Определение

Пусть задана функция нескольких переменных [latex]A\subset \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R} [/latex] и a —предельная точка множества [latex]A[/latex]. Если для любого числа [latex]M>0[/latex] существует такое число [latex]\delta [/latex], что при [latex]x\in A\cap U(a,\delta )[/latex] выполняется неравенство [latex]f(x)> M ( \left | f(x) \right | > M)[/latex], то говорят, что функция [latex]f(x)[/latex] стремится к + [latex]\infty[/latex] при, [latex]x\underset{A}{\rightarrow}a[/latex] и пишут:
[latex]\lim\limits_{x\to a}=+\infty[/latex] [latex](\lim\limits_{x\to a}=-\infty[/latex] или [latex]\lim\limits_{x\to a} =\infty )[/latex]
Во всех трех случаях функцию [latex]f(x)[/latex] называют бесконечно большой при [latex]x\underset{A}{\rightarrow}a[/latex].

Пример

Функция [latex]f(x, y) = \frac{1}{x^2+y^2}[/latex] является бесконечно большой при [latex](x, y) \rightarrow (0, 0)[/latex] Функция [latex]g(x, y) = \frac{x}{x^2+y^2}[/latex] стремится к [latex]\infty[/latex] при [latex](x, y)\underset{A}{\rightarrow} (0, 0)[/latex], если [latex]A[/latex] — сектор, заключенный между прямыми [latex]y = x[/latex] и [latex]y = {-x}[/latex] и расположенный в правой полуплоскости [latex]x > 0[/latex]. В самом деле, в этом секторе [latex]\left | y \right | < \left | x \right |[/latex] и поэтому:
[latex]\frac{x}{x^2+y^2}> \frac{x}{2x^2} = \frac{1}{2x}[/latex]
Функция [latex]g(x, y)[/latex] стремится к [latex]- \infty[/latex] при [latex](x, y)\underset{A}{\rightarrow} (0, 0)[/latex], если [latex]A[/latex] — сектор, заключенный между прямыми [latex]y = x[/latex] и [latex]y = {-x}[/latex] и расположенный в левой полуплоскости x < 0, поскольку в этом секторе [latex]\left | y \right | < \left | x \right |[/latex] и поэтому:
[latex]\frac{x}{x^2+y^2}< \frac{x}{2x^2} = \frac{1}{2x}[/latex]
Если [latex]A = {(x, y):x = 0, y \in R}[/latex]— ось ординат, то [latex]g(x, y) = 0[/latex] на [latex]A[/latex] и функция [latex]g(x, y)[/latex] является бесконечно малой при [latex](x, y)\underset{A}{\rightarrow} (0, 0)[/latex].

Литература:

• З.М. Лысенко Конспект лекций
• В.И. Коляда, А.А. Кореновский. Курс лекций по матанализу т.1(стр. 53-55).

Определение

Непрерывность функции нескольких переменных:

Пусть точка [latex]A[/latex] принадлежит области определения функции [latex] u=f(M)[/latex] нескольких переменных и любая [latex]\varepsilon[/latex]-окрестность точки [latex]A[/latex] содержит отличные от [latex]A[/latex] точки области определения этой функции.

Функция [latex] u=f(M)[/latex] называется непрерывной на множестве [latex]\left \{ M \right \}[/latex], если она непрерывна в каждой точке этого множества.

Основные свойства непрерывных функций нескольких переменных:

Теорема об устойчивости знака непрерывной функции:

Если функция [latex] u=f(M)[/latex] непрерывна в точке [latex]A[/latex] евклидова пространства [latex] E^m [/latex] и если [latex] f(A)\neq0 [/latex], тo существует такая  [latex] \delta [/latex] окрестность точки [latex]A[/latex], в пределах которой во всех точках области своего задания [latex] f(M)[/latex] не обращается в нуль и имеет знак совпадающий со знаком[latex] f(M)[/latex]. Справедливость этой теоремы непосредственно вытекает из определения непрерывности функции в терминах «[latex] \varepsilon — \delta [/latex]».

