линейное подпространство

Критерии прямой суммы

Рассмотрим критерии прямой суммы подпространств некоторого линейного пространства.

Пусть дано некоторое линейное пространство $\left(X, {\bf P}\right)$ и подпространства $L_1,L_2,\ldots,L_k \subset X$ . Тогда для того, чтобы сумма подпространств $L=L_1+L_2+\cdots+L_k$ являлась прямой, необходимо и достаточно, чтобы объединение базисов слагаемых-подпространств составляло базис суммы $L$ .

Пусть сумма $L$ — прямая. Тогда нужно доказать, что объединение базисов подпространств есть базис суммы. Выпишем базисы подпространств $L_i, i=\overline{1, k}$ : $E_1=\langle e_{11},e_{12},\ldots,e_{1m_1}\rangle,$ $E_2=\langle e_{21},e_{22},\ldots,e_{2m_2}\rangle,$ $\ldots,$ $E_k=\langle e_{k1},e_{k2},\ldots,e_{km_k}\rangle.$ Теперь построим объединенную систему из данных базисов. В итоге получим:

$E=\langle{e_{11}},e_{12},\ldots,e_{1m_1},e_{21},e_{22},\ldots,e_{2m_2},\ldots,e_{k1},e_{k2},\ldots,e_{km_k}\rangle.$

Для того, чтобы система $E$ являлась базисом суммы $L$ , она должна удовлетворять определению базиса. То есть, любой вектор из $L$ должен выражаться через данную систему, и она должна быль линейно независимой. Первое условие соблюдается. Действительно, по определению прямой суммы: $\forall x\in L:$

$x=x_1+x_2+\cdots+x_k,$ где

$x_i\in L_i, i=\overline{1, k}$ , причем такое представление единственно. Каждый вектор

$x_i, i=\overline{1, k}$ может быть выражен через базис

$L_i$ :

$x_i=\alpha_{i1}e_{i1}+\alpha_{i2}e_{i2}+\cdots+\alpha_{im_i}e_{im_i},$ где

$\alpha_{ij}\in {\bf P}, j=\overline{1, m_i}$ — коэффициенты линейной комбинации. Значит, вектор

$x$ можно представить в другом виде:

$x=\alpha_{11}e_{11}+\alpha_{12}e_{12}+\cdots+\alpha_{1m_1}e_{1m_1}+\cdots+\alpha_{21}e_{21}+\alpha_{22}e_{22}+\cdots+\\{}+\alpha_{2m_2}e_{2m_2}+\cdots+\alpha_{k1}e_{k1}+\alpha_{k2}e_{k2}+\cdots+\alpha_{km_k}e_{km_k},$ Как видим, вектор выражается через систему

$E$ .

Остается доказать линейную независимость. Выпишем линейную комбинацию векторов системы $E$ и приравняем ее к нулю:

$\begin{equation}\begin{gathered}\alpha_{11}e_{11}+\alpha_{12}e_{12}+\cdots+\alpha_{1m_1}e_{1m_1}+\cdots+\alpha_{21}e_{21}+\alpha_{22}e_{22}+\cdots+\\{}+\alpha_{2m_2}e_{2m_2}+\cdots+\alpha_{k1}e_{k1}+\alpha_{k2}e_{k2}+\cdots+\alpha_{km_k}e_{km_k}=0.\end{gathered}\end{equation}$ По первому критерию линейной независимости система

$E$ будет линейно независима при следующих равенствах:

$\alpha_{11}=\alpha_{12}=\cdots=\alpha_{km_k}=0.$ Опять же, данные слагаемые можно представить как линейные комбинации векторов из

$L_i, i=\overline{1, k}$ , то есть:

$x_i=\alpha_{i1}e_{i1}+\alpha_{i2}e_{i2}+\cdots+\alpha_{im_i}e_{im_i},i=\overline{1,k}.$ Теперь можно переписать уравнение

$\left(1\right)$ в следующем виде:

$x_1+x_2+\cdots+x_k=0.$ Получили представление нулевого вектора. По определению прямой суммы такое представление единственно и имеет вид:

$0+0+\cdots+0=0$ . Отсюда следует:

$x_i=0,i=\overline{1,k}$ . Так как каждый вектор

$x_i$ представляется через соответствующий базис

$L_i$ , то, следовательно, все коэффициенты линейных комбинаций равны нулю:

$\alpha_{i1}=\alpha_{i2}=\cdots=\alpha_{im_i}=0,i=\overline{1,k}$ , что и требовалось доказать.

