Определение

Пусть в трехмерном пространстве выбрана прямоугольная система координат и задана гладкая кривая [latex] \Gamma[/latex] уравнением в координатной форме, то есть [latex]\Gamma =\left \{ x = x(t), y = y(t), z = z(t), \alpha \leq t\leq \beta \right \}[/latex]. Пусть теперь на множестве, которое входит в данное пространство задана непрерывная функция [latex]f(x, y, z)[/latex]. Тогда определенный интеграл вида:
$\overset { \beta }{ \underset { \alpha }{ \int } } f(x(t), y(t), z(t))|r'(t)|\,dt = { \underset { \Gamma }{ \int } } f(x, y, z)\,ds$ называется криволинейным интегралом первого рода от функции [latex]f[/latex] по кривой [latex] \Gamma[/latex].

Свойства криволинейных интегралов первого рода

Криволинейный интеграл первого рода аддитивен относительно кривой, то есть
${ \underset { \Gamma }{ \int } } f(x, y, z)\,ds = \sum\limits_{i=1}^{n}{ \underset {{ \Gamma }_{i}}{ \int } } f(x, y, z)\,ds$
[spoilergroup]

Доказательство

Разобьем кривую [latex] \Gamma[/latex] на части, то есть [latex]\Gamma = (\Gamma_1,…,\Gamma_n)[/latex], таким образом, что конечная точка кривой [latex] \Gamma_i[/latex] совпадает с начальной точкой кривой [latex] \Gamma_{i+1}[/latex], [latex]i = \overline{i,n}[/latex]. Тогда интеграл [latex]\int_{\Gamma}f(x, y, z)ds[/latex] по свойству аддитивности определенного интеграла, если [latex]\Gamma_i = r(t) [/latex] [latex](\alpha_i \leq t \leq \beta _i)[/latex], [latex]\alpha _1 = \alpha[/latex] , [latex] \beta _n = \beta [/latex], можно представить следующим образом:
${ \underset { \Gamma }{ \int } } f(x, y, z)\,ds = \overset {\beta}{ \underset {\alpha}{ \int }}f(x(t),y(t),z(t))|r'(t)|\,dt =$
$=\sum\limits_{i=1}^{n}\overset {\beta_i}{ \underset {\alpha_i}{ \int }}f(x(t),y(t),z(t))|r'(t)|\,dt =\sum\limits_{i=1}^{n}{ \underset {\Gamma_i}{ \int }}f(x,y,z)\,ds.$

[свернуть]

[/spoilergroup]
Криволинейный интеграл не зависит от ориентации кривой, то есть
${ \underset { \Gamma }{ \int } } f(x, y, z)ds = { \underset { \Gamma- }{ \int } } f(x, y, z)ds$
[spoilergroup]

Доказательство

Пусть точка [latex]A[/latex] — начало кривой [latex]\Gamma[/latex], точка [latex]B[/latex] — конец кривой [latex]\Gamma[/latex], а [latex]S[/latex] — ее длина. Пусть точка [latex]M = r(s)[/latex] принадлежит кривой [latex]AB[/latex], а [latex]s[/latex] — длина дуги [latex]\buildrel\,\,\frown\over{AM}[/latex]. Пусть [latex]\delta [/latex] — длина дуги [latex]\buildrel\,\,\frown\over{BM}[/latex], тогда [latex]\delta = S — s[/latex]. Представлением кривой [latex]BA[/latex] является функция [latex]r = r(S — \delta )[/latex], [latex]0\leq \delta \leq S[/latex].
Совершив в интеграле замену [latex]s = S — \delta [/latex], учитывая, что [latex]{\mathrm{d} s} = -{\mathrm{d} \delta }[/latex], получаем:
${ \underset {\buildrel\,\,\frown\over{AB}}{ \int }}f(x, y, z)\,ds = \overset {S}{ \underset {0}{ \int }} f(x(s), y(s), z(s))\,ds =$
$=-\overset {0}{ \underset {S}{ \int }} f(x(S — \delta), y(S — \delta), z(S — \delta))\,d\delta =$
$=\overset {S}{ \underset {0}{ \int }} f(x(S — \delta), y(S — \delta), z(S — \delta))\,d\delta = { \underset {\buildrel\,\,\frown\over{BA}}{ \int }}f(x, y, z)\,d\delta.$

[свернуть]

[/spoilergroup]
Криволинейный интеграл первого рода не зависит от параметризации кривой.
[spoilergroup]