Теорема о прохождении непрерывной функции через любое промежуточное значение:

Пусть функция [latex] u=f(M)[/latex] непрерывна во всех точках связного множества [latex]\left \{ M \right \}[/latex] евклидова пространства [latex]E^{m}[/latex], причем [latex] f(A)[/latex] и [latex] f(B)[/latex] — значения этой функции в точках [latex]A[/latex] и [latex]B[/latex] этого множества. Пусть, далее, [latex]C[/latex] — любое число, заключенное между [latex] f(A)[/latex] и [latex] f(B)[/latex] . Тогда на любой непрерывной кривой [latex]L[/latex], соединяющей точки [latex]A[/latex] и [latex]B[/latex] и целиком располагающейся в [latex] \left \{ M \right \} [/latex], найдется точка N такая, что [latex] f(N)=C [/latex].

Литература:

• В.А.Ильин, Э.Г. Позняк Основы математического анализа — Москва, «Наука», 1967. (стр.441-462)
• З.М. Лысенко Конспект лекций.

Непрерывная функция

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 4 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4

Информация

Тест на тему «непрерывные функции»

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 4

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Рубрики

1. Нет рубрики 0%
2. Математический анализ 0%

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 4

   1.

   Количество баллов: 1

   Выражение  $\lim\limits_{x \to 0}f(M)$ $=f(\lim\limits_{x \to 0}M)$ является условием :

   • Непрерывности функций нескольких переменных
   • Cуществования предельного значения функций (критерий Коши)
   • Равномерной непрерывности.
   Правильно
   

   Неправильно
   
2. Задание 2 из 4

   2.

   Количество баллов: 3

   Сопоставить варианты ответов.

   Элементы сортировки

   • точкой устранимого разрыва
   • точкой разрыва с конечным скачком
   • точка разрыва 2–го рода
   Правильно
   

   Неправильно
   
3. Задание 3 из 4

   3.

   Количество баллов: 1

   Точками разрыва функции нескольких переменных называется:

   • Точки, в которых функция нескольких переменных $$f: A\subset R^{n}\rightarrow R$$ определена и является непрерывной
   • Точки, в которых функция нескольких переменных $$f: A\subset R^{n}\rightarrow R$$ не определена и является непрерывной
   • Точки, в которых функция нескольких переменных $$f: A\subset R^{n}\rightarrow R$$ определена, но не является непрерывной
   Правильно
   

   Неправильно
   
4. Задание 4 из 4

   4.

   Количество баллов: 1

   
   
   
   Какая из функций не является непрерывной на множество всех допустимых действительных значений аргумента $x$?

   • Функция $f(x) = k$
   • Функция $f(x) = \sin 2x$
   • Функция $f(x) = \rm sgn(x)$
   Правильно
   

   Неправильно
   

 Определение:

Точки в которых функция не является непрерывной называется точкой разрыва.

$latex=\lim_{x\rightarrow x_{0}}f(x)=f(x_{0})$

Классификация точек разрыва.

Определение:

Если существует конечный предел справа $latex=(f(a+0))$

$latex=\lim_{x\rightarrow a+0}f(x)(=f(a+0))$ и$latex=\lim_{x\rightarrow a-0}f(x)(=f(a-0))$,

причём $latex=f(a-0)=f(a+0)\neq f(a),$ то точка $latex=a$  называется точкой устранимого разрыва.(название устранимый, оправдывает себя), его можно устранить изменив значение функций в точке $latex=a$ .

Пример

1) $latex=f(x)=sgn^{2}x=\begin{cases}1, & \text{ } x\neq 0 \\ 0, & \text{ } x= 0 \end{cases}$

$latex=sgn {x}=\begin{cases}1, & \text{ } x> 0\\ 0, & \text{ } x=0 \\ -1, & \text{ } x< 0 \end{cases}$

$latex=\lim_{x\rightarrow +0}sgn^{2}x=1\neq 0$

точка 0-точка устранимого разрыва.

