Операция транспонирования матриц и ее свойства

Определение. Пусть задана матрица A. Тогда замена строк на столбцы, а столбцов — на строки называется транспонированием по отношению к A. Так, если A=(a11a12a1na21a22a2nam1am2amn),

то транспонированная матрица будет выглядеть: AT=(a11a21am1a12a22am2a1na2namn).

Свойства транспонирования матриц

  1. (AT)T=A
  2. Пусть задана матрица A=(a11a12a1na21a22a2nam1am2amn).


    Проведём транспонирование матрицы A:
    AT=(a11a21am1a12a22am2a1na2namn).

    Проведём повторное транспонирование матрицы AT и получаем: (AT)T=(a11a12a1na21a22a2nam1am2amn).

    Следовательно, (AT)T=A, что и требовалось доказать.

  3. (λA)T=λAT
  4. Пусть задана матрица A=(a11a12a1na21a22a2nam1am2amn).


    Проведём транспонирование матрицы A:
    AT=(a11a21am1a12a22am2a1na2namn).

    Докажем, что (λA)T=λAT. Найдём (λA)T λ(a11a12a1na21a22a2nam1am2amn)=(a11λa12λa1nλa21λa22λa2nλam1λam2λamnλ).

    Проведём транспонирование и получаем: (λA)T=(a11λa21λam1λa12λa22λam2λa1nλa2nλamnλ).

    Найдём λAT: λAT=(a11λa21λam1λa12λa22λam2λa1nλa2nλamnλ).

    Следовательно, (λA)T=λAT, что и требовалось доказать.

  5. (A+B)T=AT+BT
  6. Пусть A=(a11a12a1na21a22a2nam1am2amn),B=(b11b12b1nb21b22b2nbn1bn2bmn).


    Проведём транспонирование матриц: AT=(a11a21am1a12a22am2a1na2namn),BT=(b11b21bm1b12b22bm2b1nb2nbmn).

    Найдём (A+B)T и AT+BT:
    A+B=(a11+b11a12+b12a1n+b1na21+b21a21+b21a2n+b2nam1+bm1am1+bm1amn+bmn).

    (A+B)T=(a11+b11a21+b21a1n+b1na12+b12a22+b22a2n+b2na1n+b1na2n+b2namn+bmn).

    AT+BT=(a11+b11a21+b21a1n+b1na12+b12a22+b22a2n+b2na1n+b1na2n+b2namn+bmn).

    Получаем, что (A+B)T=AT+BT, что и требовалось доказать.

  7. (AB)T=ATBT
  8. Пусть A=(a11a12a1na21a22a2nam1am2amn),B=(b11b12b1nb21b22b2nbm1bm2bmn).


    Проведём транспонирование матриц: AT=C=(c11c21cm1c12c22cm2c1nc2ncmn),BT=D=(d11d21dm1d12d22dm2d1nd2ndmn).

    так, что сji=aij, dβα=bαβ
    AB=F=(f11f12f1nf21f22f2nfm1fm2fmn).

    ATBT=G=(g11g21gm1g12g22gm2g1ng2ngmn).

    Тогда, fij=kα=1aiαbαj,

    gji=kα=1djαcαi=kα=1bαjaiα=kα=1=aiαbαj=fij.

    Итак, gji=fij при всех i=1,2,,m и j=1,2,,n, следовательно, G=FT, т. е. ATBT=(AB)T.

      Примеры решения задач

      Пример 1

      Дана матрица A=(5261498310). Составить матрицу AT.

      Решение

      Пример 2

      Дана матрица A=(110972301114). Найти (2A)T.

      Решение

      Пример 3

      Даны две матрицы A=(5182436910) и B=(117102311904).
      Найти (A+3B)T.

      Решение

      Пример 4

      Даны две матрицы A=(5111612564345102251956143323344589) и
      B=(121015113220221482511341641112).


      Найти (AB)T.

      Решение

      Пример 5

      Дана транспонированная матрица AT=(132221211112042031615509). Найти первоначальную матрицу A.

      Решение

      Смотрите также

      Операция транспонирования матриц и ее свойства

      1. Задание 1 из 4
        1.
        Количество баллов: 2
        Рубрика: Алгебра

        Транспонирование матрицы это

        • 1.
        • 2.
        • 3.
        • 4.