Операция транспонирования матриц и ее свойства

Определение. Пусть задана матрица $A.$ Тогда замена строк на столбцы, а столбцов — на строки называется транспонированием по отношению к $A.$ Так, если $$A = \begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots\\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}
\end{pmatrix},$$ то транспонированная матрица будет выглядеть: $$A^{T} = \begin{pmatrix}
a_{11} & a_{21} & \cdots & a_{m1}\\
a_{12} & a_{22} & \cdots & a_{m2}\\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots\\
a_{1n} & a_{2n} & \cdots & a_{mn}
\end{pmatrix}.$$

Свойства транспонирования матриц

  1. $\left ( A^{T} \right )^{T} = A $
  2. Пусть задана матрица $$A = \begin{pmatrix}
    a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\
    a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\
    \cdots & \cdots & \cdots & \cdots\\
    a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}
    \end{pmatrix}.$$
    Проведём транспонирование матрицы $A:$
    $$A^{T} = \begin{pmatrix}
    a_{11} & a_{21} & \cdots & a_{m1}\\
    a_{12} & a_{22} & \cdots & a_{m2}\\
    \cdots & \cdots & \cdots & \cdots\\
    a_{1n} & a_{2n} & \cdots & a_{mn}
    \end{pmatrix}.$$
    Проведём повторное транспонирование матрицы $A^{T}$ и получаем: $$\left ( A^{T} \right )^{T} = \begin{pmatrix}
    a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\
    a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\
    \cdots & \cdots & \cdots & \cdots\\
    a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}
    \end{pmatrix}. $$
    Следовательно, $ \left ( A^{T} \right )^{T} = A,$ что и требовалось доказать.

  3. $\left ( \lambda \cdot A \right )^{T} = \lambda \cdot A^{T}$
  4. Пусть задана матрица $$A = \begin{pmatrix}
    a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\
    a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\
    \cdots & \cdots & \cdots & \cdots\\
    a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}
    \end{pmatrix}.$$
    Проведём транспонирование матрицы $A:$
    $$A^{T} = \begin{pmatrix}
    a_{11} & a_{21} & \cdots & a_{m1}\\
    a_{12} & a_{22} & \cdots & a_{m2}\\
    \cdots & \cdots & \cdots & \cdots\\
    a_{1n} & a_{2n} & \cdots & a_{mn}
    \end{pmatrix}.$$
    Докажем, что $ \left ( \lambda \cdot A \right )^{T} = \lambda \cdot A^{T}.$ Найдём $\left ( \lambda \cdot A \right )^{T}$ $$ \lambda \cdot \begin{pmatrix}
    a_{11}\cdot & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\
    a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\
    \cdots & \cdots & \cdots & \cdots\\
    a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}
    \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
    a_{11}\cdot \lambda & a_{12}\cdot \lambda & \cdots & a_{1n}\cdot \lambda\\
    a_{21}\cdot \lambda & a_{22}\cdot \lambda & \cdots & a_{2n}\cdot \lambda\\
    \cdots & \cdots & \cdots & \cdots\\
    a_{m1}\cdot \lambda & a_{m2}\cdot \lambda & \cdots & a_{mn}\cdot \lambda
    \end{pmatrix}.$$
    Проведём транспонирование и получаем: $$\left ( \lambda \cdot A \right )^{T} = \begin{pmatrix}
    a_{11}\cdot \lambda & a_{21}\cdot \lambda & \cdots & a_{m1}\cdot \lambda\\
    a_{12}\cdot \lambda & a_{22}\cdot \lambda & \cdots & a_{m2}\cdot \lambda\\
    \cdots & \cdots & \cdots & \cdots\\
    a_{1n}\cdot \lambda & a_{2n}\cdot \lambda & \cdots & a_{mn}\cdot \lambda
    \end{pmatrix}. $$
    Найдём $\lambda \cdot A^{T}:$ $$ \lambda \cdot A^{T} = \begin{pmatrix}
    a_{11}\cdot \lambda & a_{21}\cdot \lambda & \cdots & a_{m1}\cdot \lambda\\
    a_{12}\cdot \lambda & a_{22}\cdot \lambda & \cdots & a_{m2}\cdot \lambda\\
    \ldots & \cdots & \cdots & \cdots\\
    a_{1n}\cdot \lambda & a_{2n}\cdot \lambda & \cdots & a_{mn}\cdot \lambda
    \end{pmatrix}.$$
    Следовательно, $\left ( \lambda \cdot A \right )^{T} = \lambda \cdot A^{T},$ что и требовалось доказать.

