Если на сегменте [latex][a,b] [/latex] функции [latex]f(x)[/latex] имеет непрерывную производную [latex]f^{‘}(x)[/latex], то поверхность [latex]M[/latex], образованная вращением графика этой функции вокруг оси [latex]Ox[/latex], квадрируема и её площадь [latex]P[/latex] может быть вычислена по формуле[latex]P=[/latex][latex]2\pi\int\limits_{a}^{b}f(x)\sqrt{1+f^{‘2}(x)}dx[/latex]

Доказательство. Длина [latex]l_{i} [/latex] звена [latex]A_{i-1}A_{i} [/latex] ломанной [latex]A_{0}A_{1}…A_{n} [/latex] равна [latex]\sqrt{(x_{i}-x_{i-1})^{2}+(y_{i}-y_{i-1})^{2}}.[/latex] По формуле Лагранжа имеем [latex]y_{i}-y_{i-1}=[/latex][latex]f(x_{i})-f(x_{i-1})=[/latex][latex]f^{‘}(\xi)(x_{i}-x_{i-1}) [/latex]. Полагая [latex]x_{i}-x_{i-1}=\Delta_{x_{i}} [/latex]. Поэтому, согласно формуле,
[latex]P(x_{i})=[/latex][latex]2\pi\sum\limits_{i=1}^{n}f(\xi_{i})\sqrt{1+f^{‘2}}\Delta_{x_{i}}+[/latex][latex]\pi\sum\limits_{i=1}^{n}(y_{i-1}-f(\xi_{i}))\sqrt{1+f^{‘2}}\Delta_{x_{i}}+[/latex][latex]\pi\sum\limits_{i=1}^{n}(y_{i}-f(\xi_{i}))\sqrt{1+f^{‘2}}\Delta_{x_{i}},[/latex] Обозначим эту формулу [latex](**).[/latex] Первая сумма в правой части представляет собой интегральную сумму функции [latex]2\pi{f(x)\sqrt{1+f^{‘2}(x)}dx}[/latex], которая в силу условий утверждения интегрируема и имеет предел [latex]P=[/latex][latex]2\pi\int\limits_{a}^{b}f(x)\sqrt{1+f^{‘2}(x)}dx[/latex]. Докажем, что выражение в правой части [latex](**)[/latex] имеет предел, равный нулю. В самом деле, пусть [latex]\varepsilon>0[/latex]. Так как функция [latex]f(x)[/latex] равномерно непрерывны на сегменте [latex][a,b] [/latex], то по данному[latex]\varepsilon>0[/latex] можно указать такое [latex]\delta>0[/latex], что при [latex]\Delta<\delta[/latex][latex](\Delta=\max\Delta_{x_{i}})[/latex] выполняются неравенства [latex]|y_{i-1}-f(\xi_{i})|<\varepsilon[/latex] и [latex]|y_{i}-f(\xi_{i})|<\varepsilon[/latex]. Если [latex]T[/latex] — максимальное значение функции [latex]\sqrt{1+f^{‘2}(x)}[/latex] на сегменте [latex][a,b][/latex], то получаем
[latex]|\sum\limits_{i=1}^{n}((y_{i-1}-f(\xi_{i}))+[/latex][latex](y_{i}-f(\xi_{i})))\sqrt{{1+f^{‘2}(\xi_{i})}}\Delta_{x_{i}}|<[/latex][latex]2T\varepsilon\sum\limits_{i=1}^{n}\Delta_{x_{i}}=[/latex][latex]2T(b-a)\varepsilon.[/latex] В силу произвольности [latex]\varepsilon >0[/latex] предел указанного выражения равен нулю. Итак, мы доказали существование предела [latex]P[/latex] площадей [latex]P(x_{i})[/latex] и установили, что этот предел может быть вычислен по формуле [latex]P=[/latex][latex]2\pi\int\limits_{a}^{b}f(x)\sqrt{1+f^{‘2}(x)}dx[/latex].
Замечание 1.Квадрируемость поверхности вращения можно доказать при более слабых условиях. Достаточно потребовать, чтобы функция [latex]f^{‘}(x)[/latex] была определена и интегрируема на сегменте [latex][a,b].[/latex] Из этого предположения вытекает интегрируемость функции [latex]f(x)\sqrt{1+f^{‘2}(x)}.[/latex] Дальнейшее рассуждение ничем не отличается от рассуждений, проведенных при доказательстве утверждений этого пункта.
Замечание 2. Если поверхность [latex]M[/latex] получается посредством вращения вокруг оси [latex]Ox[/latex] кривой [latex]L[/latex], определяемой параметрическими уравнениями
[latex]x=\phi(t)[/latex], [latex]y=\psi(x)[/latex], [latex]\alpha\leq t\leq \beta,[/latex] то осуществляя замену переменных под знаком определенного интеграла в формуле
[latex]P=[/latex][latex]2\pi\int\limits_{a}^{b}f(x)\sqrt{1+f^{‘2}(x)}dx,[/latex] получим следующее выражение для площади [latex]P[/latex] этой поверхности [latex]P=[/latex][latex]2\pi\int\limits_{\alpha}^{\beta}\psi(t)\sqrt{\phi^{‘2}(t)+\psi^{‘2}(t)}dt.[/latex]
Пример 1.Найдем площадь [latex]P[/latex] поверхности эллипсоида вращения. Пусть эллипс [latex]\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1[/latex] вращается вокруг оси [latex]Ox[/latex]. Рассмотрим сначала случай [latex]a>b[/latex](вращение вокруг большой оси эллипса). Так как в этом случае [latex]f(x)=\frac{b}{a}\sqrt{a^{2}-x^{2}}[/latex], то полагая [latex]e=\sqrt{\frac{a^{2}-b^{2}}{a^{2}}}[/latex], найдем [latex]P=[/latex][latex]2\pi\int\limits_{-a}^{a}f(x)\sqrt{1+f^{‘2}(x)}dx=[/latex][latex]2\pi\frac{b}{a}\int\limits_{-a}^{a}\sqrt{a^{2}-e^{2}x^{2}}dx=[/latex][latex]2\pi b(b+\frac{a}{e}\arcsin e)[/latex]. Если [latex]a<b[/latex], то полагая [latex]e=\sqrt{\frac{b^{2}-a^{2}}{b^{2}}}[/latex] и проводя соответствующие вычисления, получим [latex]P=[/latex][latex]2\pi b(b+\frac{a^{2}}{2b}\ln\frac{1+e}{1-e})[/latex].
Пример 2. Найдем площадь [latex]P[/latex] поверхности, образованной вращением вокруг оси [latex]Ox[/latex] циклоиды, определяемой параметрическими уравнениями [latex]x=a(t- \sin t),[/latex] [latex]y=a(1-\cos t)[/latex], [latex]0\leq t\leq 2\pi[/latex]. По формуле [latex]P=[/latex][latex]2\pi\int\limits_{\alpha}^{\beta}\psi(t)\sqrt{\phi^{‘2}(t)+\psi^{‘2}(t)}dt[/latex]. Имеем [latex]P=[/latex][latex]2\pi\int\limits_{\alpha}^{\beta}\psi(t)\sqrt{\phi^{‘2}(t)+\psi^{‘2}(t)}dt=[/latex][latex]2\sqrt{2}\pi a^{2}\int\limits_{0}^{2\pi}(1-\cos t)^{\frac{3}{2}}dt=[/latex][latex]\frac{64}{3}\pi a^{2}[/latex].
Литература