2) $latex=f(x)=\begin{cases}x\sin \frac{1}{x}, & \text{ } x\neq 0\\ 1, & \text{ } x=0 \end{cases}$ 

$latex=\lim_{x\rightarrow 0} f(x)=\lim_{x\rightarrow 0}\underbrace{x}_{0}\sin \frac{1}{x}=0\neq 1$

$latex=x=0$ точка устранимого разрыва.

Определение:

Если существуют конечные односторонние пределы

$latex=\exists f(a-0)< \infty$

$latex=\exists f(a+0)< \infty$  и   $latex=f(a+0)\neq f(a-0)$, то точка $latex=a$  называется точкой разрыва первого рода.

Примеры

1) $latex=f(x)=sgnx=\begin{cases}1, & \text{ } x> 0\\ 0, & \text{ } x=0 \\ -1, & \text{ } x< 0 \end{cases}$

$latex=f(+0)=1< \infty$

$latex=f(-0)=-1< \infty$

2)$latex=f(x)=\begin{cases}x^{2}, & \text{ } x> 0 \\ 5, & \text{ } x=0 \\2x-2, & \text{ } x< 0 \end{cases}$

Определение:

Точка $latex=a$  называется точкой разрыва второго рода, если она не является точкой разрыва первого рода и точкой устранимого разрыва, то есть если хотя бы один из сторонних пределов либо не существует, либо бесконечен.

Пример

$latex=f(x)=\begin{cases}\frac{1}{x^{2}}, & \text{ } x\neq 0\\ 1, & \text{ } x=0 \end{cases}$

$latex=f(x)=\begin{cases}\frac{1}{x}, & \text{ } x> 0 \\ 1, & \text{ } x=0 \\ 2x, & \text{ } x< 0 \end{cases}$

$latex=\lim_{x\rightarrow 0}f(x)=\lim_{x\rightarrow 0}2x=0$
$latex=\lim_{x\rightarrow +0}f(x)=\lim_{x\rightarrow +0}\frac{1}{x}=\infty$

точка разрыва второго рода.

Рекомендации

 Учебники :

• Кудрявцев Л.Д. «Математический анализ» Том 1, Глава 1, § 5, Тема 5.1 «Точки непрерывности и точки разрыва функции» стр.84-87;
•  Фильтенгольц Г.М. «Курс дифференциального и интегрального исчисления» Том 1, Глава 2, § 4 «Непрерывность и разрывы функций»  стр.146-167 ;
• Ильин В.А.,Позняк Э.Г. «Основы математического анализа» Часть1, Глава 4, § 8  «Классификация точек разрыва функции» стр.143-145.

Сборники задач:

• Демидович Б.П. «Сборник упражнений по амтематическому анализу» 13-еиздание, исправленное, Отдел 1, § 7 «Непрерывность функции» стр.77-87;
• Дороговцев А.Я. «Математический анализ» Глава 3, § 2 «Непрерывные функции»  стр.50-58.

"Разрывность функции"

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 5 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5

Информация

Тест расчитан на людей которые внимательно изучили разделы: «Точки разрыва монотонной функции» и «Классификация точек разрыва», и следовали всем рекомендациям

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 5

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Рубрики

1. Нет рубрики 0%
2. Математический анализ 0%

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 5

   1.

   Количество баллов: 8

   Как классифицируются точки разрыва?

   • Точки устранимого разрыва
   • Точки разрыва 1-го рода
   • Точки разрыва 2-го рода
   • Точки разрыва 3-го рода
   Правильно
   

   Неправильно
   
2. Задание 2 из 5

   2.

   Количество баллов: 6

   Доказательство теоремы о разрыве монотонной функции легко следует из …
   Правильно
   

   Неправильно
   
3. Задание 3 из 5

   3.

   Количество баллов: 6

   Закончите выражение!

   • Точкой разрыва называется такая точка в которой функция не является (непрерывной)
   Правильно
   

   Неправильно
   
4. Задание 4 из 5

   4.

   Количество баллов: 6

   Соотнесите функции с их названиями!