  5. $\left ( A + B \right )^{T} = A^{T} + B^{T}$
  6. Пусть $$ A = \begin{pmatrix}
    a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\
    a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\
    \cdots & \cdots & \cdots & \cdots\\
    a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}
    \end{pmatrix}, \; B = \begin{pmatrix}
    b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1n}\\
    b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2n}\\
    \cdots & \cdots & \cdots & \cdots\\
    b_{n1} & b_{n2} & \cdots & b_{mn}
    \end{pmatrix}.$$
    Проведём транспонирование матриц: $$ A^{T}= \begin{pmatrix}
    a_{11} & a_{21} & \cdots & a_{m1}\\
    a_{12} & a_{22} & \cdots & a_{m2}\\
    \cdots & \cdots & \cdots & \cdots\\
    a_{1n} & a_{2n} & \cdots & a_{mn}
    \end{pmatrix}, \; B^{T}= \begin{pmatrix}
    b_{11} & b_{21} & \cdots & b_{m1}\\
    b_{12} & b_{22} & \cdots & b_{m2}\\
    \cdots & \cdots & \cdots & \cdots\\
    b_{1n} & b_{2n} & \cdots & b_{mn}
    \end{pmatrix}.$$
    Найдём $\left ( A + B \right )^{T}$ и $A^{T} + B^{T}:$
    $$A + B= \begin{pmatrix}
    a_{11} + b_{11} &a_{12} + b_{12} & \cdots & a_{1n} + b_{1n}\\
    a_{21} + b_{21} &a_{21} + b_{21} & \cdots & a_{2n} + b_{2n}\\
    \cdots & \cdots & \cdots & \cdots\\
    a_{m1} + b_{m1} &a_{m1} + b_{m1} & \cdots & a_{mn} + b_{mn}
    \end{pmatrix}. $$
    $$\left ( A + B \right )^{T}= \begin{pmatrix}
    a_{11} + b_{11} &a_{21} + b_{21} & \cdots & a_{1n} + b_{1n}\\
    a_{12} + b_{12} &a_{22} + b_{22} & \cdots & a_{2n} + b_{2n}\\
    \cdots & \cdots & \cdots & \cdots\\
    a_{1n} + b_{1n} &a_{2n} + b_{2n} & \cdots & a_{mn} + b_{mn}
    \end{pmatrix}.$$
    $$A^{T} + B^{T} = \begin{pmatrix}
    a_{11} + b_{11} &a_{21} + b_{21} & \cdots & a_{1n} + b_{1n}\\
    a_{12} + b_{12} &a_{22} + b_{22} & \cdots & a_{2n} + b_{2n}\\
    \cdots & \cdots & \cdots & \cdots\\
    a_{1n} + b_{1n} &a_{2n} + b_{2n} & \cdots & a_{mn} + b_{mn}
    \end{pmatrix}.$$
    Получаем, что $\left ( A + B \right )^{T} = A^{T} + B^{T},$ что и требовалось доказать.