В. А. Ильин, Э. Г. Позняк Основы математического анализа. Часть 1. 1982 год. Параграф 3, пункт 4. стр 379-380.

Вартанян Г. М. Конспект по математическому анализу.

Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Часть 2, 1964 год, Параграф 2, стр. 214-217.

Рассмотрим поверхность [latex]M[/latex], образованную вращением вокруг оси [latex]Ox[/latex], заданной на сегменте [latex][a,b] [/latex] функции [latex]y=f(x)[/latex]. Определим понятие квадрируемости поверхности вращения [latex]M[/latex]. Пусть [latex]T[/latex] — разбиение сегмента [latex][a,b] [/latex] точками [latex]a=x_{0}<x_{1}<…[/latex][latex]<x_{n}=b [/latex], и пусть [latex]A_{0}[/latex],…,[latex]A_{n}[/latex] — соответствующие точки функции [latex]y=f(x)[/latex]. Построим ломанную [latex]A_{0}A_{1}…A_{n}[/latex]. При вращении этой ломанной вокруг оси мы получим поверхность [latex] M(A_{i})[/latex], составленную из боковых поверхностей усеченных конусов. Обозначим через [latex] P(x_{i})[/latex] площадь поверхности [latex] M(A_{i})[/latex]. Если [latex] y_{i}[/latex] — ординаты [latex]f(x)[/latex] в точках [latex] x_{i}[/latex], а [latex] l_{i}[/latex] — длина звена [latex] A_{i-1}A_{i}[/latex] ломанной [latex]A_{0}A_{1}…A_{n}[/latex], то
[latex] P(x_{i})=2\pi\sum\limits_{i=1}^{n}\frac{y_{i-1}+y_{i}}{2}l_{i}=[/latex][latex]\pi\sum\limits_{i=1}^{n}(y_{i-1}+y_{i})l_{i}[/latex]
Сформулируем следующее определения.