Доказательство

Перейдем от данного уравнения [latex]r = r(t)[/latex], [latex]\alpha \leq t\leq \beta [/latex] к уравнению [latex]\rho = \rho (\tau )[/latex], [latex]\alpha \leq \tau \leq \beta[/latex] с помощью представления параметра [latex]t[/latex] через непрерывную строго возрастающею функцию другого параметра, то есть [latex]t = t(\tau )[/latex]. Получим:
$\overset {\beta}{ \underset {\alpha}{ \int }} f(x(t), y(t), z(t))|r'(t)|\,dt =$
$= \overset {\beta}{ \underset {\alpha}{ \int }}f(x(t(\tau)), y(t(\tau)), z(t(\tau)))\left | \frac{\mathrm{d} r}{\mathrm{d} t}(t(\tau)) \right|t'(\tau)\,d\tau =$
$=\overset {\beta}{ \underset {\alpha}{ \int }}f(\xi(\tau), \eta(\tau), \zeta(\tau))\,d\tau$ ,
где $\frac{\mathrm{d} r}{\mathrm{d} t} = |r'(t)|$ .

[свернуть]

[/spoilergroup]

Замечание: если для параметризации кривой [latex]\Gamma[/latex] использовать натуральный параметр (длину дуги), то криволинейный интеграл первого рода приобретет следующий вид:
${ \underset { \Gamma }{ \int } } f(x, y, z)\,ds = \overset {S}{ \underset {0}{ \int }} f(x(s), y(s), z(s))\,ds,$
так как [latex]|r'(s)| = 1[/latex], [latex]0\leq s\leq S[/latex].

Физический смысл криволинейных интегралов первого рода

Пусть криволинейный интеграл первого рода представлен в следующем виде:
${ \underset { \Gamma }{ \int } } f(x, y, z)\,ds = \overset {S}{ \underset {0}{ \int }} f(x(s), y(s), z(s))\,ds.$
Если правую часть равенства записать в виде предела интегральных сумм, то тогда получим:
${ \underset { \Gamma }{ \int } } f(x, y, z)\,ds = \underset { l(T) \rightarrow 0 }{ \lim } \sum\limits_{i=1}^{n}f(x_i, y_i, z_i)\Delta s_i,$
где [latex]x_i = x(s_i)[/latex], [latex]y = y(s_i)[/latex], [latex]z_i = z(s_i)[/latex], [latex]T[/latex] — разбиение отрезка [latex][0, S][/latex], то есть [latex]0 = s_0 < s_1 < … <s_n = S[/latex], [latex]\Delta s_i = s_i — s_{i-1}[/latex]. Разбиению кривой [latex]\Gamma[/latex] на дуги [latex]\Gamma _{s_{i-1}s_i}[/latex], [latex]i = \overline{1,n}[/latex] (рисунок 1) соответствует разбиение [latex]T[/latex] отрезка [latex][0, S][/latex] (рисунок 2).

[spoilergroup]

Рисунок 1

[/spoilergroup]

[spoilergroup]

Рисунок 2

[/spoilergroup]

Если рассматривать случай, когда функция [latex]f(x, y, z)[/latex] неотрицательна, то ее можно интерпретировать как линейную плотность распределения массы, а криволинейный интеграл [latex]\int_{\Gamma }f (x, y, z){\mathrm{d}s} — [/latex] как массу кривой [latex]\Gamma[/latex].

[spoilergroup]

Пример

Найти массу [latex]m[/latex] кривой [latex]\Gamma[/latex], заданной уравнением [latex]y = \ln x[/latex], где [latex]1\leq x\leq \mathrm{e}[/latex], есть ее линейная плотность в каждой точке пропорциональная квадрату абсциссы, то есть [latex]\rho (x,y) = kx^2[/latex].

Решение

Используя формулу для вычисления массы кривой, получаем:
$m = { \underset { \Gamma }{ \int } } kx^2\,ds.$
Для того, чтобы вычислить криволинейный интеграл первого рода воспользуемся равенством:
${ \underset { \Gamma }{ \int } }f(x, y(x))\,ds = \overset {\beta}{ \underset {\alpha}{ \int }} f(x, \psi(x))\sqrt{1 +(\psi'(x))^2 }\,dx.$

Поскольку:
$\sqrt{1 +(\psi'(x))^2 } = \sqrt{1 + \frac{1}{x^2}} = \frac{1 + x^2}{x},$
то
$m = \overset {\mathrm{e}}{ \underset {1}{ \int }}kx^2\frac{\sqrt{1 + x^2}}{x}\,dx = \frac{k}{3}(1+x^2)^{\frac{3}{2}} \bigg|_1^\mathrm{e} = \left ( \frac{k}{3}(1+\mathrm{e}^2)^{\frac{3}{2}} — 2\sqrt{2} \right ).$

[свернуть]

[/spoilergroup]

Литература

Тест

Данный тест поможет Вам проверить уровень знаний по данной теме.