  7. $\left ( A \cdot B \right )^{T} = A^{T} \cdot B^{T}$
  8. Пусть $$ A = \begin{pmatrix}
    a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\
    a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\
    \cdots & \cdots & \cdots & \cdots\\
    a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}
    \end{pmatrix}, \; B = \begin{pmatrix}
    b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1n}\\
    b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2n}\\
    \cdots & \cdots & \cdots & \cdots\\
    b_{m1} & b_{m2} & \cdots & b_{mn}
    \end{pmatrix}.$$
    Проведём транспонирование матриц: $$ A^{T} = C = \begin{pmatrix}
    c_{11} & c_{21} & \cdots & c_{m1}\\
    c_{12} & c_{22} & \cdots & c_{m2}\\
    \cdots & \cdots & \cdots & \cdots\\
    c_{1n} & c_{2n} & \cdots & c_{mn}
    \end{pmatrix}, \; B^{T} = D = \begin{pmatrix}
    d_{11} & d_{21} & \cdots & d_{m1}\\
    d_{12} & d_{22} & \cdots & d_{m2}\\
    \cdots & \cdots & \cdots & \cdots\\
    d_{1n} & d_{2n} & \cdots & d_{mn}
    \end{pmatrix}.$$
    так, что $ с_{ji} = a_{ij},$ $ d_{\beta \alpha} = b_{\alpha \beta} $
    $$AB = F = \begin{pmatrix}
    f_{11} & f_{12} & \cdots & f_{1n}\\
    f_{21} & f_{22} & \cdots & f_{2n}\\
    \cdots & \cdots & \cdots & \cdots\\
    f_{m1} & f_{m2} & \cdots & f_{mn}
    \end{pmatrix}. $$
    $$A^{T}B^{T} = G = \begin{pmatrix}
    g_{11} & g_{21} & \cdots & g_{m1}\\
    g_{12} & g_{22} & \cdots & g_{m2}\\
    \cdots & \cdots & \cdots & \cdots\\
    g_{1n} & g_{2n} & \cdots & g_{mn}
    \end{pmatrix}. $$
    Тогда, $$f_{ij} = \sum_{\alpha = 1}^{k} a_{i\alpha} b_{\alpha j},$$
    $$g_{ji} = \sum_{\alpha = 1}^{k}d_{j\alpha} c_{\alpha i} = \sum_{\alpha = 1}^{k} b_{\alpha j} a_{i \alpha} = \sum_{\alpha = 1}^{k} = a_{i\alpha} b_{\alpha j} = f_{ij}.$$
    Итак, $g_{ji} = f_{ij}$ при всех $i = 1, 2, …, m$ и $j = 1, 2, …, n, $ следовательно, $G = F^{T},$ т. е. $A^{T} B^{T}= \left ( A B \right )^{T} $.

      Примеры решения задач

      Пример 1

      Дана матрица $ A = \begin{pmatrix}
      5 & 2 & 6 \\
      1 & 4 & 9 \\
      8 & 3 & 10
      \end{pmatrix}.$ Составить матрицу $A^{T}.$

      Решение

      $A^{T} = \begin{pmatrix}
      5 & 2 & 6 \\
      1 & 4 & 9 \\
      8 & 3 & 10
      \end{pmatrix}^{T} = \begin{pmatrix}
      5 & 1 & 8 \\
      2 & 4 & 3 \\
      6 & 9 & 10
      \end{pmatrix}. $

      [свернуть]

      Пример 2

      Дана матрица $ A = \begin{pmatrix}
      11 & 0 & 9 \\
      7 & 23 & 0 \\
      1 & 11 & 4
      \end{pmatrix}.$ Найти $ \left ( 2 \cdot A \right )^{T}. $

      Решение

      Воспользуемся вторым свойством транспонирования матриц, где $\left ( \lambda \cdot A \right )^{T} = \lambda \cdot A^{T},$ получим: $$ 2 \cdot A^{T} =2 \begin{pmatrix}
      11 & 7 & 1 \\
      0 & 23 & 11 \\
      9 & 0 & 4
      \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
      22 & 14 & 2 \\
      0 & 46 & 2 \\
      18 & 0 & 8
      \end{pmatrix}.$$

      [свернуть]

      Пример 3

      Даны две матрицы $ A = \begin{pmatrix}
      5 & 1 & 8 \\
      2 & 4 & 3 \\
      6 & 9 & 10
      \end{pmatrix} $ и $ B = \begin{pmatrix}
      11 & 7 & 1 \\
      0 & 23 & 11 \\
      9 & 0 & 4
      \end{pmatrix}.$
      Найти $ \left ( A + 3 \cdot B \right )^{T}.$

      Решение

      Найдём сумму матриц $A$ и $B:$
      $$A + 3 \cdot B = \begin{pmatrix}
      5 & 1 & 8 \\
      2 & 4 & 3 \\
      6 & 9 & 10
      \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}
      33 & 21 & 3 \\
      0 & 69 & 33 \\
      27 & 0 & 12
      \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
      28 & 22 & 11 \\
      2 & 73 & 36 \\
      33 & 9 & 22
      \end{pmatrix}.$$

      Проведём транспонирование суммы матриц: $$\left ( A + 3 \cdot B \right )^{T} = \begin{pmatrix}
      28 & 22 & 11 \\
      2 & 73 & 36 \\
      33 & 9 & 22
      \end{pmatrix}^{T} = \begin{pmatrix}
      28 & 2 & 11 \\
      22 & 73 & 99 \\
      11 & 36 & 22
      \end{pmatrix}.$$

      [свернуть]

      Пример 4

      Даны две матрицы $ A = \begin{pmatrix}
      5 & 11 & 16 & 12 & 56 \\
      4 & 3 & 45 & 10 & 22\\
      5 & 1 & 9 & 56 & 14 \\
      33 & 23 & 34 & 45 & 89
      \end{pmatrix} $ и
      $$ B = \begin{pmatrix}
      12 & 10 & 15 & 11\\
      3 & 2 & 20 & 22\\
      1 & 4 & 8 & 2\\
      5 & 11 & 3 & 4\\
      16 & 4 & 11 & 12
      \end{pmatrix}.$$
      Найти $ \left ( A \cdot B \right )^{T}.$

      Решение

      Решим задачу двумя способами, используя 4 свойство.

