/latex]. Так как [latex]e_{1}[/latex] — единица в [latex]H[/latex], то [latex]e_{1}e_{1}=e [/latex]. Умножив обе части последнего равенства  на [latex]e_{1}^{-1}[/latex], получим: [latex]e_{1}^{-1}e_{1}e_{1}=[/latex] [latex]e_{1}^{-1}e_{1}[/latex] или [latex]ee_{1}=e[/latex], поэтому [latex]e_{1}=e[/latex]. Таким образом, единицы подгруппы [latex]H[/latex] и группы [latex]G[/latex] совпадают.

Так как [latex]H[/latex] подгруппа, то для каждого [latex]h\in H[/latex] существует в подгруппе [latex]H[/latex] обратный элемент [latex]h^{-1}[/latex], то есть такой элемент, что [latex]h^{-1}h=[/latex] [latex]hh^{-1}=[/latex] [latex]e_{1}=[/latex] [latex]e[/latex]. Это означает, что [latex]h^{-1}[/latex] является обратным элементом в группе [latex]G[/latex] для элемента [latex]h\in H[/latex].

Обратно, пусть [latex]h_{1}h_{2}[/latex] и [latex]h_{1}^{-1}\in H[/latex] для всех [latex]h_{1}, h_{2}\in H[/latex]. Тогда алгебраическая операция определенна на [latex]H[/latex]. Она ассоциативна в [latex]H[/latex], так как ассоциативность справедлива для всех элементов из [latex]G[/latex]. Элемент [latex]h^{-1}[/latex] обратный [latex]h \in H[/latex] также принадлежит [latex]H[/latex], поэтому [latex]h^{-1}h \in H[/latex] и [latex]hh^{-1}[/latex]. Поскольку [latex]h^{-1}h=[/latex] [latex]e=[/latex] [latex]hh^{-1}[/latex], то [latex]e \in H[/latex] и [latex]H[/latex] — группа.

[latex]<\mathbb{Z}, +>[/latex] — группа,

[latex]3\mathbb{Z} \subseteq \mathbb{Z}[/latex],

[latex]3\mathbb{Z} \overset{?}{\le} \mathbb{Z}[/latex],

[latex] a,b \in 3\mathbb{Z} \Rightarrow[/latex] [latex]a=3m_{1} \wedge b=3m_{2}[/latex],

[latex]-b=-(3m_{2})[/latex],

[latex]a+(-b)=[/latex] [latex]3m_{1}+(-3m_{2})=[/latex] [latex]3m_{1}-3m_{2}=[/latex] [latex] 3(m_{1}-m_{2})=[/latex] [latex]3m_{3}\in 3\mathbb{Z}[/latex],

[latex]3\mathbb{Z} \le \mathbb{Z}[/latex]