   Элементы сортировки

   • $$f(x)=\begin{cases}1, & \text{ } x\in \mathbb{Q}\\ 0, & \text{ } x\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q} \end{cases}$$
   • $$f(x)=\begin{cases}\frac{1}{q}, & \text{ } x=\frac{p}{q} ,p\in \mathbb{Z}, q\in \mathbb{N}\\ 0, & \text{ } x\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q} \end{cases}$$
   • $$f(x)=\begin{cases}\frac{\sin x}{x}, & \text{ } x\neq 0 \\ 0, & \text{ } x= 0 \end{cases}$$
   • $$f(x)=\begin{cases}1, & \text{ } x\geq 0,x\in \mathbb{R}\\ 0, & \text{ } x< 0,x\in \mathbb{R} \end{cases}$$
   • $$f(x)=\begin{cases}-1, & \text{ } x<0\\ 0, & \text{ } x=0, x\in \mathbb{R} \\ 1, & \text{ } x> 0 \end{cases}$$

   • Функция Дирихле

   • Функция Римана

   • Функция с устранимым разрывом

   • Ступенчатая функция

   • Функция знака

   Правильно
   

   Неправильно
   
5. Задание 5 из 5

   5.

   Количество баллов: 6

   Если существуют конечные односторонние пределы и $latex=f(a+0)\neq f(a-0)$,то точка $latex=a$…

   • точка разрыва 1-го рода
   • точка устранимого разрыва
   • точка разрыва 2-го рода
   • точка разрыва 3-го рода
   Правильно
   

   Неправильно
   

(Основной материал был взят из курса Математического анализа ,1 курс,1 семестр (доц. Лысенко З.М.))

Теорема (о разрывах монотонной функции)

Если функция $latex f$ определена на отрезке $latex \left[ a,b \right]$ и монотонна, то она может иметь внутри этого отрезка, точки разрыва 1-го рода, и число точек либо конечно, либо счётно.

Доказательство этой теоремы легко следует из теоремы о существовании предела монотонной функции.

Пусть для определёности $latex f(x)$ не убывает в промежутке $latex X$. Возьмём любую точку $latex a\in X$, не совпадающую с левым концом $latex X$ , и рассмотрим ту часть $latex X$ , которая лежит влево от $latex a$ . При $latex x\rightarrow a-0, f(x)$ не убывает и ограничена сверху, поскольку $latex f(x)\leq f(a)$ при $latex x< a$.

В силу теоремы о пределе монотонной функции заключаем, что существует конечный, а согласно свойству функции, имеющей конечный предел , получим, что$latex f(a-0)\leq f(a)$.

Если $latex f(a-0)= f(a)$, то $latex f(x)$ непрерывна в точке $latex a$ слева. Аналогично убеждаемся, что в каждой точке$latex a\in X$, несовпадающей с правым концом$latex X,f(x)$ либо непрерывна справа, либо имеет конечный предел$latex f(a+0)> f(a)$. Ход доказательства для невозрастающей на $latex X$  функции аналогичен.

Итак, во всякой внутренней точке $latex a$  промежутка $latex X$  монотонная функция либо имеет точку разрыва первого с конечным скачком $latex f(a+0)- f(a-0)$, либо непрерывна.

Рекомендации:

 Учебники :

• Кудрявцев Л.Д. «Математический анализ» Том 1, Глава 1, § 5, Тема 5.1 «Точки непрерывности и точки разрыва функции» стр.84-87 ;
• Фильтенгольц Г.М. «Курс дифференциального и интегрального исчисления» Том1, Глава 2, § 4 «Непрерывность и разрыв функций»  стр.146-167 ;
• Ильин В.А.,Позняк Э.Г. «Основы математического анализа» Часть 1, Глава 4, § 8 «Классификация точек разрыва функции»  стр.143-145.

Сборники задач:

• Демидович Б.П. «Сборник упражнений по математическому анализу» 13-е издание, исправленное, Отдел 1,§ 7 «Непрерывность функции» стр.77-87;
• Дороговцев А.Я. «Математический анализ»   Глава 3, § 2 «Непрерывные функции»  стр.50-58 .