Число [latex]P[/latex] называется пределом площадей [latex]P(x_{i})[/latex], если [latex]\forall[/latex] [latex]\epsilon>0[/latex] [latex]\exists[/latex] [latex]\triangle>0 [/latex], что [latex]\forall[/latex] разбиения [latex]T[/latex] сегмента [latex][a,b] [/latex], максимальная длина [latex]D[/latex] частичных сегментов которого меньше [latex]\triangle[/latex] выполняется неравенство [latex]|P(x_{i})-P|<\epsilon[/latex].

Поверхность вращения [latex]M[/latex] называется квадрируемой, если [latex]\exists [/latex] предел [latex]P[/latex] площадей [latex]P(x_{i}) [/latex]. При этом число [latex]P[/latex] называется площадью поверхности [latex]M[/latex].

Литература

В. А. Ильин, Э. Г. Позняк. Основы математического анализа. Часть 1. 1982 год. Параграф 3, пункт 4. стр 378-379.

Вартанян Г. М. Конспект по математическому анализу.

Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Часть 2, 1964 год, Параграф 2, стр. 214-217.

Примечание к статье
В последующих определениях точка это элемент $\mathbb{R}^n$, то-есть $x=(x_1,\cdots,x_n)$ и $x^0=(x_1^0,\cdots,x_n^0)$, а значение функции в точке это элемент $\mathbb{R}^m$, то-есть $f(x)=(f_1(x),\cdots,f_m(x))$ и $f(x^0)=(f_1(x^0),\cdots,f_m(x^0))$. Определим метрику $\rho_n(x,y)=\sqrt{\sum\limits_{i=1}^n(x_i-y_i)^2}$ на пространстве $\mathbb{R}^n$. Нумерация последовательности будет обозначаться верхним индексом в скобках.

Дадим три эквивалентных определения непрерывности функции в точке.

Определение 1.
Функция $f:X \to \mathbb{R}^m$, где $X \subset \mathbb{R}^n$, называется непрерывной в точке $x^0 \in X$, если для любого $\varepsilon>0$ существует такое $\delta=\delta(\varepsilon)>0$, что для всех $x \in X$, удовлетворяющих условию $\rho_n(x,x^0)<\delta$, выполняется неравенство$$\rho_m(f(x),f(x^0))<\varepsilon.$$ В кванторах $$\forall \varepsilon>0 \: \exists \delta=\delta(\varepsilon)>0 \: \forall x \in X:\rho_n(x,x^0)<\delta \Rightarrow \rho_m(f(x),f(x^0))<\varepsilon.$$ Как следует из определения точка $x^0$ не обязана быть предельной точкой множества $X$ (как того требует определение предела в многомерном случае), а может быть и изолированной точкой. Так же верным является и следующее определение.

Определение 2.
Функция $f:X \to \mathbb{R}^m$, где $X \subset \mathbb{R}^n$, называется непрерывной в предельной точке $x^0 \in X$, если $$\lim_{x \to x^0,x \in X}f(x)=f(x^0).$$

Из сказанного выше следует, что если функция $f$, определена на множестве $X$ и непрерывна в точке $x^0 \in X$, то $x^0$ либо предельная точка множества $X$, либо изолированная.

Дадим определение понятия непрерывности функции в точке на языке последовательностей.

Определение 3.
Функция $f:X \to \mathbb{R}^m$, где $X \subset \mathbb{R}^n$, непрерывна в предельной точке $x^0 \in X$, если для любой последовательности точек $\{x^{(k)}\}_{k=1}^{\infty}$, для которой $x^{(k)} \in X,\: x^{(k)}\neq x^0,\: x^{(k)} \to x^{0} \: (k \to \infty)$ $$\lim_{k \to \infty}f(x^{(k)})=f(x^0).$$

Теперь дадим определение функции непрерывной по отдельной переменной.

