Критерий Сильвестра

Формулировка

Квадратичная форма [latex]Q\left(x \right)[/latex] в [latex]\mathbb{R}^{n}[/latex] положительно определена тогда и только тогда, когда все угловые миноры её матрицы [latex]B[/latex], имеющие вид
$$\Delta_{m}=\begin{vmatrix}b_{1,1}&b_{1,2}&…&b_{1,m}\\b_{2,1}&b_{2,2}&…&b_{2,m}\\…&…&…&…\\b_{m,1}&b_{m,2}&…&b_{m,m}\end{vmatrix},m=1,…,n\left(b_{ij}=b_{ji}, \forall i,j\right)$$
— положительны.

Доказательство

Достаточность

Для доказательства воспользуемся методом математической индукции и вспомогательной леммой.

Лемма

Квадратичная форма тогда и только тогда является положительно определённой, когда она приводится к диагональному виду [latex]\sum_{i=1}^{n}{a_{i}x_{i}^{2}}, a_{i}>0, i=1,…,n [/latex], а значит, и к каноническому виду [latex]Q\left(y \right)=\sum_{i=1}^{n}{y_{i}^{2}}[/latex], где [latex]y_{i}=\sqrt{a_{i}}x_{i}, i=1,…,n[/latex].

База индукции

Для [latex]n=1[/latex] достаточность очевидна.

Предположение индукции

Положим, что для [latex]n>1[/latex] из положительности угловых миноров матрицы квадратичной формы [latex]n-1[/latex] порядка включительно следует возможность приведения квадратичной формы от [latex]n-1[/latex] переменных [latex]x_{1}, x_{2},…,x_{n-1}[/latex] к виду [latex]Q\left(x \right)=\sum_{i=1}^{n}{x_{i}^{2}}[/latex].

Шаг индукции

Покажем, что достаточность имеет место и для квадратичной формы, зависящей от [latex]n[/latex] переменных.

В выражении для квадратичной формы, зависящей от [latex]n[/latex] переменных [latex]x_{1}, x_{2},…,x_{n-1}, x_{n}[/latex], выделим слагаемые, содержащие [latex]x_{n}[/latex]:

[latex]Q\left(x \right)=\sum_{j=1}^{n-1}{\sum_{i=1}^{n-1}{b_{ji}x_{j}x_{i}}}+2\sum_{j=1}^{n-1}{b_{jn}x_{j}x_{_{n}}}+b_{nn}x_{n}^{2}[/latex].

Сумма [latex]\sum_{j=1}^{n-1}{\sum_{i=1}^{n-1}{b_{ji}x_{j}x_{i}}}=Q^{*}\left(x_{1}, x_{2},…,x_{n-1} \right)[/latex] в правой части этого равенства является квадратичной формой [latex]Q^{*}\left(x \right)[/latex], зависящей от [latex]n-1[/latex] переменной, причём её угловые миноры совпадают с угловыми минорами [latex]Q\left(x \right)[/latex] её матрицы до порядка [latex]n-1[/latex] включительно, которые положительны по условию.

Следовательно, по предположению индукции, квадратичная форма [latex]Q^{*}\left(x \right)[/latex] положительно определённа и для неё существует невырожденная замена переменных

[latex]x_{i}=\sum_{i=1}^{n-1}{\gamma _{ji}y_{i}}, j=1,…,n-1,[/latex]

приводящая её к каноническому виду: [latex]Q^{*}\left(x \right)=\sum_{i=1}^{n-1}{y_{i}^{2}}[/latex].
Запишем квадратичную форму [latex]Q\left(x \right)[/latex] в новых переменных:

[latex]Q\left(x \right)=\sum_{i=1}^{n-1}{y_{i}^{2}}+2\sum_{i=1}^{n-1}{b_{in}^{‘}y_{i}x_{_{n}}}+b_{nn}x_{n}^{2}[/latex]

и выделим полные квадраты по [latex]y_{1}, … y_{n-1}[/latex]:

[latex]Q(x)=\sum_{i=1}^{n-1}{(y_{i}^{2}+2b_{in}^{‘}y_{i}x_{n}+b_{in}^{‘2}x_{n}^{2})}+(b_{nn}-\sum_{i=1}^{n-1}{b_{in}^{‘2}})x_{n}^{2}=\sum_{i=1}^{n-1}{z_{i}^{2}}+b_{nn}^{»}x_{n}^{2}[/latex],

где [latex]b_{nn}^{»}=b_{nn}-\sum_{i=1}^{n-1}{b_{in}^{‘2}}[/latex], [latex]z_{i}=y_{i}+b_{in}^{‘}x_{n}[/latex], [latex]i=1,…,n-1[/latex].