Таким образом, система $E$ линейно независима, и каждый вектор суммы $L$ выражается через данную систему. Необходимость доказана.

Теперь пусть объединение базисов $L_i,i=\overline{1,k}$ (оно же является системой $E$ ) есть базис суммы $L$ . Требуется доказать, что $L$ — прямая сумма. Значит, нужно показать, что представление любого вектора этой суммы единственно. Запишем представление некоторого вектора $x\in L$ в базисе суммы:

$\begin{equation}\begin{gathered}x=\beta_{11}e_{11}+\beta_{12}e_{12}+\cdots+\beta_{1m_1}e_{1m_1}+\cdots+\\{}+\beta_{k1}e_{k1}+\beta_{k2}e_{k2}+\cdots+\beta_{km_k}e_{km_k}.\end{gathered}\end{equation}$ По свойству базиса такое представление единственно. Выражения вида

$\beta_{i1}e_{i1}+\cdots+\beta_{im_i}e_{im_i}$ являются линейными комбинациями векторов из

$L_i,i=\overline{1,k}$ . Тогда их можно заменить соответствующими векторами

$y_i\in L_i$ и подставить в

$\left(2\right)$ . Получим:

$x=y_1+y_2+\cdots+y_k.$ Получили представление

$x$ в виде вектора суммы. Пусть сумма

$L$ не прямая, тогда может существовать другое представление вектора

$x$ . А это необратимо приводит к изменению представления векторов

$y_i$ и, соответственно, значений коэффициентов

$\beta_{i1},\beta_{i2},\ldots,\beta_{im_i},i=\overline{1,k}$ . Но, как было сказано выше, вектор

$x$ имеет единственное представление

$\left(2\right)$ , то есть иного не существует. Получили противоречие. Следовательно, сумма

$L$ является прямой, что и требовалось доказать.

Пусть дано линейное пространство $\left(X, {\bf P}\right)$ и подпространства $L_1,L_2,\ldots,L_k \subset X$ . Сумма данных подпространств $L$ будет прямой тогда и только тогда, когда пересечение любого подпространства с суммой остальных содержит только нулевой вектор.

Требуется доказать, что при $L=L_1\oplus L_2\oplus \cdots\oplus L_k$ пересечение любого подпространства с суммой остальных нулевое. Предположим, что

$\exists L_i: L_i\cap\sum\limits_{j=1\\j\ne i}^k L_j \ne \left\{0\right\}.$ Тогда существует такой ненулевой вектор

$x$ , что

$x\in L_i$ и

$x\in \sum_{j=1\\j\ne i}^k L_j$ . Этот вектор можно представить в виде:

$x=\overbrace{0+0+\cdots+0+x+0+\cdots+0}^{k\mbox{ векторов}}$ , так как $x\in L_i$ ;
$x=\sum_{j=1\\j\ne i}^k x_j$ , так как вектор принадлежит $\sum_{j=1\\j\ne i}^k L_j$ и, следовательно, может быть представлен как вектор суммы $L$ :
$x=x_1+x_2+\cdots+x_{i-1}+0+x_{i+1}+\cdots+x_k.$

Таким образом, вектор прямой суммы $L$ не имеет единственного представления, что противоречит определению прямой суммы. Значит, наше предположение неверно, и $\forall L_i: L_i\cap\sum_{j=1\\j\ne i}^k L_j=\left\{0\right\}.$