Задание 1 из 4

1.
Количество баллов: 1
Криволинейный интеграл первого рода от функции [latex]f(x, y, z)[/latex] по кривой [latex]\Gamma[/latex] имеет следующий вид:
- $\Gamma(x) = \overset {+\infty}{ \underset {0}{ \int }}t^{x-1}\mathrm{e}^{-t}\,dt,\, x>0$
- ${ \underset { \Gamma }{ \int } } f(x, y, z)\,ds = \overset { \beta }{ \underset { \alpha }{ \int } } f(x(t), y(t), z(t))|r'(t)|\,dt$
- ${ \underset {\Gamma}{ \int }}(F,dr) = \overset {\beta}{ \underset {\alpha}{ \int }}(F(x(t),y(t), z(t)),r'(t))\,dt$
Правильно

Неправильно
Задание 2 из 4

2.
Количество баллов: 1
Вставьте пропущенные слова:
- При естественной параметризации кривой $\Gamma$ криволинейный интеграл первого рода приобретает следующие пределы интегрирования: от (0) до (S).
Правильно

Неправильно
Задание 3 из 4

3.
Количество баллов: 1
Какой должна быть функция $f(x,y,z)$ , чтобы выполнялось равенство: $\overset { \beta }{ \underset { \alpha }{ \int } } f(x(t), y(t), z(t))|r'(t)|\,dt = { \underset { \Gamma }{ \int } } f(x, y, z)\,ds$
Правильно

Неправильно

Задание 4 из 4

4.

Количество баллов: 1

Найти соответствие между равенством и свойством криволинейного интеграла первого рода, которое это равенство описывает.

Элементы сортировки

аддитивность относительно кривой
независимость от ориентации кривой
естественная параметризация

${ \underset { \Gamma }{ \int } } f(x, y, z)\,ds =$

$=\sum\limits_{i=1}^{n}{ \underset {{ \Gamma }_{i}}{ \int } } f(x, y, z)\,ds$

${ \underset { \Gamma }{ \int } } f(x, y, z)ds =$

$= { \underset { \Gamma- }{ \int } } f(x, y, z)ds$

${ \underset { \Gamma }{ \int } } f(x, y, z)\,ds =$

$= \overset {S}{ \underset {0}{ \int }} f(x(s), y(s), z(s))\,ds$

Таблица лучших: Криволинейные интегралы первого рода

максимум из 4 баллов
Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Задача 1. (О вычислении пути)

Условие. Предположим, что $latex f(x)$ — скорость движения материальной точки по оси $latex OY$ и $latex f(x)>0$ . Необходимо вычислить путь, пройденный материальной точкой за промежуток времени от $latex x=a$ до $latex x=b$ .

Решение. Разобьём рассматриваемый промежуток времени от $latex a$ до $latex b$ на малые промежутки (рис.3) $a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<…<x_{n-1}<x_{n}=b$ На указанном промежутке скорость приближенно можно считать равной и постоянной, например, $latex f(x_{k})$ . Получаем, что путь, пройденный материальной точкой за время $latex \triangle x_{k}=x_{k}-x_{k-1}$ приближенно равен $latex f(x_{k})\triangle x_{k}$ . Следовательно, путь пройденный от $latex a$ до $latex b$ приближенно равен:

$latex {S\approx f(x_{1})\triangle x_{1}+f(x_{2})\triangle x_{2}+…+f(x_{n})\triangle x_{n}}$ . (1)

При уменьшении всех промежутков времени мы будем получать более точное значение пути. И так, чтобы получить точное значение пути, перейдём к пределу в формуле (1) :

$latex {S\approx \lim\limits_{\triangle x_{k}\to 0 }f(x_{1})\triangle x_{1}+f(x_{2})\triangle x_{2}+…+f(x_{n})\triangle x_{n}}$ . (2)

Задача 2. (О вычислении площади криволинейной трапеции)

В предыдущей задаче мы вычислили путь, пройденный материальной точкой за промежуток времени от $latex x=a$ до $latex x=b$ , перейдя к пределу. В математике предел вида (2) называется определённым интегралом(или интегралом Римана) от функции $latex f(x)$ в пределах от $latex a$ до $latex b$ и обозначается: $\underset{a}{\overset{b}{\int}}f(x)dx$

Рассмотрим рис.1 Сумма вида (1) равна сумме площадей прямоугольников с основаниями $latex \triangle x_{k}$ и высотами $latex f( x_{k})$ . Т.е., данная сумма равна площади изображенной на рис.1 ступенчатой фигуры, обозначенной светло- и тёмно-зеленым цветом. При стремлении к нулю длин всех отрезков $latex \triangle x_{k}$ площадь указанной ступенчатой фигуры будет стремиться к площади отмеченной на рисунке ступенчатой фигуры, лежащей под графиком функции $latex y=f(x)$ на отрезке $latex [a;b]$ .

Эту криволинейную фигуру часто называют криволинейной трапецией . Аналогично задачи 1, перейдём к пределу:

$latex {S=\lim\limits_{\lambda \to 0 }f(x_{1})\triangle x_{1}+f(x_{2})\triangle x_{2}+…+f(x_{n})\triangle x_{n}}$ , где $latex \lambda = \max \triangle x_{k}$

и $latex S$ -площадь, отмеченной на рисунке (1) фигуры (криволинейной трапеции).

Вывод: площадь криволинейной трапеции можно вычислить по формуле:

[latex] S=\lim\limits_{\lambda \to 0 } \sum\limits_{n=1}^{k}f(x_{n})\triangle x_{n}[/latex] [latex]=\int_{a}^{b}f(x)dx[/latex] (3)

Рассмотрим пример:

Условие. Вычислить площадь $latex S$ , заключенную между графиком функции $latex y=\sin x$ на отрезке от $latex 0$ до $latex \pi$ и осью $latex OX$ (рис. 2)

Решение. По формуле (3) предыдущей задачи получаем: ${S=\underset{0}{\overset{\pi}{\int}}\sin x\ dx}$

Так как одной из первообразных функции $latex f(x)=\sin x$ является функция $latex \Phi (x)=-\cos x$ , то по формуле Ньютона -Лейбница получим: $S={{\underset{0}{\overset{\pi}{\int}}\sin x\ dx}=(-\cos \pi)-(-\cos 0) }=2$

Задача 3. (О вычислении массы линейного стержня по известной плотности)

Пусть задан прямолинейный стержень, который меняется вдоль оси (рис.3).
$latex \rho =\rho\ (x)$
Если бы плотность во всех участках стержня была бы одинаковой (однородный стержень), то масса m стержня :
$latex m=\rho (b-a)$ , $latex \rho =const$
Но, так как плотность не является постоянной, то разобьем [a,b] на однородные участки (участки с одинаковой плотностью) :
$latex a=x_{o}<x_{1}<x_{2}<…<x_{n-1}<x_{n}=b$
$latex \forall \ \xi _{i}\in \triangle x_{i}$ , где $latex \triangle x_{i}=x_{i}-x_{i-1}$ $latex i=\overline{1,n}$
Масса каждого отрезка : $latex m\approx \rho (\xi _{i})\cdot \triangle x_{i}$ $latex \Rightarrow$ масса всего стержня равна пределу суммы $latex {m=\lim\limits_{x \to 0}\sum\limits_{i=1}^{n}\rho (\xi _{i})\triangle x_{i}}$

Замечание

В просмотренной задаче речь идёт о рассмотрении пределов сумм вида $latex {\sum\limits_{i=1}^{n}\rho (\xi _{i})\triangle x_{i}}$ , которые называются интегральными суммами

Список литературы:

А.Г. Попов, П.Е. Данко, Т.Я. Кожевникова «Мир и образование» 2005 г. (Издание 6-е. Часть 1) стр. 243-258
Лысенко З.М. Конспект лекций по курсу математического анализа.

Тест (Задачи, которые приводят к понятию определенного интеграла Римана)

Задача о вычислении площади криволинейной трапеции.
Задача о вычислении массы линейного стержня по известной плотности.
Задача о вычислении пути, пройденного материальной точкой.

Таблица лучших: Тест (Задачи, которые приводят к понятию определенного интеграла Римана)

максимум из 8 баллов
Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Метка: масса

Криволинейные интегралы первого рода и их свойства

Определение

Свойства криволинейных интегралов первого рода

Физический смысл криволинейных интегралов первого рода

Литература

Тест

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

3.

4.

Элементы сортировки

Таблица лучших: Криволинейные интегралы первого рода

Задачи, которые приводят к понятию определенного интеграла Римана

Задача 1. (О вычислении пути)

Задача 2. (О вычислении площади криволинейной трапеции)

Задача 3. (О вычислении массы линейного стержня по известной плотности)

Замечание

Список литературы:

Тест (Задачи, которые приводят к понятию определенного интеграла Римана)

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

3.

4.

5.

Таблица лучших: Тест (Задачи, которые приводят к понятию определенного интеграла Римана)

Средний результат
Ваш результат

Средний результат
Ваш результат