Определение

Если $x_0=0$ и существует $f^{(n)}(0)$, то формула Тейлора принимает вид:

Формулу (1) называют формулой Маклорена.

Замечание 1. Пусть функция $f(x)$ бесконечно дифференцируема на интервале $(-l, l).$ Если эта функция является четной, то её производная — нечетная функция, и, наоборот, производная нечетной функции — четная функция.
$\triangle$Пусть $f(x)$ — четная функция, тогда:
$f(-x)=f(x)$, $x\in(-a, a)$.
Дифференцируя это тождество, получаем
$-f'(-x)=f'(x),$ $x\in(-a, a)$.
Это означает, что $f'(x)$ — нечетная функция. Аналогично рассматривается случай, когда $f(x)$ — нечетная функция.$\blacktriangle$
Отсюда следует, что для нечетной функции $f$ выполняютcя условия $f^{(2k)}(0)=0$, $k\in \mathbb{N}$, а для четной функции $f$ — условия $f^{(2k-1)}(0)=0$, $k\in \mathbb{N}$, так как любая непрерывная нечетная функция принимает при $x=0$ значение нуль.
Поэтому формулу (1) для бесконечно дифференцируемой четной функции можно записать в виде:

(2)

$f(x)=\sum\limits_{k=0}^n\frac{f^{(2k)}(0)}{(2k)!}x^{2k}+\underset{x\to0}{\circ(x^{2n+1})}$,

а для нечетной функции — в виде:

(3)

$f(x)=\sum\limits_{k=0}^n\frac{f^{(2k+1)}(0)}{(2k+1)!}x^{2k+1}+\underset{x\to0}{\circ(x^{2n+2})}$.

Разложения основных функций

а) Показательная функция. Если $f(x)=e^x$, то $f(0)=1$ и $f^{(n)}(0)=1$ при любом $n$. Поэтому формула (1) для функции $e^x$ записывается в виде

или

б) Гиперболические функции. Так как $f(x)=\sinh x$ — нечетная функция, $f^{(2k+1)}(x)=\cosh x$, $f^{(2k+1)}(0)=1$ при $k=0, 1, 2,\dots$, то по формуле (3) получаем

или

Аналогично по формуле (2) находим

или

Замечание 2. Так как $\sinh x=\frac{e^x-e^{-x}}{2}$, $\cosh x=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$, то формулы (5) и (6) можно получить, используя равенство (4) и равенство $e^{-x}=\sum\limits_{k=0}^n\frac{(-1)^kx^k}{k!}+\underset{x\to 0}{\circ(x^n)}$.

в) Тригонометрические функции. Функция $f(x)=\sin x$ является нечетной,

откуда

Поэтому по формуле (3) находим

или

Аналогично, $f(x)=\cos x$ — четная функция, $f^{(2n)}(0)=\cos (\frac{\pi}{2}2n)=(-1)^n$, и по формуле (2) получаем

или

Замечание 3.Используя формулу (7)

$\sin x\approx x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\dots+(-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$

Для 2 членов разложения: $\sin x\approx x-\frac{x^3}{3!}$
Для 3 членов разложения: $\sin x\approx x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}$
Для 4 членов разложения: $\sin x\approx x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}$

Как видно по графику, для достижения точности, достаточной для решения большинства практических задач, можно ограничиться 4-5 членами ряда.

г) Степенная функция. Пусть $f(x)=(1+x)^\alpha$, где $\alpha \in \mathbb{R}$. Тогда $f^{(k)}(x)=\alpha(\alpha-1)\dots(\alpha-(k-1))(1+x)^{\alpha-k}$, откуда получаем $f^{(k)}(0)=\alpha(\alpha-1)\dots(\alpha-(k-1))$. Тогда по формуле (1) получим

Отметим важные частные случаи формулы (9).

1. (10)

   $\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+\dots+x^n+\underset{x\to 0}{\circ(x^n)}$,

   или

   $\frac{1}{1-x}=\sum\limits_{k=0}^nx^k+\underset{x\to 0}{\circ(x^n)}$.
2. (11)

   $\frac{1}{1+x}=1-x+x^2+\dots+(-1)^nx^n+\underset{x\to 0}{\circ(x^n)}$,

   или

   $\frac{1}{1+x}=\sum\limits_{k=0}^n(-1)^kx^k+\underset{x\to 0}{\circ(x^n)}$.

д) Логарифмическая функция. Если $f(x)=\ln(1+x)$, то $f(0)=0$, $f^{(k)}(x)=\frac{(-1)^{k-1}(k-1)!}{(1+x)^k}$, $f^{(k)}(0)=(-1)^{k-1}(k-1)!$, и по формуле (1) находим

или

Заменяя в формуле (12) $x$ на $-x$, получаем

или

Примеры

1. Разложить по формуле Тейлора в окрестности точки $x_0=0$ до $\circ(x^n)$ функцию $f(x)$, если $f(x)=\frac{1}{\sqrt{1+x}}:$
   
   Спойлер

   $f(x)=\frac{1}{\sqrt{1+x}}=(1+x)^{-\frac{1}{2}}$. Применяя формулу (9) при $\alpha=-\frac{1}{2}$, получаем:

   $(1+x)^{-\frac{1}{2}}=1+\sum\limits_{k=1}^n\frac{-\frac{1}{2}(-\frac{1}{2}-1)\dots(-\frac{1}{2}-(k-1))}{k!}x^k+\underset{x\to 0}{\circ(x^n)}$ = $1+\sum\limits_{k=1}^n\frac{(-1)^k\frac{1}{2}\frac{3}{2}\frac{5}{2}\dots(\frac{1+2(k-1)}{2}}{k!}x^k+\underset{x\to 0}{\circ(x^n)}$ = $1+\sum\limits_{k=1}^n\frac{(-1)^k}{2^k}\frac{1\cdot 3\cdot 5\dots(2k-1)}{k!}x^k+\underset{x\to 0}{\circ(x^n)}$

   Обозначим $(2k-1)!!=1\cdot 3\dots(2k-1)$, тогда:

   $\frac{1}{\sqrt{1+x}}=1+\sum\limits_{k=1}^n\frac{(-1)^k(2k-1)!!}{2^kk!}x^k+\underset{x\to 0}{\circ(x^n)}$

   [свернуть]
2. Разложить по формуле Тейлора в окрестности точки $x_0=0$ до $\circ(x^n)$ функцию $f(x)$, если $f(x)=\ln\frac{x-5}{x-4}:$
   
   Спойлер

   Используя равенство

   $f(x)=\ln\frac{x-5}{x-4}=\ln 5-\ln 4+ln (1-\frac{x}{5})-\ln (1-\frac{x}{4})$

   и формулу (13), находим:

   $\ln\frac{x-5}{x-4}=\ln 5-\ln 4-\sum\limits_{k=1}^n\frac{x^k}{5^kk}+\sum\limits_{k=1}^n\frac{x^k}{4^kk}$ = $\ln \frac{5}{4}+\sum\limits_{k=1}^n\frac{x^k}{k}(\frac{1}{4^k}-\frac{1}{5^k})+\underset{x\to 0}{\circ(x^n)}$

   [свернуть]
3. Разложить по формуле Маклорена до $\circ(x^{2n+1})$ функцию $f(x)$, если $f(x)=\cos^4x:$
   
   Спойлер

   Используя равенство $\cos^2 x=\frac{1}{2}+\frac{\cos 2x}{2}$, получаем:

   $\cos^4 x=\frac{1}{4}(1+2\cos 2x+\frac{1+\cos 4x}{2})=\frac{3}{8}+\frac{1}{2}\cos 2x+\frac{1}{8}\cos 4x$,

   откуда по формуле (8) находим:

   $\cos^4 x=\frac{3}{8}+\frac{1}{2}\sum\limits_{k=0}^n\frac{(-1)^k2x^{2k}}{(2k)!}+\frac{1}{8}\sum\limits_{k=0}^n\frac{(-1)^k4x^{2k}}{(2k)!}$ = $\frac{3}{8}+\sum\limits_{k=0}^n\frac{(-1)^k2^{2k-1}}{(2k)!}(1+2^{2k-2})x^{2k}+\underset{x\to 0}{\circ(x^n)}$

   [свернуть]

Литература

• Лысенко З.М. Конспект лекций по математическому анализу. Тема «Разложение основных элементарных функций по формуле Тейлора»
• Тер-Крикоров А. М., Шабунин М. И. Курс математического анализа: Учеб. пособие для вузов. — 3-е изд., исправл. — М.: ФИЗМАТ-ЛИТ, 2001. с. 162-169

Разложения некоторых элементарных функций по формуле Маклорена

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 4 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4

Информация

Тесты для самоконтроля

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 4

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Средний результат
Ваш результат

Рубрики

1. Математический анализ 0%

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 4

   1.

   Количество баллов: 20

   Какие из данных элементарных функций являются нечетными?

   • $$f(x)=e^x$$
   • $$f(x)=\sinh x$$
   • $$f(x)=\cosh x$$
   • $$f(x)=\sin x$$
   • $$f(x)=\cos x$$
   • $$f(x)=(1+x)^\alpha$$
   • $$f(x)=\ln(1+x)$$
   Правильно
   

   Неправильно
   
2. Задание 2 из 4

   2.

   Количество баллов: 50

   Установите соответствие между элементарными функциями и их разложению по формуле Маклорена

   Элементы сортировки

   • $$\sum\limits_{k=0}^n\frac{x^k}{k!}+\underset{x\to 0}{\circ(x^n)}$$
   • $$\sum\limits_{k=0}^n\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}+\underset{x\to 0}{\circ(x^{2n+2})}$$
   • $$\sum\limits_{k=0}^n(-1)^k\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}+\underset{x\to 0}{\circ(x^{2n+2})}$$
   • $$1+\sum\limits_{k=1}^n\frac{\alpha(\alpha-1)\dots(\alpha-(k-1))}{k!}x^k+\underset{x\to 0}{\circ(x^n)}$$
   • $$\sum\limits_{k=1}^n\frac{(-1)^{k-1}x^k}{k}+\underset{x\to 0}{\circ(x^n)}$$

   • $$f(x)=e^x$$

   • $$f(x)=\sinh x$$

   • $$f(x)=\sin x$$

   • $$f(x)=(1+x)^\alpha$$

   • $$f(x)=\ln(1+x)$$

   Правильно
   

   Неправильно
   
3. Задание 3 из 4

   3.

   Количество баллов: 10

   Закончите предложение

   • Частный случай формулы Тейлора, в случае х=0 называется формулой (Маклорена)
   Правильно
   

   Неправильно
   
4. Задание 4 из 4

   4.

   Количество баллов: 10

   Если функция является четной, то какой является её производная?

   • нечетной функцией
   • неизвестно
   • функцией общего вида
   • четной функцией
   Правильно
   

   Неправильно