Достаточность. Теперь докажем, что если

$\forall L_i: L_i\cap\sum\limits_{j=1\\j\ne i}^k L_j=\left\{0\right\},$ то сумма

$L$ — прямая. Снова пойдём от противного: пусть

$L$ — не прямая сумма. Следовательно, по определению существует такой вектор

$y$ , который имеет, по крайней мере, два различных представления. Запишем их общий вид:

$y=x_1+x_2+\cdots+x_k,$

$y=z_1+z_2+\cdots+z_k,$ где

$z_i, x_i \in L_i,i=\overline{1,k}$ . Вычтем из первого выражения второе. Получим:

$0=\left(x_1-z_1\right)+\left(x_2-z_2\right)+\cdots+\left(x_k-z_k\right).$ Векторы

$x_1-z_1, x_2-z_2,\ldots,x_k-z_k$ принадлежат подпространствам

$L_1, L_2,\ldots,L_k$ соответственно, что вытекает из критерия подпространства. Значит, нулевой вектор представляется как вектор суммы

$L$ . Пусть

$x_1-z_1\ne 0.$ Перенесем данное слагаемое в левую часть. Тогда можно записать следующее:

$\left(z_1-x_1\right)=\left(x_2-z_2\right)+\left(x_3-z_3\right)+\cdots+\left(x_k-z_k\right).$ То есть существует некоторый вектор

$z_1-x_1\ne 0$ , что

$z_1-x_1\in L_1,$

$z_1-x_1=\left(x_2-z_2\right)+\left(x_3-z_3\right)+\cdots+\left(x_k-z_k\right) \in \sum\limits_{j=2}^k L_j.$ Значит, пересечение подпространства

$L_1$ и суммы

$\sum_{j=2}^k L_j$ содержит ненулевые векторы. Получили противоречие. Следовательно, предположение неверно, и

$L$ — прямая сумма подпространств. Теорема доказана.

Теперь рассмотрим следствия из критериев прямой суммы, а также приведём их доказательства, хоть они и небольшие.

Следствие 1.

Сумма двух подпространств будет прямой тогда и только тогда, когда их пересечение содержит только нулевой вектор.

Данное утверждение является частным случаем критерия $2$ прямой суммы при $k=2$ .

Следствие 2.

Размерность прямой суммы двух подпространств есть сумма размерностей данных подпространств.

По формуле Грассмана:

$\dim L=\dim L_1+\dim L_2-\dim{\left(L_1 \cap L_2\right)},$ то есть размерность суммы подпространств

$L_1$ и

$L_2$ равна сумме размерностей данных подпространств без размерности их пересечения. Пересечение данных подпространств, как мы уже узнали, содержит только нулевой вектор. Следовательно, размерность пересечения равна

$0$ . Тогда третье слагаемое в формуле Грассмана также равно

$0$ , и мы приходим к изначальному утверждению.

Примеры

Теперь рассмотрим несколько примеров применения критериев прямой суммы.

Пусть дано линейное пространство, заданное в виде линейной оболочки $L=L\langle a_1,a_2,a_3,a_4\rangle$ , где $a_1=\left(1,1,0,0\right),$ $a_2=\left(0,5,0,3\right),$ $a_3=\left(0,0,2,0\right),$ $a_4=\left(-1,7,1,0\right).$ Разложить данное пространство в прямую сумму двух подпространств.