"Разрывность функции"

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 5 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5

Информация

Тест расчитан на людей которые внимательно изучили разделы: «Точки разрыва монотонной функции» и «Классификация точек разрыва», и следовали всем рекомендациям

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 5

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Рубрики

1. Нет рубрики 0%
2. Математический анализ 0%

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 5

   1.

   Количество баллов: 8

   Как классифицируются точки разрыва?

   • Точки устранимого разрыва
   • Точки разрыва 1-го рода
   • Точки разрыва 2-го рода
   • Точки разрыва 3-го рода
   Правильно
   

   Неправильно
   
2. Задание 2 из 5

   2.

   Количество баллов: 6

   Доказательство теоремы о разрыве монотонной функции легко следует из …
   Правильно
   

   Неправильно
   
3. Задание 3 из 5

   3.

   Количество баллов: 6

   Закончите выражение!

   • Точкой разрыва называется такая точка в которой функция не является (непрерывной)
   Правильно
   

   Неправильно
   
4. Задание 4 из 5

   4.

   Количество баллов: 6

   Соотнесите функции с их названиями!

   Элементы сортировки

   • $$f(x)=\begin{cases}1, & \text{ } x\in \mathbb{Q}\\ 0, & \text{ } x\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q} \end{cases}$$
   • $$f(x)=\begin{cases}\frac{1}{q}, & \text{ } x=\frac{p}{q} ,p\in \mathbb{Z}, q\in \mathbb{N}\\ 0, & \text{ } x\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q} \end{cases}$$
   • $$f(x)=\begin{cases}\frac{\sin x}{x}, & \text{ } x\neq 0 \\ 0, & \text{ } x= 0 \end{cases}$$
   • $$f(x)=\begin{cases}1, & \text{ } x\geq 0,x\in \mathbb{R}\\ 0, & \text{ } x< 0,x\in \mathbb{R} \end{cases}$$
   • $$f(x)=\begin{cases}-1, & \text{ } x<0\\ 0, & \text{ } x=0, x\in \mathbb{R} \\ 1, & \text{ } x> 0 \end{cases}$$

   • Функция Дирихле

   • Функция Римана

   • Функция с устранимым разрывом

   • Ступенчатая функция

   • Функция знака

   Правильно
   

   Неправильно
   
5. Задание 5 из 5

   5.

   Количество баллов: 6

   Если существуют конечные односторонние пределы и $latex=f(a+0)\neq f(a-0)$,то точка $latex=a$…

   • точка разрыва 1-го рода
   • точка устранимого разрыва
   • точка разрыва 2-го рода
   • точка разрыва 3-го рода
   Правильно
   

   Неправильно
   

Выясним, в чём заключается геометрический смысл непрерывности функции $latex f(x)$. Построим график функции $latex y=f(x)$ и отметим на нём точку $latex a$ и точку $latex f(a)$.

Геометрический смысл непрерывности состоит в том, что если изменение аргумента $latex=x$ незначительное, $latex=x+\delta$ , то и изменение $latex=f(x+\delta)$ будет незначительным в этой точке.
Т.е., малые изменения аргумента приводят к малым изменениям значения функции в этой точке. Это можно увидеть на графике.

Рекомендации:

 Учебники :

• Кудрявцев Л.Д. «Математический анализ»  Том 1, Глава 1, § 5 «Непрерывность функции в точке» стр.84-89;
• Фильтенгольц Г.М. «Курс дифференциального и интегрального исчисления» Том 1, Глава 2, § 4 «Непрерывность и разрывы функций» стр.146-167;
• Ильин В.А., Позняк Э.Г. «Основы математического анализа» Часть 1, Глава 4, § 7 «Непрерывность и предельные значения некоторых сложных функций» стр.138-143.

Сборники задач:

• Демидович Б.П. «Сборник упражнений по математическому анализу» 13-е издание, исправленное, Отдел 1, § 7 «Непрерывность функции» стр.77-87;
• Дороговцев А.Я. «Математический анализ» Глава 3, § 2 «Непрерывные функции» стр.50-58.

(Основной материал был взят из курса Математического анализа ,1 курс,1 семестр (доц. Лысенко З.М.))