В матричном виде эту замену переменных можно описать как

[latex]\begin{pmatrix}z_{1}\\ z_{2}\\ …\\ z_{n-1}\\ x_{n}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 &0 &… &0 &b’_{1,n} \\ 0& 1 & … & 0 & b’_{2,n}\\ …& …& … &… &… \\ 0 & 0 & … & 1& b’_{n-1,n}\\ 0& 0 & … & 0 & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}y_{1}\\ y_{2}\\ …\\ y_{n-1}\\ x_{n}\end{pmatrix}[/latex],

и поскольку её определитель отличен от нуля, то эта замена невырожденная.

Наконец, определитель матрицы квадратичной формы сохраняет знак при замене базиса. Определитель матрицы [latex]B[/latex] квадратичной формы в исходном базисе положительный, поскольку этот определитель является угловым минором порядка [latex]n[/latex]. Но из выражения для [latex]Q \left(x \right)[/latex] в конечно базисе мы получаем, что определитель квадратичной формы [latex]Q \left(x \right)[/latex] равен [latex]b»_{nn}[/latex]. Поэтому [latex]b»_{nn}>0[/latex] и можно ввести переменную [latex]z_{n}=\sqrt{b»_{nn}}x_{n}[/latex], в результате чего получаем канонический вид квадратичной формы [latex]Q\left(x \right)=\sum_{i=1}^{n}{z_{i}^{2}}[/latex].

Отсюда следует, что квадратичная форма [latex]Q\left(x \right)[/latex] положительно определена.

Достаточность доказана.

Необходимость

Дано, что квадратичная функция положительно определена, нужно доказать положительность угловых миноров её матрицы. Снова применим метод математической индукции по числу переменных [latex]n[/latex].

База индукции

Для [latex]n=1[/latex] достаточность очевидна.

Предположение индукции

Пусть для [latex]n>1[/latex] и для форм от меньшего числа переменных утверждение теоремы верно.

Шаг индукции

Поскольку квадратичная форма [latex]Q^{*}\left(x \right)[/latex] из доказательства достаточности также является положительно определённой, то по предположению индукции следует, что её угловые миноры, совпадающие с угловыми минорами матрицы [latex]B[/latex] до порядка [latex]n>1[/latex], положительны. А определитель самой матрицы [latex]B[/latex], который является угловым минором порядка [latex]n[/latex],положителен, поскольку [latex]Q\left(x \right)[/latex] приводится к каноническому виду [latex]Q\left(x \right)=\sum_{i=1}^{n}{z_{i}^{2}}[/latex], и определитель матрицы полученной при этом квадратичной формы равен [latex]1[/latex] и имеет такой же знак, как и определитель матрицы [latex]B[/latex].

Необходимость доказана.

Теорема доказана.

Следствие

Для того, чтобы квадратичная форма [latex]Q\left(x \right)[/latex] в [latex]\mathbb{R}^{n}[/latex] была отрицательно определена, необходимо и достаточно, чтобы все угловые миноры её матрицы [latex]B[/latex] имели чередующиеся знаки, начиная с минуса.

Примеры

При решении воспользоваться критерием Сильвестра.

Пример 1

Определить вид квадратичной формы [latex]Q\left(x_{1},x_{2} \right)=x_{1}^{2}+2x_{2}^{2}-x_{1}x_{2}[/latex].

Пример 2

Определить вид квадратичной формы [latex]Q\left(x_{1},x_{2},x_{3} \right)=-4x_{1}^{2}-2x_{2}^{2}-x_{3}^{2}[/latex]

[spoilergroup]

Пример 1

Построим матрицу квадратичной формы:

[latex]\begin{pmatrix}1 &-0,5\\ -0,5&2 \end{pmatrix}[/latex]

Посчитаем определители угловых миноров.

[latex]\Delta _{1}=1, \Delta _{2}=1,75[/latex]

Квадратичная форма положительно определённая по критерию Сильвестра.

[свернуть]

Пример 2

Построим матрицу квадратичной формы:

[latex]\begin{pmatrix}-4 &0 &0\\ 0& -2&0 \\ 0 & 0&-1 \end{pmatrix}[/latex]

Посчитаем определители угловых миноров.

[latex]\Delta _{1}=-4, \Delta _{2}=8, \Delta _{3}=-8[/latex]

Квадратичная форма отрицательно определённая по следствию из критерия Сильвестра.

[свернуть]

[/spoilergroup]

Литература

Тест на умение применить критерий Сильвестра

Тест на умение применить критерий Сильвестра для определения вида квадратичных форм.