Решение

Для начала, проверим, является ли указанная система линейно независимой. Построим систему линейных комбинаций из векторов данной системы:
$\left\{\begin{array}{rcl}x_1+x_2+0x_3+0x_4=0\\0x_1+5x_2+0x_3+3x_4=0\\0x_1+0x_2+2x_3+0x_4=0\\-x_1+7x_2+x_3+0x_4=0\end{array}\right.$ Воспользуемся методом Гаусса:
$\begin{pmatrix}1 & 1 & 0 & 0\\0 & 5 & 0 & 3\\0 & 0 & 2 & 0\\-1 & 7 & 1 & 0\end{pmatrix}\sim\begin{pmatrix}1 & 1 & 0 & 0\\0 & 5 & 0 & 3\\0 & 0 & 2 & 0\\0 & 8 & 1 & 0\end{pmatrix}\sim\begin{pmatrix}1 & 1 & 0 & 0\\0 & 5 & 0 & 3\\0 & 0 & 2 & 0\\0 & 0 & 1 & -\frac{24}{5}\end{pmatrix}\sim$
$\sim\begin{pmatrix}1 & 1 & 0 & 0\\0 & 5 & 0 & 3\\0 & 0 & 2 & 0\\0 & 0 & 0 & -\frac{24}{5}\end{pmatrix}.$
Как видим, ни один из векторов не выражается через остальные. Значит, система линейно независима и является базисом пространства $L$ . Тогда данное пространство можно разложить в прямую сумму подпространств, разбив его базис, к примеру, на две такие подсистемы: $\langle a_1,a_2\rangle$ , $\langle a_3,a_4\rangle$ . Тогда разложение будет иметь вид: $L=L_1\oplus L_2$ , где $L_1=L\langle a_1,a_2\rangle$ , $L_2=L\langle a_3,a_4\rangle$ .
Даны подпространства $L_1=L\langle\left(1,1,3\right)\rangle$ , $L_2=L\langle\left(0,1,2\right),\left(3,5,9\right)\rangle$ . Проверить сумму подпространств $L_1$ и $L_2$ на прямоту.

Решение

И первая, и вторая исходные системы являются линейно независимыми, ведь в них нет векторов, что выражаются через другие векторы этой системы. Значит системы являются базисами подпространств, построенных на соответствующих линейных оболочках. Объединим эти базисы в единую систему векторов:
$E=\langle\left(1,1,3\right),\left(0,1,2\right),\left(3,5,9\right)\rangle.$ Воспользуемся методом Гаусса:
$\begin{pmatrix}1 & 1 & 3\\0 & 1 & 2\\3 & 5 & 9\end{pmatrix}\sim\begin{pmatrix}1 & 1 & 3\\0 & 1 & 2\\0 & 2 & 0\end{pmatrix}\sim\begin{pmatrix}1 & 1 & 3\\0 & 1 & 2\\0 & 0 & -4\end{pmatrix}.$ Получили, что система $E$ — линейно независима. Значит, объединение базисов исходных подпространств является базисом суммы подпространств $L$ : $L=L_1\oplus L_2$ .
Пусть даны подпространства $L_1=L\langle a_1,a_2,a_3\rangle$ , $L_2=L\langle b_1,b_2\rangle$ , $L_3=L\langle c_1,c_2,c_3\rangle$ . Проверить сумму данных подпространств на прямоту, если:
$a_1 = \begin{pmatrix}0 & 0\\1 & 1\end{pmatrix}, a_2 = \begin{pmatrix}1 & 1\\1 & 1\end{pmatrix}, a_3 = \begin{pmatrix}1 & 1\\0 & 0\end{pmatrix};$
$b_1=\begin{pmatrix}1 & -1\\2 & 0\end{pmatrix},b_2=\begin{pmatrix}0 & 0\\-1 & 1\end{pmatrix};$
$c_1=\begin{pmatrix}0 & 1\\1 & 1\end{pmatrix},c_2=\begin{pmatrix}1 & 1\\2 & 1\end{pmatrix},c_3=\begin{pmatrix}1 & 0\\1 & 0\end{pmatrix}.$