      • Метод №1. Найдём преобразование матриц $A$ и $B:$ $$A \cdot B = \begin{pmatrix}
        5 & 11 & 16 & 12 \\
        4 & 3 & 45 & 10 \\
        5 & 1 & 9 & 56 \\
        33 & 23 & 34 & 45 \\
        56 & 22 & 14 & 89 \\
        \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
        12 & 10 & 15 & 11 & 16\\
        3 & 2 & 20 & 22 & 0\\
        1 & 4 & 8 & 2 & 11\\
        5 & 11 & 0 & 4 & 12\\
        \end{pmatrix} =$$
        $$= \begin{pmatrix}
        538 & 430 & 1151 & 1579 & 2081 \\
        849 & 565 & 1066 & 2166 & 2450 \\
        127 & 77 & 336 & 590 & 434 \\
        216 & 183 & 738 & 518 & 920 \\
        547 & 475 & 943 & 1388 & 2206 \\
        \end{pmatrix}. $$

        Проведём транспонирование матрицы:
        $$ \left ( A \cdot B \right )^{T} = \begin{pmatrix}
        538 & 849 & 127 & 216 & 547 \\
        430 & 565 & 77 & 183 & 475 \\
        1151 & 1066 & 336 & 738 & 943 \\
        1579 & 2166 & 590 & 518 & 1388 \\
        2081 & 2450 & 434 & 920 & 2206
        \end{pmatrix}. $$

      • Метод №2. Проведём транспонирование матриц $A$ и $B:$
        $$ A^{T} = \begin{pmatrix}
        5 & 4 & 5 & 33\\
        11 & 3 & 1 & 23\\
        16 & 45 & 9 & 34\\
        12 & 10 & 56 & 45\\
        56 & 22 & 14 & 89
        \end{pmatrix}.$$
        $$ B^{T} = \begin{pmatrix}
        12 & 3 & 1 & 5 & 16\\
        10 & 2 & 4 & 11 & 4\\
        15 & 20 & 8 & 3 & 11\\
        11 & 22 & 2 & 4 & 12
        \end{pmatrix}.$$

        Найдём произведение $A^{T}$ и $B^{T}:$
        $$A^{T} \cdot B^{T} = \begin{pmatrix}
        538 & 849 & 127 & 216 & 547 \\
        430 & 565 & 77 & 183 & 475 \\
        1151 & 1066 & 336 & 738 & 943 \\
        1579 & 2166 & 590 & 518 & 1388 \\
        2081 & 2450 & 434 & 920 & 2206
        \end{pmatrix}.
        $$

      • Оба метода показали одинаковый ответ, что также подтверждает свойство №4.

      [свернуть]

      Пример 5

      Дана транспонированная матрица $ A^{T} = \begin{pmatrix}
      1 & 3 & 22 & 21 \\
      2 & 11 & 1 & 12\\
      0 & 4 & 20 & 31\\
      6 & 15 & 50 & 9
      \end{pmatrix}.$ Найти первоначальную матрицу $A.$

      Решение

      Воспользуемся первым свойством транспонирования матриц, где $\left ( A^{T} \right )^{T} = A, $ получим:
      $$ \left ( A^{T} \right )^{T} = \begin{pmatrix}
      1 & 3 & 22 & 21 \\
      2 & 11 & 1 & 12\\
      0 & 4 & 20 & 31\\
      6 & 15 & 50 & 9
      \end{pmatrix}^{T} = \begin{pmatrix}
      1 & 2 & 9 & 6 \\
      3 & 11 & 4 & 15\\
      22 & 1 & 20 & 40\\
      21 & 12 & 31 & 9
      \end{pmatrix}. $$

      [свернуть]

      Смотрите также

      Операция транспонирования матриц и ее свойства

      Данный тест предназначен для проверки ваших знаний на тему «Операция транспонирования матриц и ее свойства». Удачи !