Метка: Лемма Больцано-Вейерштрасса

Теорема Больцано — Вейерштрасса, или лемма Больцано — Вейерштрасса о предельной точке — фундаментальная теорема математического анализа, гласящая, что из любой ограниченной последовательности точек пространства $\mathbb{R}^n$ можно выделить сходящуюся подпоследовательность. Т. Б. — В., используется при доказательстве многих теорем анализа, например, теоремы о достижении непрерывной на отрезке функцией своих точных верхней и нижней граней. Теорема названа в честь чешского математика Бернарда Больцано и немецкого математика Карла Вейерштрасса, которые независимо друг от друга вывели ее формулировку и доказательство.

Формулировка. Любое бесконечное ограниченное множество $F \subset \mathbb{R}^n$ имеет по крайней мере одну предельную точку. Доказательство. Пусть множество $F$ является бесконечным и ограниченным множеством. Предположим, что оно не имеет предельных точек. Следовательно, оно является замкнутым. Поскольку $F$ еще и ограничено, то, по теореме Гейне – Бореля, $F$ компактно. Для каждой точки $x \in F$ построим такую окрестность $U_x$, в которой нет других точек из $F$, кроме $x$ (если бы для какой-то точки $x$ такой окрестности не было, то эта точка была бы предельной для $F$). Тогда семейство $\left\{U_x \right\}_{x \in F}$ образует открытое покрытие компактного множества $F$. Пользуясь компактностью $F$, выберем из него некое конечное подпокрытие, иными словами. конечный набор шаров, в каждом из которых содержится лишь по одной точке из множества $E$. Но это противоречит тому, что множество $E$ бесконечно.$\square$
Замечание. Предельная точка, существование которой утверждается в данной теореме, вообще говоря, не обязана принадлежать множеству $E$.

Литература:

• В.И. Коляда, А.А. Кореновский. Курс лекций по математическому анализу — Одесса, «Астропринт», 2009. (с.241-242)
• Теорема Больцано-Вейерштрасса. Материал из Википедии — свободной энциклопедии
• Конспект З.М. Лысенко