Решение

Для удобства системы пронумеруем от $1$ до $3$ в соответствии с номерами подпространств.Указанные системы можно переписать в следующем виде: $\langle\left(0,0,1,1\right),\left(1,1,1,1\right),\left(1,1,0,0\right)\rangle,$ $\langle\left(1,-1,2,0\right),\left(0,0,-1,1\right)\rangle,$ $\langle\left(0,1,1,1\right),\left(1,1,2,1\right),\left(1,0,1,0\right)\rangle.$ Проверку линейной независимости можно сделать и без применения метода Гаусса. Действительно, в первой системе $a_1+a_3=\left(0,0,1,1\right)+\left(1,1,0,0\right)=\left(1,1,1,1\right)=a_2$ , в третьей: $c_1+c_3=\left(0,1,1,1\right)+\left(1,0,1,0\right)=\left(1,1,2,1\right)=c_2$ . Значит векторы $a_2$ и $c_2$ линейно выражаются через остальные. Вторая система, как можно видеть, уже является линейно независимой и, следовательно, базисом подпространства $L_3$ . Тогда, если откинуть линейно зависимые векторы в системах $1$ и $3$ , то получим базисы уже всех трех подпространств:
$L_1=L\langle a_1,a_3\rangle,$
$L_2=L\langle b_1,b_2\rangle,$
$L_3=L\langle c_1,c_3\rangle.$ Теперь объединим данные базисы в единую систему векторов:
$E=\langle a_1,a_3,b_1,b_2,c_1,c_3\rangle.$ Теперь только осталось понять, является ли сумма исходных подпространств прямой. Проверим систему $E$ на линейную независимость с помощью метода Гаусса:
$\begin{pmatrix}0 & 0 & 1 & 1\\1 & 1 & 0 & 0\\1 & -1 & 2 & 0\\0 & 0 & -1 & 1\\0 & 1 & 1 & 1\\1 & 0 & 1 & 0\end{pmatrix}.$ Переставим строки в матрице для более удобных элементарных преобразований:
$\begin{pmatrix}1 & 1 & 0 & 0\\1 & -1 & 2 & 0\\1 & 0 & 1 & 0\\0 & 1 & 1 & 1\\0 & 0 & 1 & 1\\0 & 0 & -1 & 1\end{pmatrix}\sim\begin{pmatrix}1 & 1 & 0 & 0\\0 & -2 & 2 & 0\\0 & -1 & 1 & 0\\0 & 1 & 1 & 1\\0 & 0 & 1 & 1\\0 & 0 & -1 & 1\end{pmatrix}.$ Строки $2$ и $3$ пропорциональны, поэтому можно исключить, к примеру, вторую строку. Дальнейшие преобразования не имеют смысла в данной задаче: объединение базисов исходных подпространств не является базисом суммы, потому что объединенная система содержит, по крайней мере, один линейно зависимый вектор. Значит, сумма $L=L_1+L_2+L_3$ не будет прямой в соответствии с первым критерием суммы. Задача решена.

Критерии прямой суммы

Тест на закрепление материала «Критерии прямой суммы».

Задание 1 из 5

1.
Количество баллов: 2
Пусть даны подпространства $L_1,L_2\subset \mathbb{R}_4\left[x\right]$ . Является ли сумма $L=L_1+L_2$ прямой, если $L_1=L\langle\left(x^4,0,2x^2,0,2\right)\rangle$ и $L_2=L\langle\left(0,0,0,3x,1\right),\left(5x^4,3x^3,0,x,4\right)\rangle$ ?
- Да.
- Нет.
Задание 2 из 5

2.
Количество баллов: 2
Выберите подпространства, сумма которых с подпространством $L=L\langle\left(1,2,4,7,\right),\left(3,3,8,5,\right),\left(1,0,2,3,\right)\rangle$ будет прямой.
- $L'=L\langle\left(7,8,9,4,\right),\left(4,4,5,0,\right),\left(1,0,2,3,\right)\rangle$
- $L'=L\langle\left(1,9,9,3,\right)\rangle$
- $L'=L\langle\left(-8,-11,-20,24,\right)\rangle$
- $L'=L\langle\left(0,5,5,5,\right)\rangle$
Задание 3 из 5

3.
Количество баллов: 1
Если сумма подпространств прямая, то что содержит пересечение каждого подпространства с суммой остальных?
Задание 4 из 5

