4.7 Теоремы Вейерштрасса

Ранее мы показывали, что непрерывная в точке функция локально ограничена в некоторой окрестности этой точки. Однако из локальной ограниченности в каждой точке некоторого множества не следует ограниченность функции на всем множестве. Например, функция $f\left(x\right)=\frac{1}{x}\left(0<x<1\right)$ непрерывна в каждой точке $x_0 \in \left(0,1\right)$ и, следовательно, локально ограничена в каждой точке (т. е. для каждой точки $x_0 \in \left(0,1\right)$ существует такая окрестность $\left(x_0 − \delta, x_0 + \delta \right)$, в которой функция $f$ ограничена). Вместе с тем функция $f$ неограниченна на всем множестве $\left(0,1\right)$.

Первая теорема Вейерштрасса. Если функция $f$ непрерывна на отрезке $\left[a,b\right]$, то она ограничена на этом отрезке.

Предположим, что $f$ неограниченна на $\left[a,b\right]$. Это означает, что для любого $M$ найдется такое $x \in \left[a,b\right]$, что $\mid f\left(x\right)\mid > M$. Полагая $M = 1, 2, . . .$ , построим последовательность точек $x_n \in \left[a,b\right]$, таких, что $\mid f \left(x_n\right)\mid > n$. Так как последовательность $\left\{x_n\right\}$ ограничена, то, в силу леммы Больцано – Вейерштрасса, из нее можно выделить сходящуюся подпоследовательность $\left\{x_{n_{k}}\right\}$. Пусть $\left\{x_{n_{k}}\right\} \to c \left(k \to \infty \right)$. Тогда $c \in \left[a,b\right]$ (здесь существенно используется тот факт, что $\left[a,b\right]$ – отрезок). В силу непрерывности функции $f$ в точке $c$, имеем $f \left(x_{n_{k}}\right) \to f\left(c\right)$, т. е. $\left\{f \left(x_{n_{k}} \right)\right\}$ сходящаяся и, следовательно, ограниченная последовательность. С другой стороны, так как $\mid f \left(x_{n_{k}}\right) \mid > n_k$ , то последовательность $\left\{f \left(x_{n_{k}} \right)\right\}$ неограниченна. Полученное противоречие доказывает теорему.

Приведем еще одно доказательство первой теоремы Вейерштрасса, основанное на применении метода деления отрезка пополам.

Предположим, что $f$ неограниченна на $\left[a,b\right]$. Разделим $\left[a,b\right]$ пополам. Тогда хотя бы на одном из двух полученных отрезков функция $f$ неограниченна. Обозначим такой отрезок через $I_1$ (если $f$ неограниченна на обоих отрезках, то выберем любой из них). Разделим $I_1$ пополам и обозначим через $I_2$ тот из полученных отрезков, на котором функция $f$ неограниченна. Продолжая этот процесс, получим последовательность вложенных друг в друга отрезков $I_n$, длины которых $\mid I_n \mid =\frac{b-a}{2^{n}} \to 0 \left(n \to \infty \right)$. По лемме Кантора о вложенных отрезках, существует единственная точка $c \in \left[a,b\right]$, принадлежащая всем отрезкам $I_n$. Так как $f$ непрерывна в точке $c$, то $f$ локально ограничена в точке $c$, т. е. найдется такое $\delta > 0$, что $f$ ограничена на множестве $\left(c − \delta, c + \delta \right)\bigcap \left[a,b\right]$. Выберем номер $n$ настолько большим, что $\frac{b-a}{2^{n}} < \delta $. Тогда $I_n \subset \left(c − \delta, c + \delta \right)$. . Но из ограниченности $f$ на множестве $\left(c − \delta, c + \delta \right)\bigcap \left[a,b\right]$ следует, что $f$ ограничена также и на подмножестве $I_n$ этого множества, что противоречит выбору отрезков $I_n$.

Следствие из теоремы Больцано – Коши (свойство промежуточных значений) утверждает, что областью значений непрерывной на отрезке функции является промежуток. Но это может быть либо интервал, либо полуинтервал, либо отрезок. Мы уточним это следствие. Именно, покажем, что областью значений непрерывной на отрезке функции является отрезок.

Определение. Говорят, что функция $f$ ограничена сверху (снизу) на множестве $E$, если ограничено сверху (снизу) множество ее значений

$$f\left(E \right) \equiv \left\{f\left(x \right) : x \in E\right\}.$$

Верхней (нижней) гранью функции $f$ на множестве $E$ называют верхнюю (нижнюю) грань множества $f\left(E\right)$ и обозначают $\underset{x \in E}{\sup} f\left(x\right) \left(\underset{x \in E}{\inf} f\left(x\right)\right)$.

Если $A = \underset{x \in E}{\sup} f\left(x\right)$, то это означает, что

  1. для любого $x \in E$ справедливо неравенство $f\left(x\right) \leq A$;
  2. для любого $\varepsilon > 0$ найдется такое ${x}’ \in E$, что $f \left({x}’\right) > A − \varepsilon $.