Определение 4
Функция $f:X \to \mathbb{R}^m$, где $X \subset \mathbb{R}^n$, непрерывна по переменной $x_i$ в точке $x^0 \in X$, если для любого $\varepsilon>0$ существует такое $\delta=\delta(\varepsilon)>0$, что для всех $x \in X$, удовлетворяющих условию $|x_i-x_i^0|<\delta$, выполняется неравенство $$\rho_m(f(x_i)-f(x_i^0))<\varepsilon.$$ Очевидно, что если функция является непрерывной, то она так же непрерывна и по каждой переменной в отдельности. Обратное не верно. Пример 1.
Покажем, что функция
$$f(x,y)=
\begin{cases}
\frac{2xy}{x^2+y^2}, & \text{если $x^2+y^2\neq 0$,}\\
0, & \text{если $x^2+y^2=0$,}
\end{cases}
$$ непрерывна по каждой переменной в отдельности, но не является непрерывной в точке $(0,0)$.

Пример 2.
Показать, что функция
$$
f(x,y)=
\begin{cases}
\frac{x^2y}{x^4+y^2}, & \text{если $x^2+y^2\neq 0$,}\\
0, & \text{если $x^2+y^2=0$,}
\end{cases}
$$
в точке $O(0,0)$ непрерывна вдоль каждого луча $x=t\cos{\alpha}, y=t\sin{\alpha}, (0 \le t < +\infty),$ проходящего через эту точку, т. е. существует $\lim_{t \to 0}f(t\cos{\alpha},t\sin{\alpha})=f(0,0),$ однако эта функция не является непрерывной в точке $(0,0)$. [spoiler] Имеем $$\lim_{t \to 0}f(t\cos{\alpha},t\sin{\alpha})=\lim_{t \to 0}\frac{t\cos^2{\alpha}\sin{\alpha}}{t^2\cos^2{\alpha}+\sin^2{\alpha}}.$$ Поскольку $f(t\cos{\alpha},t\sin{\alpha}) \equiv 0$ при $\alpha=\frac{k\pi}{2},k \in \mathbb{Z}_0$, то при этих значениях $\alpha$ $$\lim_{t \to 0}f(t\cos{\alpha},t\sin{\alpha})=0=f(0,0).$$ Если $0<\alpha<2\pi, \alpha \ne \frac{k\pi}{2}, k \in \mathbb{N}$,то $t^2\cos^2{\alpha}+\sin^2{\alpha}>0$ и $t^2\cos^2{\alpha}+\sin^2{\alpha} \to \sin^2{\alpha}>0$ при $t \to 0$. Следовательно, $\lim_{t \to 0}f(t\cos{\alpha},t\sin{\alpha})=0=f(0,0)$. Таким образом, вдоль любого луча, проходящего через точку $(0,0)$, функция $f$ непрерывна в этой точке.

То, что функция $f$ имеет разрыв в точке $(0,0)$, следует из того, что последовательность $\left(\frac{1}{n},\frac{1}{n^2}\right) \to (0,0) \: (n \to \infty)$, а
$$\lim_{n \to \infty}f\left(\frac{1}{n},\frac{1}{n^2}\right)=\lim_{n \to \infty}\frac{\frac{1}{n^4}}{\frac{1}{n^4}+\frac{1}{n^4}}=\frac{1}{2} \neq f(0,0).$$
[/spoiler]

Литература.

• Вартанян Г.М. Конспект лекций по математическому анализу, Часть 2(1). (с.9)
• Коляда В.И., Кореновский А.А. Курс лекций по математическому анализу, Часть 1. (с.252-253)
• Шилов Г. Е. Математический анализ. Функции одного переменного. В 3-х ч. Ч.1-2 -М.:Наука, 1969, Ч.3 -М.:Наука, 1970. (с.15-17)
• Берс Л.И. Математический анализ в 2-х томах, перевод с английского. М, Высшая школа. 1975. (с.325)
• Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, Том 1. (с.362-363)
• Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа — М.: Высш.школа, 1981, Том 1.(с.327-329)

Определение непрерывности функции в точке. Непрерывность по отдельным переменным.

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 5 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5

Информация

Тест на тему: «Определение непрерывности функции в точке. Непрерывность по отдельным переменным.»

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 5

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Рубрики

1. Математический анализ 0%

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 5

   1.

   Указать точку разрыва функции $f(x,y)=\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}$ (записать координаты через пробел):
   Правильно
   

   Неправильно
   
2. Задание 2 из 5

   2.

   Является ли функция $f(x)=\frac{x^2y^2}{x^2+y^2+(x-y)^2}, f(0)=0$ непрерывной в точке $(0,0)$?

   • Да.
   • Нет.
   Правильно
   

   Неправильно
   
3. Задание 3 из 5

   3.

   По каким переменным непрерывна следующая функция $f(x,y)=\frac{x+y}{x^3+y^3}$, $f(0)=7$?