4.
Количество баллов: 1
Завершите формулировку одного следствия из критериев прямой суммы, вписав пропущенные слова.
- прямой суммы двух подпространств есть (сумма) (размерностей) данных подпространств.
Задание 5 из 5

5.
Количество баллов: 2
Расположите размерности прямых сумм указанных подпространств в порядке сверху вниз от наименьшей к наибольшей.
- $L_1=L\langle\left(7, 0, 2\right)\rangle$ ; $L_2=L\langle\left(7, 0, 5\right)\rangle$
- $L_1=L\langle\left(1, 1, 1\right), \left(7, 4, 4\right)\rangle$ ; $L_2=L\langle\left(5, 0, 3\right)\rangle$
- $L_1=L\langle\left(1, 1, 0, 1\right), \left(7, 3, 2, 0\right)\rangle$ ; $L_2=L\langle\left(5, 5, 5, 5\right), \left(3, 8, 1, 2\right)\rangle$

Смотрите также:

Линейные оболочки и подпространства. Критерий подпространства

Выберем в линейном пространстве [latex]K[/latex], заданном над полем [latex]P[/latex], конечное число векторов [latex]\vec{e_{1}}, \vec{e_{2}}, …, \vec{e_{n}}[/latex].

Определение

Вектор вида [latex]\alpha_{1} \vec{e_{1}}+\alpha_{2}\vec{e_{2}}+…+\alpha_{n}\vec{e_{n}}[/latex] называется линейной комбинацией векторов [latex]\vec{e_{1}}, \vec{e_{2}}, …, \vec{e_{n}}[/latex], где [latex]\alpha_{1}, \alpha_{2}, …, \alpha_{n} \in P[/latex].

Определение

Множество всех линейный комбинаций векторов [latex]\vec{e_{1}}, \vec{e_{2}}, …, \vec{e_{n}}[/latex] называется линейной оболочкой.

Определение

Если непустое подмножество [latex]F[/latex] пространства [latex]K[/latex] само является линейным пространством относительно операций сложения и умножения векторов на скаляр (число), определенных в [latex]K[/latex], то [latex]F[/latex] называется линейным подпространством (обозначается [latex]F \le K[/latex]).

Теорема (критерий подпространства)

[latex]F[/latex] является линейным подпространством [latex]K[/latex], если выполняются такие условия:

Если векторы [latex]\vec{a}[/latex] и [latex]\vec{b}[/latex] принадлежат [latex]F[/latex], то [latex]\vec{a} + \vec{b}[/latex] тоже принадлежат [latex]F[/latex].
[latex]\forall \vec{a}, \vec{b} \in F: \vec{a} + \vec{b} \in F[/latex].
Если вектор [latex]\vec{a}[/latex] принадлежит [latex]F[/latex], то и [latex]\alpha\vec{a}[/latex] тоже принадлежит [latex]F[/latex].
[latex]\forall \vec{a} \in F[/latex], [latex]\forall \alpha \in P:[/latex] [latex]\alpha \vec{a} \in F[/latex]

Спойлер

Тест

Линейные оболочки и подпространства. Критерий подпространства

Задание 1 из 3

1.
Количество баллов: 6
Все [latex]n[/latex]-мерные векторы, у которых первая и последняя координаты равны между собой. Является ли данная совокупность векторов линейным подпространством пространства [latex]\mathbb{R}_{n}[/latex]?
- да
- нет
Правильно

[latex]L \subset X[/latex]
[latex]L=\left \{(a_{1}, a_{2}, …, a_{n}, a_{1}) | a_{i}\in \mathbb{R}, i=\overline{1, n}\right \}[/latex]

[latex]\forall x, y \in L[/latex], [latex]\forall \alpha, \beta \in \mathbb{R}[/latex]

[latex]\vec{x}=(x_{1}, x_{2}, …, x_{n}, x_{1})[/latex], [latex]\vec{y}=(y_{1}, y_{2}, …, y_{n}, y_{1})[/latex]