Ясно, что эти два свойства равносильны определению верхней грани функции $f$.

Ранее отмечалось, что не каждое ограниченное сверху множество имеет наибольший элемент. Пусть ограниченное множество $f\left(E\right)$ является множеством значений некоторой функции $f$, заданной на множестве $E$. Если во множестве $f\left(E\right)$ существует наибольший элемент, т. е. если существует такое $x_0 \in E$, что $f \left(x_0\right) = \underset{x \in E}{\sup} f\left(x\right)$, то говорят, что функция $f$ достигает своей верхней грани. В противном случае говорят, что верхняя грань функции $f$ не достигается.

Аналогичные понятия формулируются и для нижней грани.

Зададимся вопросом: каждая ли ограниченная сверху функция достигает своей верхней грани? Ответ, очевидно, отрицательный.

Например, для функции $f\left(x\right) = x$, заданной на $\left(0, 1\right)$, $\underset{x \in \left(0,1\right)}{\sup} f\left(x\right) = 1$, но для любого $x \in \left(0, 1\right)$ справедливо неравенство $f\left(x\right) < 1$, т. е. верхняя грань не достигается. Другим примером может служить функция дробной части $f\left(x\right) = \left\{x\right\}$ на отрезке $\left[0, 1\right]$.

В первом примере функция непрерывна, но задана на интервале. Во втором примере функция задана на отрезке, но не является непрерывной на этом отрезке. Если же функция непрерывна на отрезке, то она достигает своей верхней грани. В этом и состоит

Вторая теорема Вейерштрасса. Пусть функция $f$ непрерывна на отрезке $\left[a,b\right]$. Тогда $f$ достигает своих верхней и нижней граней, т. е. существуют такие $\alpha$ , $\beta \in \left[a,b\right]$ , что

$$f\left(\alpha \right) = \underset{x \in \left[a,b\right]}{\sup} f\left(x\right), f\left(\beta \right) = \underset{x \in \left[a,b\right]}{\inf} f\left(x\right).$$

Согласно первой теореме Вейерштрасса, непрерывная на $\left[a,b\right]$ функция $f$ ограничена. Значит, существует конечное $M = \underset{x \in \left[a,b\right]}{\sup} f(x)$. По определению верхней грани, $f\left(x\right) \leq M$ при каждом $x \in \left[a,b\right]$, и для любого $\varepsilon > 0$ найдется такое ${x}’ \in \left[a,b\right]$, что $f \left({x}’\right) > M − \varepsilon $. Полагая $\varepsilon = \frac{1}{n} \left(n = 1, 2 . . . \right)$, построим последовательность точек $x_n \in \left[a,b\right]$, такую, что $f \left(x_n \right) > M − \frac{1}{n}$. Так как последовательность $\left\{x_n \right\}$ ограничена, то, по лемме Больцано – Вейерштрасса, из нее можно выделить сходящуюся подпоследовательность $\left\{x_{n_{k}}\right\}$. Обозначим $\alpha = \underset{k \to \infty}{\lim} x_{n_{k}}$. Тогда $\alpha \in \left[a,b\right]$. В силу непрерывности функции $f$ в точке $\alpha$, имеем $f\left(\alpha \right) = \underset{k \to \infty}{\lim} f\left(x_{n_{k}}\right)$. Но, поскольку $$M − \frac{1}{n_k} < f\left(x_{n_{k}}\right) \leq M < M + \frac{1}{n_k},$$ то отсюда следует, что $\underset{k \to \infty}{\lim} f\left(x_{n_{k}}\right) = M$. В силу единственности предела получаем, что $f\left(\alpha \right) = M$.

Аналогично показываем, что в некоторой точке $\beta \in \left[a, b \right]$ функция $f$ достигает своей нижней грани.

Приведем еще одно доказательство второй теоремы Вейерштрасса, основанное на применении первой теоремы Вейерштрасса.

Пусть функция $f$ непрерывна на отрезке $\left[a, b \right]$. Тогда, в силу первой теоремы Вейерштрасса, существует $M = \underset{x \in \left[a, b \right]}{\sup} f\left(x\right)$. Предположим, что функция $f$ не достигает своей верхней грани, т. е. пусть для каждого $x \in \left[a, b \right]$ справедливо неравенство $f\left(x\right) < M$. Тогда функция $\varphi \left(x \right) = \frac{1}{M-f\left(x\right)}$ непрерывна на $\left[a,b\right]$ (по теореме об арифметических свойствах непрерывных функций). Применяя к функции $\varphi$ первую теорему Вейерштрасса, получаем, что $\varphi$ ограничена на $\left[a,b\right]$, т. е. существует такое $M_{1} > 0$, что для всех $x \in \left[a,b\right]$ справедливо неравенство $\varphi \left(x\right) \leq M_1$. Но из этого неравенства вытекает, что $f \left(x\right) \leq M − \frac{1}{M_1}$ $\left(x \in \left[a, b \right] \right)$, а это противоречит тому, что число $M$ является верхней гранью, т. е. наименьшей из всех верхних границ функции $f$.