   • по $x$
   • по $y$
   • по $x$ и $y$
   • функция разрывна по каждой переменной
   Правильно
   

   Неправильно
   
4. Задание 4 из 5

   4.

   В чем существенные отличия первого и второго определения непрерывности (в данной статье)?

   • Существенных отличий нет.
   • Для второго определения функция непрерывна только в предельных точках множества, а для первого еще и в изолированных.
   • Второе определение нельзя записать в кванторах, в отличии от первого.
   • Второе определение не эквивалентно первому.
   Правильно
   

   Неправильно
   
5. Задание 5 из 5

   5.

   Что из ниже-перечисленного является неотъемлемой частью доказательства, что функция не является непрерывной в данной точке.

   • Выбор последовательностей (стремящихся к данной точке) при которых функция стремится к разным пределам.
   • Определение того, что функция разрывна по каждой переменной.
   • Выявление того, что функция определена в данной точке.
   • Нахождение последовательности (стремящихся к данной точке) при которой функция стремится к бесконечности.
   Правильно
   

   Неправильно
   



Таблица лучших: Определение непрерывности функции в точке. Непрерывность по отдельным переменным.

максимум из 5 баллов

Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Повторные предельные значения. Для функции [latex] u=f(x_{1},x_{2},…,x_{n})[/latex] нескольких переменных можно определить понятие предельного значения по одной из переменных [latex] x=x_{k} [/latex]  при фиксированных значениях остальных переменных. В связи с этим возникает понятие повторного предельного значения. Уясним это понятие на примере функции [latex] u=f(x,y)[/latex] двух переменных x и у. Пусть функция  [latex] u=f(x,y)[/latex] задана в некоторой прямоугольной окрестности  [latex] \left | x-x_{0} \right |<d_{1} [/latex] ,  [latex] \left | y-y_{0} \right | <d_{2} [/latex] точки [latex] M_{0}(x_{0},y_{0})[/latex] , за исключением, быть может, самой точки [latex] M_{0} [/latex] . Пусть для каждого фиксированного y, удовлетворяющего условию [latex] 0<\left | y-y_{0} \right | <d_{2}[/latex] существует предельное значение функции [latex] u=f(x,y)[/latex] одной переменной [latex]x[/latex] в точке [latex] x=x_{0} [/latex]

[latex]\lim\limits_{x\rightarrow x_{0}} f(x,y)=\varphi (y) [/latex] 

и пусть, кроме того, существует предельное значение [latex]b[/latex] функции  [latex] \varphi [/latex](y) в точке [latex] y=y_{0} [/latex]:

[latex]\lim\limits_{y\rightarrow y_{0}}\varphi(y) =b[/latex]

В этом случае говорят, что существует повторное предельное значение [latex]b[/latex] для функции  [latex] u=f(x,y)[/latex] в точке  [latex] M_{0} [/latex], которое обозначается следующим образом:

[latex] \lim\limits_{y\rightarrow y_{0}}[/latex] [latex]\lim\limits_{x\rightarrow x_{0}} f(x,y) =b[/latex]

Теорема:

Пусть функция [latex] u=f(x,y)[/latex] определена в некоторой прямоугольной окрестности  [latex] \left | x-x_{0} \right |<d_{1} [/latex] ,  [latex] \left | y-y_{0} \right | <d_{2} [/latex] точки [latex] M_{0}(x_{0},y_{0})[/latex] и имеет в этой точке предельное значение [latex]b[/latex]. Пусть, кроме того, для любого фиксированного [latex]x[/latex], [latex] 0<\left | x-x_{0} \right | <d_{1}[/latex], существует предельное значение [latex] \psi =\lim\limits_{y\rightarrow y_{0}}f(x,y)[/latex] и для любого фиксированного y, [latex] 0<\left | y-y_{0} \right | <d_{2}[/latex], существует предельное значение  [latex]\phi (y)=\lim\limits_{x\rightarrow x_{0}} [/latex]. Тогда повторные предельные значения [latex] \lim\limits_{x\rightarrow x_{0}}[/latex] [latex]\lim\limits_{y\rightarrow y_{0}} [/latex] и [latex] \lim\limits_{y\rightarrow y_{0}}[/latex] [latex]\lim\limits_{x\rightarrow x_{0}} f(x,y)[/latex] существуют и равны [latex]b[/latex].

 

Пример решения:

Вычислить повторный предел функций [latex]f(x,y)=\frac{x-y+x^2+y^2}{x+y}[/latex]

Литература:

• В.А.Ильин, Э.Г. Позняк основы математического анализа — Москва, «Наука», 1967. (стр.459-462)
• Конспект лекций  З.М. Лысенко