[latex]\alpha \vec{x}+\beta\vec{y}=[/latex] [latex](\alpha x_{1}, \alpha x_{2}, …, \alpha x_{n}, \alpha x_{1})+[/latex] [latex](\beta y_{1}, \beta y_{2}, …, \beta y_{n}, \beta y_{1})=[/latex] [latex](\alpha x_{1} + \beta y_{1}, \alpha x_{2} + \beta y_{2}, …, \alpha x_{n} + \beta y_{n}, \alpha x_{1}+ \beta y_{1})\in L[/latex] [latex]\Rightarrow[/latex] [latex]L \le X[/latex]

Неправильно

[latex]L \subset X[/latex]
[latex]L=\left \{(a_{1}, a_{2}, …, a_{n}, a_{1}) | a_{i}\in \mathbb{R}, i=\overline{1, n}\right \}[/latex]

[latex]\forall x, y \in L[/latex], [latex]\forall \alpha, \beta \in \mathbb{R}[/latex]

[latex]\vec{x}=(x_{1}, x_{2}, …, x_{n}, x_{1})[/latex], [latex]\vec{y}=(y_{1}, y_{2}, …, y_{n}, y_{1})[/latex]

[latex]\alpha \vec{x}+\beta\vec{y}=[/latex] [latex](\alpha x_{1}, \alpha x_{2}, …, \alpha x_{n}, \alpha x_{1})+[/latex] [latex](\beta y_{1}, \beta y_{2}, …, \beta y_{n}, \beta y_{1})[/latex] [latex](\alpha x_{1} + \beta y_{1}, \alpha x_{2} + \beta y_{2}, …, \alpha x_{n} + \beta y_{n}, \alpha x_{1}+ \beta y_{1})\in L[/latex] [latex]\Rightarrow[/latex] [latex]L \le X[/latex]
Задание 2 из 3

2.
Количество баллов: 2
Дополните определение
- Если (непустое) подмножество некоторого пространства само является линейным пространством относительно операций сложения и (умножения) векторов на (скаляр, число), определенных в данном пространстве, то это подмножество называется линейным подпространством.
Правильно

Неправильно

Задание 3 из 3

3.

Количество баллов: 2

Сопоставить термин и его значение

Элементы сортировки

Вектор вида $\alpha_{1} \vec{e_{1}}+\alpha_{2}\vec{e_{2}}+...+\alpha_{n}\vec{e_{n}}$ , где $\alpha_{1}, \alpha_{2}, ..., \alpha_{n} \in P$
Множество всех линейный комбинаций векторов $\vec{e_{1}}, \vec{e_{2}}, ..., \vec{e_{n}}$
Непустое подмножество некоторого пространства, которое само является линейным пространством относительно операций сложения и умножения векторов на скаляр (число), определенных в данном пространстве

Линейная комбинация векторов

$\vec{e_{1}}, \vec{e_{2}}, ..., \vec{e_{n}}$

Линейная оболочка

Линейное подпространство

Таблица лучших: Линейные пространства

максимум из 10 баллов
Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Источники

Г. С. Белозеров. Конспект лекций по линейной алгебре.

В. В. Воеводин. Линейная алгебра. Издание второе, переработанное и дополненное. Москва «НАУКА» 1980. (стр. 42-43)

А. Г. Курош. Курс высшей алгебры. Издание десятое. Стереотипное. Москва «НАУКА» 1971. (стр. 201-202)

И. В. Проскуряков. Сборник задач по линейной алгебре. Издание шестое. Стереотипное. Москва «Наука», 1984. (стр. 168-170)

Метка: линейное подпространство

Критерии прямой суммы

Примеры

Критерии прямой суммы

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

3.

4.

5.

Смотрите также:

Линейные оболочки и подпространства. Критерий подпространства

Определение

Определение

Определение

Теорема (критерий подпространства)

Условие

Решение

Тест

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

3.

Элементы сортировки

Таблица лучших: Линейные пространства

Источники

Средний результат
Ваш результат