Свойства пределов, связанные с алгебраическими операциями

Если функции [latex]f(x)[/latex] и [latex]g(x)[/latex] имеют конечные пределы в точке [latex]a[/latex], причем [latex]\lim_{x\rightarrow a}f(x)=A[/latex] и [latex]\lim_{x\rightarrow a}g(x)=B[/latex] то:

1. [latex]\lim_{x\rightarrow a}(f(x)+g(x))=A+B[/latex]

Доказательство
Так как функции [latex]f(x)[/latex] и [latex]g(x)[/latex] имеют предел в точке [latex]a[/latex], то при [latex]x\rightarrow a[/latex] величины [latex]h_{f}(x)=A-f(x)[/latex] и [latex]h_{g}(x)=B-g(x)[/latex] будут бесконечно малыми. Отсюда, согласно свойствам бесконечно малых [latex]h_{f}+h_{g}=(A+B)-(f(x)+g(x))[/latex] также будет бесконечно малой величиной. Что в свою очередь означает, что [latex]\lim_{x\rightarrow a}(f(x)+g(x))=A+B[/latex]

2. [latex]\lim_{x\rightarrow a}(f(x)g(x))=AB[/latex]

Доказательство
Так как функции [latex]f(x)[/latex] и [latex]g(x)[/latex] имеют предел в точке [latex]a[/latex], то при [latex]x\rightarrow a[/latex] величины [latex]h_{f}(x)=A-f(x)[/latex] и [latex]h_{g}(x)=B-g(x)[/latex] будут бесконечно малыми. Поэтому [latex]g(x)=A-h_{f}(x)[/latex] и [latex]g(x)=B-h_{g}(x)[/latex]. Отсюда
[latex]\\f(x)g(x)=(A-h_{f})(B-h_{g})\\f(x)g(x)=AB-Ah_{g}-Bh_{f}+h_{f}h_{g}\\AB-f(x)g(x)=Ah_{g}+Bh_{f}-h_{f}h_{g}[/latex]
Согласно свойствам бесконечно малых, величина в правой части — бесконечно малая. Что в свою очередь означает, что [latex]\lim_{x\rightarrow a}(f(x)g(x))=AB[/latex]

3. [latex]\lim_{x\rightarrow a}(\frac{f(x)}{g(x)})=\frac{A}{B}[/latex], причем [latex]B\neq 0[/latex]

Доказательство
Условие [latex]\lim_{x\rightarrow a}(\frac{f(x)}{g(x)})=\frac{A}{B}[/latex] эквивалентно тому, что разность [latex]\frac{A}{B}-\frac{f(x)}{g(x)}[/latex]
бесконечно малая величина при [latex]x\rightarrow a[/latex]. Покажем, что это утверждение имеет место. Приведем к общему знаменателю, получим [latex]\frac{Ag(x)-Bf(x)}{Bg(x)}[/latex]. Рассмотрим предел числителя дроби.
[latex]\\\lim_{x\rightarrow a}(Ag(x)-Bf(x))\\A\lim_{x\rightarrow a}g(x)-B\lim_{x\rightarrow a}f(x)\\AB-BA=0\: \Rightarrow \frac{A}{B}-\frac{f(x)}{g(x)}=0[/latex]
Что в свою очередь означает, что [latex]\lim_{x\rightarrow a}(\frac{f(x)}{g(x)})=\frac{A}{B}[/latex]

Свойства пределов, связанные с неравенствами

1. Теорема о двух милиционерах

Если [latex]\exists \delta > 0:\forall x\in \dot{U}_{\delta }(a)[/latex] выполняются неравенства [latex]g(x)\leqslant f(x)\leqslant h(x)[/latex] и если [latex]\lim_{x\rightarrow a}g(x)= \lim_{x\rightarrow a}h(x)=A[/latex] то [latex]\exists \lim_{x\rightarrow a}f(x)=A[/latex].
Доказательство
Воспользуемся определением предела по Гейне. Пусть [latex]

$$\begin{Bmatrix}x_{n}\end{Bmatrix}$$ [/latex] — последовательность из [latex]\dot{U}_{\delta }(a)[/latex], причем [latex]\lim_{x\rightarrow \infty }x_{n}=a[/latex]. Тогда выполняются условия [latex]g(x_{n})\leqslant f(x_{n})\leqslant h(x_{n})[/latex] и [latex]\lim_{n\rightarrow \infty}g(x_{n})= \lim_{n\rightarrow \infty}h(x_{n})=A[/latex]. Тогда в силу свойств пределов последовательностей [latex]\lim _{n\rightarrow \infty }f(x_{n})=A[/latex]. Следовательно [latex]\lim _{x\rightarrow a }f(x)=A[/latex].
Теорему можно проиллюстрировать следующим графиком:

2. Если [latex]\exists\delta >0:\forall x\in \dot{U}_{\delta }(a)[/latex] выполняется неравенство [latex]f(x)\leqslant g(x)[/latex] и если[latex]\lim_{x\rightarrow a}f(x)=A[/latex], [latex]\lim_{x\rightarrow a}g(x)=B[/latex], то [latex]A\leqslant B[/latex].

Доказательство
Воспользуемся определением предела по Гейне. Пусть [latex]

$$\begin{Bmatrix}x_{n}\end{Bmatrix}$$ [/latex] — последовательность из [latex]\dot{U}_{\delta }(a)[/latex], тогда числа [latex]A[/latex] и [latex]B[/latex] будут пределами последовательности [latex] $$\begin{Bmatrix}x_{n}\end{Bmatrix}$$ _{1}^{\infty }[/latex] т.е. [latex]\lim_{n\rightarrow \infty }f(x_{n})=A[/latex] и [latex]\lim_{n\rightarrow \infty }g(x_{n})=B[/latex] Тогда в силу свойств пределов последовательностей [latex]A\leqslant B[/latex].

Литература

1. Тер-Киркоров А.М., Шабунин М.И., Курс математического анализа, физмат-лит, 2001. стр. 81-84

Следующая тема →

Под методом математической индукции понимают следующий способ доказательства: если требуется доказать истинность утверждения $latex P(n), \forall n \in \mathbb{N},$ то сначала проверяют данное утверждение для некоторого натурально числа $latex n_0$, обычно $latex n_0=1$, а потом допускают истинность выражения $latex P(k).$ Далее доказывают истинность утверждения $latex P(k+1).$

Упражнение:

Доказательство одноцветности всех лошадей — ошибочное доказательство, что все лошади одного цвета, придуманное венгерским математиком Пойа. Доказательство призвано продемонстрировать ошибки, возникающие при неправильном использовании метода математической индукции.

Доказываемое утверждение: все лошади одного цвета.

Доказательство:

Проведем доказательство по индукции.

База индукции:

Одна лошадь, очевидно, одного (одинакового) цвета.
Шаг индукции:
Пусть доказано, что любые $latex K$ лошадей всегда одного цвета. Рассмотрим $latex K+1$ каких-то лошадей. Уберем одну лошадь. Оставшиеся $latex K$ лошадей одного цвета по предположению индукции. Возвратим убранную лошадь и уберем какую-то другую. Оставшиеся $latex K$ лошадей снова будут одного цвета. Значит, все $latex K+1$ лошадей одного цвета.

Отсюда следует, что все лошади одного цвета. Утверждение доказано.

В чем ошибка?
Решение

Пример:

$latex 1)$ Доказать равенство: $latex 1^{2}+2^{2}+3^{2}+\cdots+n^{2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}, n\in \mathbb{N}.$

$latex \square$ $latex 1)$  $latex 1^{2}=\frac{1(1+1)(2+1)}{6}=1.$

$latex 2)$ Пусть данное утверждение верно для $latex n=k:$   $latex 1^{2}+\cdots+k^{2}=\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}.$

$latex 3)$ Докажем истинность утверждения для $latex n=k+1.$

$latex \overbrace{1^{2}+2^{2}+\cdots+k^{2}}^{\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}}+(k+1)^{2}=$

$latex \frac{(k+1)(k+2)(2(k+1)+1)}{6}$

$latex \frac{k(k+1)(2k+1)}{6}+(k+1)^{2}=$

$latex \frac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}$

$latex \frac{k(k+1)(2k+1)+6(k+1)^{2}}{6}=$

$latex \frac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}$

$latex k(2k^{2}+k+2k+1)+6(k^{2}+2k+1)=$

$latex (k+1)(2k^{2}+3k+4k+6)$

 $latex 2k^{3}+3k^{2}+k+6k^{2}+12k+6=$

$latex 2k^{3}+7k^{2}+6k+2k^{2}+7k+6$

$latex 2k^{3}+9k^{2}+13k+6=$

$latex 2k^{3}+9k^{2}+13k+6.$   $latex \blacksquare$

$latex 2)$ Доказать, что для всех натуральных чисел $latex n$ справедливо неравенство $latex n \leq 2^{n}$.

$latex \square$ Для $latex n=1$ неравенство принимает вид $latex 1 \leq 2$, т.е. оно справедливо.

Предположим, требуемое неравенство имеет место при некотором $latex n=k$ и покажем, что оно же справедливо и для $latex n=k+1$.

Сложим предположение индукции $latex k \leq 2^{k}$ с неравенством $latex 1 \leq 2 \leq 2^{k}$. Находим $latex k+1 \leq 2^{k}+2^{k}=2^{k+1}$, что и требовалось доказать. $latex \blacksquare$

Тест "Метод математической индукции"

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 3 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3

Информация

Тестовые вопросы по вышеизложенному материалу.

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 3

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Средний результат
Ваш результат

Рубрики

1. Нет рубрики 0%

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

1. 1
2. 2
3. 3

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 3

   1.

   Количество баллов: 1

   С помощью теста мат.индукции можно доказать:

   • Бином Ньютона
   • Некоторые равенства от 1-ой переменной
   • Дифференцируемость функции
   • Интегрируемость функции
   Правильно
   

   Неправильно
   
2. Задание 2 из 3

   2.

   Количество баллов: 1

   Расположите части метода в порядке выполнения:

   • условие задачи
   • проверка верности равенства для $$n=1$$
   • предположение верности равенства для $$n=k$$
   • проверка верности равенства для $$n=k+1$$
   Правильно
   

   Неправильно
   
3. Задание 3 из 3

   3.

   Количество баллов: 1

   Обязательно ли проверять верность равенства для n=1, либо вместо единицы можно взять и другое значение?

   • Да (во всех случаях)
   • Нет (во всех случаях)
   • В зависимости от выражения
   Правильно
   

   Неправильно
   

Список литературы:

• Лысенко З.М. Конспект лекций по курсу математического анализа.
• В.И.Коляда, А.А.Кореновский «Курс лекций по мат.анализу, часть 1» (Одесса «Астропринт» , 2009г.), стр.4.

Решите примеры:

1. $\int (2x-3)dx$
   Спойлер

   $x^2-3x+C$

   [свернуть]
2. $\int \cos^2xdx$ 
   Спойлер

   $\frac{1}{2}(x+\frac{1}{2}\sin2x)+C$

   [свернуть]
3. $\int (2x-3)^2dx$
   Спойлер

   $\frac{4}{3}x^3-6x^2+9x+C$

   [свернуть]

Литература

1. Кудрявцев Л.Д., Курс Математического Анализа. — М.: Дрофа; 2003, Т.1. Стр. 459
2. Лысенко З.М., Конспект лекций по математическому анализу, 2012

Тест

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 5 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5

Информация

Для решения интегралов нужно знать таблицу первообразных (таблицу интегралов) и свойства интегралов. Попробуйте проверить свои знания.

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 5

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Средний результат
Ваш результат

Рубрики

1. Математический анализ 0%

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

максимум из 22 баллов

Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 5

   1.

   Количество баллов: 9

   Найдите число [latex]k[/latex], при котором данное равенство верно

   [latex]\int \frac{dx}{4+25x^2}=\frac{1}{k} \mathop{\rm arctg}\frac{5x}{2}+C[/latex]
   Правильно
   

   Неправильно
   
2. Задание 2 из 5

   2.

   Количество баллов: 6

   Сопоставьте, используя таблицу интегралов:

   Элементы сортировки

   • $$-\cos(x)+C$$
   • $$\mathop{\rm -ctg} (x)+C$$
   • $$\sqrt{x}+C$$
   • $$\ln|x|+C$$
   • $$\frac{a^x}{\ln a}+C$$
   • $$\frac{1}{2a}\ln|\frac{a+x}{a-x}|+C$$

   • $$\int \sin(x)dx$$

   • $$\int \frac{dx}{\sin^2x}$$

   • $$\int \frac{dx}{2\sqrt{x}}$$

   • $$\int \frac{dx}{x}$$

   • $$\int a^x dx$$

   • $$\int \frac{dx}{a^2-x^2}$$

   Правильно
   

   Неправильно
   
3. Задание 3 из 5

   3.

   Количество баллов: 2

   [latex]\int \frac{dx}{a^2+x^2}[/latex] =

   • $$\frac{1}{a} \mathop{\rm arctg}\frac{x}{a}+C$$
   • $$\arcsin \frac{x}{a}+C$$
   • $$\frac{1}{2a}\ln|\frac{x-a}{x+a}|+C$$
   • $$\frac{1}{2a}\ln|\frac{a+x}{a-x}|+C$$
   • $$\frac{-1}{ a\mathop{\rm arctg}} \frac{x}{a} + C$$
   Правильно
   

   Неправильно
   
4. Задание 4 из 5

   4.

   Количество баллов: 2

   Найти интеграл [latex] \int \frac{dx}{x^3}[/latex]

   • $$-3x^4+C$$
   • $$-\frac{1}{2x^2}+C$$
   • $$\frac{x^2}{2}+C$$
   • $$\frac{1}{2x^2}+C$$
   Правильно
   

   Неправильно
   
5. Задание 5 из 5

   5.

   Количество баллов: 3

   Интеграл [latex]\int(x+2)^2dx [/latex] равен

   • $$\frac{(x+2)^2}{3}+C$$
   • $$\frac{x^3}{3}+4x+C$$
   • $$\frac{x^3}{3}+2x^2+4x+C$$
   • $$2x^2+4x+C$$
   Правильно
   

   Неправильно
   

Перед тем как рассматривать теорему, давайте вспомним, что такое монотонная функция и нарисуем  её график.

Функция [latex]f(x)[/latex] называется монотонно возрастающей на отрезке [latex][a;b][/latex], если [latex]\forall x_{1}, x_{2}\in[a;b],x_{1}>[/latex] [latex]x_{2}\Rightarrow f(x_{1})\geq f(x_{2})[/latex]

Функция [latex]f(x)[/latex] называется монотонно убывающей на отрезке [latex][a;b][/latex], если [latex]\forall x_{1}, x_{2}\in [a;b] ,x_{1}>[/latex] [latex] x_{2}\Rightarrow f(x_{1})\leq f(x_{2})[/latex]

Функция [latex]f(x)[/latex] называется строго монотонно убывающей на отрезке [latex][a;b][/latex], если [latex]\forall x_{1}, x_{2}\in [a;b],x_{1}>[/latex][latex]x_{2}\Rightarrow f(x_{1})<f(x_{2})[/latex]

Функция [latex]f(x)[/latex] называется строго монотонно возрастающей на отрезке [latex][a;b][/latex], если [latex]\forall x_{1},x_{2}\in[a;b], x_{1}>[/latex][latex]x_{2}\Rightarrow f(x_{1})>f(x_{2})[/latex]

Пример графика монотонно возрастающей функции.

На графике видно, что [latex]\forall x_{1}, x_{2} : x_{1}>x_{2}[/latex], соответствующие значения функции [latex]f(x_{1})\geq f(x_{2})[/latex]

Пример графика монотонно убывающей функции.

На графике видно, что [latex]\forall x_{1},x_{2} : x_{1}>x_{2}[/latex], соответствующие значения функции [latex]f(x_{1})\leq f(x_{2})[/latex]

Теорема о существовании односторонних пределов у монотонных функций

Формулировка:

Если функция [latex]f(x)[/latex] определена и монотонна на отрезке [latex][a;b][/latex], то в каждой точке [latex]x_{0}\in (a;b)[/latex] эта функция имеет конечные пределы слева и справа, а в точках [latex]a[/latex] и [latex]b[/latex] правосторонний и левосторонний пределы.

Доказательство:

Пусть, например, функция [latex]f(x)[/latex] монотонно возрастает на [latex][a;b][/latex]. Выберем произвольную внутреннюю точку [latex]x_{0}\in (a;b][/latex]. Тогда [latex]\forall x\in [a;x_{0})\Rightarrow [/latex][latex]f(x)\leq f(x_{0})\Rightarrow[/latex] [latex]f(x)[/latex] ограничена сверху на [latex][a;x_{0})\Rightarrow[/latex][latex]\exists\sup f(x)=M\leqslant f(x_{0})[/latex].
Согласно определению:
а) [latex]\forall x\in [a;x_{0})\Rightarrow[/latex][latex] f(x) \leqslant M[/latex]
б) [latex]\forall \varepsilon > 0\exists x_{\varepsilon }:[/latex][latex]M-\varepsilon < f(x_{\varepsilon }),[/latex] обозначим [latex]\delta =x_{0}-x_{\varepsilon }>0[/latex].
Если [latex]x\in (x_{\varepsilon };x_{0})=(x_{0-\delta };x_{0})[/latex], то [latex]f(x_{\varepsilon })\leq f(x)[/latex].
Итог: [latex]\forall \varepsilon >0\exists \delta>0:[/latex][latex]\forall x\in (x_{0}-\delta;x_{0}):[/latex][latex]M-\varepsilon <[/latex] [latex]f(x_{\varepsilon }) < f(x)\leq M<[/latex] [latex] M+\varepsilon \Leftrightarrow[/latex][latex] |f(x)-M|< \varepsilon[/latex]
[latex]\lim_{x\rightarrow x_{0-0} } f(x) = M[/latex]
Итак [latex]f(x_{0}-0)= \sup f(x)[/latex], [latex]a\leqslant x<x_{0} [/latex].
Аналогично доказываем, что функция имеет в точке [latex]x_{0}\in [a;b)[/latex] предел справа причем [latex]f(x_{0}+0)=\inf f(x)[/latex], [latex]x_{0}<x\leqslant b[/latex].
Следствие. Если функция [latex]f[/latex] определена и монотонна на интервале [latex](a;b)[/latex], [latex]\forall\ x_{0}\in (a;b)\exists \[/latex] предел справа и слева, причем если [latex]f[/latex] возрастает, то
[latex]f(x_{0}-0)=\lim\limits_{x\to x_{0}-0} f(x)[/latex] [latex] \leq\lim\limits_{x\to x_{0}+0} f(x)=[/latex][latex]f(x_{0}+0)[/latex],
если убывает, то
[latex]f(x_{0}-0)=\lim\limits_{x\to x_{0}-0} f(x)[/latex] [latex] \geq\lim\limits_{x\to x_{0}+0} f(x)=[/latex][latex]f(x_{0}+0)[/latex].

Литература

• Лысенко З.М. Конспект лекций по математическому анализу. Тема «Предел функции»
• Вартанян Г. М. Конспект лекций по математическому анализу.
• Г.М. Фихтенгольц Курс дифференциального и интегрального исчисления. Глава 2. Функции одной переменной. 2.57. Предел монотонной функции. (с.133-134)

Тест

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 2 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2

Информация

Тест по теме Пределы монотонных функций.

Желаем удачи!

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 2

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Средний результат
Ваш результат

Рубрики

1. Математический анализ 0%

• Спасибо Вам за прохождение данного теста, надеюсь вы узнали для себя что-нибудь новое!

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

максимум из 10 баллов

Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

1. 1
2. 2

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 2

   1.

   Количество баллов: 5

   Дать определение строго монотонно возрастающей функции на отрезке [latex] [a;b] [/latex]

   • $$\forall x, y\in [a;b],x>y\Rightarrow f(x)\geq f(y)$$
   • $$\forall x, y\in [a;b],x>y\Rightarrow f(x)> f(y)$$
   • $$\forall x, y\in [a;b],x>y\Rightarrow f(x)\leq f(y)$$
   • $$\forall x, y\in [a;b],x>y\Rightarrow f(x)< f(y)$$
   Правильно
   

   Неправильно
   
2. Задание 2 из 2

   2.

   Количество баллов: 5

   Вставьте пропущенные слова.
   
   $$Если~ функция ~ f(x) ~определена ~и~ монотонна~ на ~отрезке ~ [a;b],$$
   $$~то~ в ~каждой~ точке ~x ~ из ~ (a;b)$$
   $$эта~ функция~ имеет ~конечные ~пределы ~слева~ и~ справа,~а ~в ~точках~ a~ и~ b$$

   • (правосторонний) и (левосторонний) пределы.
   Правильно
   

   Неправильно
   

1. Единственность предела функции

Как мы говорили с Вами в прошлой статье, единственность предела следует из определения предела функции по Гейне. Однако давайте сформулируем и докажем теорему о единственности предела.

Теорема о единственности предела

Формулировка:

Если функция [latex]f(x)[/latex] в точке [latex]a[/latex] имеет предел, то этот предел единственный.

Доказательство:

Докажем методом от противного. Предположим, что [latex]\lim\limits_{x\rightarrow a } f(x) = b[/latex], [latex]\lim\limits_{x\rightarrow a } f(x) = c[/latex], [latex]b \neq c[/latex]. Возьмём [latex]\varepsilon = \frac{|b-c|}{2}[/latex], по определению и свойству окрестности найдётся такая проколотая  
[latex]\delta[/latex]-окрестность точки [latex]a[/latex] ([latex]\dot{U}_{\delta }(a)[/latex]), в которой одновременно будут выполнятся неравенства [latex]|f(x)-b|<\frac{|b-c|}{2}[/latex], [latex]|f(x)-c|<\frac{|b-c|}{2}[/latex] , тогда в точках этой же окрестности [latex]|b-c|=[/latex][latex]|(b-f(x))+[/latex][latex](f(x)-c)| \leq[/latex][latex] |f(x)-b|+[/latex][latex]|f(x)-c|<[/latex][latex] \frac{|b-c|}{2}+[/latex][latex]\frac{|b-c|}{2}=[/latex][latex]|b-c|.[/latex] Получили противоречие [latex]|b-c| < |b-c|[/latex]. Отсюда, функция [latex]f(x)[/latex] в точке [latex]a[/latex] имеет единственный предел.

2. Локальная ограниченность функции, имеющей предел

Теорема о локальной ограниченности функции, имеющей предел

Формулировка:

Если предел функции [latex]f(x)[/latex] при [latex]x\rightarrow a[/latex] равняется [latex]A[/latex], то найдётся окрестность точки [latex]a[/latex], во всех точках которой функция [latex]f(x)[/latex] ограничена.

Доказательство:

Из определения предела по Коши получим: [latex]\forall \varepsilon >0[/latex] [latex] \exists \delta=\delta(\varepsilon) >0:[/latex][latex]\forall x\in \dot{U}_{\delta }(a)\Rightarrow |f(x)-A|<\varepsilon.[/latex] Возьмём [latex]\varepsilon =1[/latex]. Из условия теоремы следует существование окрестности [latex]\dot{U}_{\delta }(a)[/latex]. Следовательно, [latex]|f(x)-A|<1[/latex]. Перепишем это следующим образом:[latex]A-1<f(x)<A+1[/latex]. Легко видеть, что это и означает ограниченность функции [latex]f(x)[/latex].

 Литература

• Лысенко З.М. Конспект лекций по математическому анализу. Тема «Предел функции»
• Г.М. Фихтенгольц Курс дифференциального и интегрального исчисления. Глава 2. Функции одной переменной. 2.52. Определение предела функции. (с. 115-117)

Тест

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 3 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3

Информация

Тест по теме Единственность предела, локальная ограниченность функции, имеющей предел.

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 3

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Средний результат
Ваш результат

Рубрики

1. Математический анализ 0%

• Спасибо Вам за прохождение данного теста, надеюсь вы узнали для себя что-нибудь новое!

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

максимум из 17 баллов

Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

1. 1
2. 2
3. 3

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 3

   1.

   Количество баллов: 5

   Если предел функции $$f(x)$$  при $$x\rightarrow a$$ равняется $$A,$$ то найдётся окрестность точки $$a,$$ во всех точках которой функция $$f(x)$$
   Правильно
   

   Неправильно
   
2. Задание 2 из 3

   2.

   Количество баллов: 5

   Последовательность действий при доказательстве теоремы о единственности предела.

   • Предположим, что $$\lim_{x\rightarrow a } f(x) = b, \lim_{x\rightarrow a } f(x) = c, b \neq c$$
   • Возьмём $$\varepsilon = \frac{|b-c|}{2}$$
   • Тогда будут выполняться неравенства: $$|f(x)-b|<\frac{|b-c|}{2}, |f(x)-c|<\frac{|b-c|}{2}$$
   • Тогда $$|b-c| = |(b-f(x))+(f(x)-c)|\leq$$ $$\leq|f(x)-b|+|f(x)-c|<\frac{|b-c|}{2}+\frac{|b-c|}{2}=$$ $$=|b-c|$$
   Правильно
   

   Неправильно
   
3. Задание 3 из 3

   3.

   Количество баллов: 7

   Если существует некоторая окрестность точки [latex]a,[/latex] во всех точках которой функция [latex]f(x)[/latex] ограничена, обязательно ли существует предел функции [latex]f(x)[/latex] при [latex]x \rightarrow a [/latex] и притом конечный?
   Правильно
   

   Неправильно
   

   Подсказка

   Введите «да» или «нет».