Свойство промежуточных значений и обе теоремы Вейерштрасса можно объединить в виде одной следующей теоремы.

Теорема. Областью значений непрерывной на отрезке функции является отрезок.

Пример:

Найти верхнюю и нижнюю грани функции на отрезке $f\left(x \right) = 2x^{3} — 12x^{2} + 18x + 4$ на отрезке $\left[\frac{1}{2}, 3 \right]$

Решение:

Сперва вычислим значения функции в критических точках, принадлежащих данному отрезку: ${f}’ \left(x \right) = {\left(2x^{3} — 12x^{2} + 18x + 4 \right)}’ = 6x^{2} — 24x + 18 = 6\left(x^{2} — 4x + 3 \right)$

Полученное квадратное уравнение имеет два действительных корня: $x_{1}=1, x_{2}=3$ – критические точки.

Первая и вторая критические точки принадлежат данному отрезку: $x_{1}=1, x_{2}=3 \in \left[\frac{1}{2}, 3 \right]$ Вычислим значение функции в нужных точках: $f\left(x_{1}\right) = f\left(1\right) = 2\cdot 1^{3} — 12 \cdot 1^{2} +18\cdot 1+4 = 2-12+18+4=12$ $f\left(x_{2}\right) = f\left(3\right) = 2\cdot 3^{3} — 12 \cdot 3^{2} +18\cdot 3+4 = 2\cdot 27 -12\cdot 9+ 54+4=4$

Теперь вычислим значения функции на концах отрезка: $ f\left(\frac{1}{2}\right) = 2\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{3} — 12 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{2} +18\cdot \left(\frac{1}{2}\right)+4 = 2\cdot \frac{1}{8} — 12 \cdot \frac{1}{4}+18\cdot \frac{1}{2} +4 = 10 \frac{1}{4}$

Среди всех полученных чисел выбираем наибольшее и наименьшее, это и будут наши $\sup$ и $\inf$ соответственно

Ответ: $\underset{x \in \left[a, b \right]}{\sup} f\left(x\right) = f\left(1\right) = 12$, $\underset{x \in \left[a, b \right]}{\inf} f\left(x\right) = f\left(3\right) = 4$

Теоремы Вейерштрасса

Для закрепления материала пройдите следующий тест:

Литература

  1. Коляда В.И., Кореновский А. А. Курс лекций по математическому анализу.- Одесса : Астропринт , 2009. с. 84-87.
  2. Б. П. Демидович «Сборник задач и упражнений по математическому анализу» 13-е издание, 1997 М.: Изд-во Моск. ун-та, ЧеРо — с. 50-51.
  3. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления: учеб. пособие для ун-тов и пед. ин-тов. Т. 1 / Г. М. Фихтенгольц. — 5-е изд., стереотип. — Москва: Физматгиз, 1962. — c. 369-371.

Лемма Больцано-Вейерштрасса

Теорема Больцано — Вейерштрасса, или лемма Больцано — Вейерштрасса о предельной точке — фундаментальная теорема математического анализа, гласящая, что из любой ограниченной последовательности точек пространства [latex]\mathbb{R}^n[/latex] можно выделить сходящуюся подпоследовательность. Т. Б. — В., используется при доказательстве многих теорем анализа, например, теоремы о достижении непрерывной на отрезке функцией своих точных верхней и нижней граней. Теорема названа в честь чешского математика Бернарда Больцано и немецкого математика Карла Вейерштрасса, которые независимо друг от друга вывели ее формулировку и доказательство.

Формулировка. Любое бесконечное ограниченное множество [latex]F \subset \mathbb{R}^n[/latex] имеет по крайней мере одну предельную точку. Доказательство. Пусть множество [latex]F[/latex] является бесконечным и ограниченным множеством. Предположим, что оно не имеет предельных точек. Следовательно, оно является замкнутым. Поскольку [latex]F[/latex] еще и ограничено, то, по теореме Гейне – Бореля, [latex]F[/latex] компактно. Для каждой точки [latex]x \in F[/latex] построим такую окрестность [latex]U_x[/latex], в которой нет других точек из [latex]F[/latex], кроме [latex]x[/latex] (если бы для какой-то точки [latex]x[/latex] такой окрестности не было, то эта точка была бы предельной для [latex]F[/latex]). Тогда семейство [latex]\left\{U_x \right\}_{x \in F}[/latex] образует открытое покрытие компактного множества [latex]F[/latex]. Пользуясь компактностью [latex]F[/latex], выберем из него некое конечное подпокрытие, иными словами. конечный набор шаров, в каждом из которых содержится лишь по одной точке из множества [latex]E[/latex]. Но это противоречит тому, что множество [latex]E[/latex] бесконечно.[latex]\square[/latex]
Замечание. Предельная точка, существование которой утверждается в данной теореме, вообще говоря, не обязана принадлежать множеству [latex]E[/latex].

Литература: