Теорема (достаточное условие строгой выпуклости)

Пусть дана функция \(f(x)\), дважды дифференцируема на интервале \((a;b)\). Тогда:

1. Если \({f}^{\prime\prime}(x) > 0\) на \((a;b)\), то функция \(f(x)\) строго выпукла вниз.
2. Если \({f}^{\prime\prime}(x) < 0\) на \((a;b)\), то функция \(f(x)\) строго выпукла вверх.

Доказательство

Докажем первый случай, т.е. докажем что \(\forall x_{1},x_{2}\epsilon (a;b)\): \( f(\frac{x_{1} + x_{2}}{2}) < \frac{f(x_{1}) + f(x_{2})}{2}\)

\(x_{0} = \frac{x_{1} + x_{2}}{2}\), \(x_{2}-x_{1} = 2h\). Тогда :
\(x_{2} = x_{0} + h\)
\(x_{1} = x_{0} — h\)

Применим к функции \(f(x)\) на отрезках \([x_{1};x_{0}]\) и \([x_{0};x_{2}]\) формулу Тейлора с остатком в форме Лагранжа :
\(f(x)=f(x_{0})+\)\(\frac{{f}^{\prime}(x_{0})}{1!}(x-x_{0})+\) \(\frac{{f}^{\prime\prime}(\xi )}{2!}(x-x_{0})^{2}\), \(\xi \epsilon (x;x_{0})\).

Пусть \(x = x_{1} \Rightarrow\) \(f(x_{1}) = f(x_{0}) + \) \(\frac{{f}^{\prime}(x_{0})}{1!}(x_{1}-\)\(x_{0}) + \)
\(\frac{{f}^{\prime\prime}(\xi_{1} )}{2!}(x_{1}-x_{0})^{2}\), \(\xi_{1} \epsilon (x_{1};x_{0})\). Поскольку \(x_{1} = x_{0} — h \Rightarrow\) \(f(x_{0} — h) = f(x_{0}) + \)\(\frac{{f}^{\prime}(x_{0})}{1!}(-h) + \)\(\frac{{f}^{\prime\prime}(\xi_{1} )}{2!}(-h)^{2}\)(*).

Пусть \(x=x_{2}\) \(\Rightarrow\) \(f(x_{2})=f(x_{0})+\) \(\frac{{f}^{\prime}(x_{0})}{1!}(x_{2}-x_{0})+\)
\(\frac{{f}^{\prime\prime}(\xi_{2} )}{2!}(x_{2}-x_{0})^{2}\), \(\xi_{2} \epsilon (x_{0};x_{2})\). Поскольку \(x_{2} = x_{0}+h \Rightarrow\) \( f(x_{0}+h) = f(x_{0}) + \) \(\frac{{f}^{\prime}(x_{0})}{1!}h + \) \(\frac{{f}^{\prime\prime}(\xi_{2} )}{2!}(h)^{2}\)(**).

Суммируем полученные выражения (*) и (**), получим: \(f(x_{1}) + \) \(f(x_{2})=2f(x_{0}) + \frac{h^{2}}{2}({f}^{\prime\prime}(\xi_{1}) + \) \({f}^{\prime\prime}(\xi _{2}))\), а т.к. по условию \({f}^{\prime\prime}(x)> 0 \Rightarrow\) \( f(x_{1})+f(x_{2})=2f(x_{0})\) \(\Rightarrow\) \(\forall x_{1},x_{2}\epsilon (a;b)\): \( f(\frac{x_{1} +x_{2}}{2})<\)\( \frac{f(x_{1})+f(x_{2})}{2}\) \( \Rightarrow\) функция \(f(x)\) строго выпукла вниз.

Аналогично теорема доказывается для второго случая.

Замечание:

Условие \({f}^{\prime\prime}(x)> 0\)(или \( {f}^{\prime\prime}(x) < 0\)) не является необходимым условием строгой выпуклости вниз (вверх).

Пример:

Рассмотрим функцию \(f(x) = x^{4}\).

Найдем вторую производную данной функции: \({f}^{\prime\prime}(x) = 12x^{2}\), \({f}^{\prime\prime}(x) = 12x^{2} > 0\), \({f}^{\prime\prime}(0) = 0\) \(\Rightarrow\) условие \({f}^{\prime\prime}(x) > 0\) нарушается, поскольку \(f^{\prime\prime}(0) = 0\), однако эта функция строго выпукла вниз.

Список литературы:

• Конспект по математическому анализу (преподаватель Лысенко З.М.);
• Фихненгольц Г.М «Курс дифференциального и интегрального исчисления» (том 1), 5-е издание, глава 4, §2(стр 308).

Выпулость функций

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 4 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4

Информация

Тест по теме «Выпуклость функций».

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 4

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Рубрики

1. Нет рубрики 0%

максимум из 4 баллов

Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 4

   1.

   Впишите правильный ответ:

   • Если вторая производная функции y=f(x)>0 на интервале (a;b), то функция (строго выпукла вниз).
   Правильно
   

   Неправильно
   

   Если вторая производная функции y=f(x)>0 на интервале (a;b), то функция {строго выпукла вниз}.
2. Задание 2 из 4

   2.

   На каком интервале функция $latex y=\sqrt{1-x^{2}}$ является выпуклой вверх?

   • $$(-\infty;+\infty)$$
   • $$[-1;1]$$
   • $$(-\infty;1)$$
   • $$(-1;+\infty)$$
   Правильно
   

   Неправильно
   
3. Задание 3 из 4

   3.

   Функция $latex f(x)$ называется выпуклой вверх на отрезке $latex [a;b]$, если

   • Нет условий.
   • $$ \forall x_{1}, x_{2}\epsilon [a;b]: f(\frac{x_{1}+x_{2}}{2})\geq \frac{f(x_{1})+f(x_{2})}{2}$$
   • $$ \forall x_{1}, x_{2}\epsilon [a;b]: f(\frac{x_{1}+x_{2}}{2})\leq \frac{f(x_{1})+f(x_{2})}{2}$$
   Правильно
   

   Неправильно
   
4. Задание 4 из 4

   4.

   Установите соответствия между графиками функций и видами выпуклости:

   Элементы сортировки

   • $$Выпукла\, вниз\, на\, интервале\, (-\infty;+\infty)$$
   • $$Выпукла\, вниз\, на\, интервале\, (\pi ;2\pi )\, и\,выпукла\, вверх$$$$ на\, интервале\, (0;\pi )$$
   • $$При\, x> 0\, выпукла\, вверх\, а\, при\, x< 0\, выпукла\, вниз.$$
   • Всюду выпукла вниз.

   • $$y=x^{2}$$

   • $$y=\sin x$$

   • $$y=x^{3}$$

   • $$y=e^{x}$$

   Правильно
   

   Неправильно
   

Бином Ньютона — формула, представляющая выражение $latex (a+b)^{n}$ при $latex n>0$  в виде:

$latex (a+b)^{n}=a^{n}+C_{n}^{1}a^{n-1}b+C_{n}^{2}a^{n-2}b^{2}+ $

$latex C_{n}^{3}a^{n-3}b^{3}+\cdots+C_{n}^{n-1}ab^{n-1}+b^{n}$,

где $latex C_{a}^{b}$ — число сочетаний из $latex a$ элементов по $latex b$ элементов.

$latex C_{n}^{k}=\frac {n!}{k!(n-k)!}$.

Докажем верность данного утверждения:

$latex \square$ Доказательство методом математической индукции.

$latex 1)$ Для $latex n= 1 $ :

$latex a+b=C_{1}^{0}a^{1-0}b^{0}+C_{1}^{1}a^{1-1}b^{1}= $

$latex a*1+b*1=a+b.$

Для $latex n=1$ утверждение выполняется.

$latex 2)$ Предположим, что утверждение выполняется для $latex n=k$.

$latex (a+b)^{k}=C_{k}^{0}a^{k-0}b^{0}+C_{k}^{1}a^{k-1}b^{1}+ $

$latex C_{k}^{2}a^{k-2}b^{2}+\cdots+C_{k}^{k-1}a^{1}b^{k-1}+C_{k}^{k}a^{0}b^{k}=$

$latex a^{k}+C_{k}^{1}a^{k-1}b+C_{k}^{2}a^{k-2}b^{2}+\cdots+$

$latex C_{k}^{k-1}a^{1}b^{k-1}+b^{k}=\sum\limits_{i=0}^{k}C_{k}^{i}a^{k-i}b^{i}.$

$latex 3)$ Докажем верность формулы для $latex n=k+1$.

Докажем, что $latex (a+b)^{k+1}=\sum\limits_{i=0}^{k+1}C_{k}^{i}a^{k-i+1}b^{i}$.

$latex (a+b)^{k+1}=(a+b)(a+b)^{k}= $

$latex (a+b)\sum\limits_{i=0}^{k}C_{k}^{i}a^{k-i}b^{i}= $

$latex \sum\limits_{i=0}^{k}C_{k}^{i}a^{k-i+1}b^{i}+\sum\limits_{i=0}^{k}C_{k}^{i}a^{k-i}b^{i+1}$

Вынесем слагаемое при $latex i=0$ из первой суммы:

$latex \sum\limits_{i=0}^{k}C_{k}^{i}a^{k-i+1}b^{i} = a^{k+1}+\sum\limits_{i=1}^{k}C_{k}^{i}a^{k-i+1}b^{i}$

Вынесем слагаемое при $latex i=k$ из последней суммы:

$latex \sum\limits_{i=0}^{k}C_{k}^{i}a^{k-i}b^{i+1}= $

$latex b^{k+1} + \sum\limits_{i=0}^{k-1}C_{k}^{i}a^{k-i}b^{i+1}= $

$latex b^{k+1}+\sum\limits_{i=1}^{k}C_{k-1}^{i}a^{k-i+1}b^{i}$

Прибавим данные суммы:

$latex=a^{k+1}+\sum\limits_{i=1}^{k}C_{k}^{i}a^{k-i+1}b^{i}+ $

$latex b^{k+1}+\sum\limits_{i=1}^{k}C_{k-1}^{i}a^{k-i+1}b^{i}=$

$latex =a^{k+1}+b^{k+1}+ $

$latex \sum\limits_{i=1}^{k}(C_{k}^{i}+C_{k}^{i-1})a^{k-i+1}b^{i}=$

$latex =\sum\limits_{i=0}^{0}C_{k+1}^{i}a^{k-i+1}b^{i}+$

$latex \sum\limits_{i=k+1}^{k+1}C_{k+1}^{i}a^{k-i+1}b^{i}+$

$latex \sum\limits_{i=1}^{k}C_{k+1}^{i}a^{k-i+1}b^{i}=$

$latex =\sum\limits_{i=0}^{k+1}C_{k+1}^{i}a^{k-i+1}b^{i}$ $latex \blacksquare$

Также с помощью бинома Ньютона строится треугольник Паскаля, в котором числа в строке обозначают коэффициенты при соответствующих степенях:

Примеры:

$latex 1)$ $latex (a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+\frac{3!}{1!*2!}ab^{2}+b{3}= $

       $latex a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}.$

$latex 2)$ $latex (a+b+c)^{4}=?$

$latex (a+b+c)^{4}=(a+(b+c))^{4}= $

$latex a^{4}+a^{3}(b+c)\frac{4!}{3!}+a^{2}(b+c)^{2}\frac{4!}{2!2}+ $

$latex a(b+c)^{3}\frac{4!}{3!}+(b+c)^{4}= $

$latex a^{4}+a^{3}b\frac{4!}{3!}+a^{3}c\frac{4!}{3!}+a^{2}b^{2}\frac{4!}{2!2!}+2a^{2}bc\frac{4!}{2!}+ $

$latex a^{2}c^{2}\frac{4!}{2!2!}+ab^{3}\frac{4!}{3!}+3ab^{2}c\frac{4!}{1*2*3}+$

$latex +3abc^{2}\frac{4!}{1*2*3}+ac^{3}\frac{4!}{3!}+ $

$latex b^{4}+b^{3}c\frac{4!}{3!}+b^{2}c^{2}\frac{4!}{2!2!}+bc^{3}\frac{4!}{3!}+c^{4}=$

$latex =a^{4}+b^{4}+c^{4}+4(a^{3}b+a^{3}c+b^{3}c)+ $

$latex 6(a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2})+4(b^{3}a+c^{3}a+ c^{3}b)+ $

$latex 12(a^{2}bc+b^{2}ac+c^{2}ab).$

Список литературы:

• Лысенко З.М. Конспект лекций по курсу математического анализа.
• В.И.Коляда, А.А.Кореновский «Курс лекций по мат.анализу, часть 1» (Одесса «Астропринт» , 2009г.), стр.5.

Тест "Бином Ньютона"

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 3 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3

Информация

Тестовые вопросы по вышеизложенной теме.

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 3

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Средний результат
Ваш результат

Рубрики

1. Нет рубрики 0%

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

1. 1
2. 2
3. 3

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 3

   1.

   Количество баллов: 1

   Доказательство Бинома Ньютона проводится методом:

   • математической индукции
   • дедукции
   • от противного
   • приведение к определению
   Правильно
   

   Неправильно
   
2. Задание 2 из 3

   2.

   Количество баллов: 1

   С помощью Бинома Ньютона можно преобразовать выражения:

   • $$ a!b! $$
   • $$ \sum_{i=0}^{7}C_{n}^{k}a^{n-k}b^{k} $$
   • $$ (a+b)^{11} $$
   • $$ f(x)' $$
   Правильно
   

   Неправильно
   
3. Задание 3 из 3

   3.

   Количество баллов: 1

   Укажите формулу для сочетаний из n элементов по k

   • $$ (n+k)/2 $$
   • $$ n*k! $$
   • $$ \frac{n!}{k!(n-k)!} $$
   • $$ \frac{n!}{k!(n-k+i)!} $$
   Правильно
   

   Неправильно
   

 Определения:

Функция $latex=f$ определённая на $latex (a;b)$ называется выпуклой вверх, если :
$latex \forall x_{1}, x_{2} \epsilon (a;b)$, $latex \forall \alpha \epsilon (a,b) \Rightarrow f((1-\alpha)x_{1}+\alpha x_{2})\geq f((1-\alpha)x_{1})+\alpha f(x_{2})$ .

Функция $latex=f$ определённая на $latex (a,b)$ называется выпуклой вниз, если :
$latex \forall x_{1}, x_{2} \epsilon (a;b)$, $latex \forall \alpha \epsilon (a,b) \Rightarrow f((1-\alpha)x_{1}+\alpha x_{2})\leq f((1-\alpha)x_{1})+\alpha f(x_{2})$.

Функция $latex=f$ определённая на $latex (a,b)$ называется строго выпуклой вверх, если:
$latex \forall x_{1}, x_{2} \epsilon (a;b)$,$latex \forall \alpha \epsilon (a,b) \Rightarrow f((1-\alpha)x_{1}+\alpha x_{2}) > f((1-\alpha)x_{1})+\alpha f(x_{2})$

Функция $latex=f$ определённая на $latex (a,b)$ называется строго выпуклой вниз, если:
$latex \forall x_{1}, x_{2} \epsilon (a;b)$,$latex \forall \alpha \epsilon (a,b) \Rightarrow f((1-\alpha)x_{1}+\alpha x_{2}) < f((1-\alpha)x_{1})+\alpha f(x_{2})$

Замечание:

Понятие выпуклой функции было введено Иенсеном (J.L.W.V.Jensen), который исходил, однако, из более частного соотношения,а именно:
$latex f(\frac{x_{1}+x_{2}}{2})\geq (\leq) \frac{f(x_{1})+f(x_{2})}{2}$
В  случае если функция непрерывна это определение равносильно данным ранее.

 Пример:

Рассмотрим непрерывную функцию $latex f(x)=-(x-4)^{2}+4$ :

Возьмём точки $latex \left \{ 2,4,6 \right \}$ : $latex f(\frac{2+6}{2})\geq \frac{f(2)+f(6)}{2}$, т.е $latex 4 \geq 0$ $latex \Rightarrow$ функция выпукла вверх.

Геометрическая интерпретация :

Условие $latex f(\frac{x_{1}+x_{2}}{2})\geq \frac{f(x_{1}+f(x_{2})}{2}$ означает, что $latex \forall M_{1}, M_{2}$ графика функции $latex f(x)$ середина хорды лежит ниже, либо совпадает с точкой $latex M_{0}=f(\frac{x_{1}+x_{2}}{2})$.

Это можно продемонстрировать на примере функции $latex f(x)=-(x-4)^{2}+4$ :

Список литературы:

• Конспект по математическому анализу (преподаватель Лысенко З.М.);
• Фихтенгольц Г.М «Курс дифференциального и интегрального исчисления» (том 1), 5-е издание, глава 4, §2(стр 294)

Перед тем как рассматривать теорему, давайте вспомним, что такое монотонная функция и нарисуем  её график.

Функция [latex]f(x)[/latex] называется монотонно возрастающей на отрезке [latex][a;b][/latex], если [latex]\forall x_{1}, x_{2}\in[a;b],x_{1}>[/latex] [latex]x_{2}\Rightarrow f(x_{1})\geq f(x_{2})[/latex]

Функция [latex]f(x)[/latex] называется монотонно убывающей на отрезке [latex][a;b][/latex], если [latex]\forall x_{1}, x_{2}\in [a;b] ,x_{1}>[/latex] [latex] x_{2}\Rightarrow f(x_{1})\leq f(x_{2})[/latex]

Функция [latex]f(x)[/latex] называется строго монотонно убывающей на отрезке [latex][a;b][/latex], если [latex]\forall x_{1}, x_{2}\in [a;b],x_{1}>[/latex][latex]x_{2}\Rightarrow f(x_{1})<f(x_{2})[/latex]

Функция [latex]f(x)[/latex] называется строго монотонно возрастающей на отрезке [latex][a;b][/latex], если [latex]\forall x_{1},x_{2}\in[a;b], x_{1}>[/latex][latex]x_{2}\Rightarrow f(x_{1})>f(x_{2})[/latex]

Пример графика монотонно возрастающей функции.

На графике видно, что [latex]\forall x_{1}, x_{2} : x_{1}>x_{2}[/latex], соответствующие значения функции [latex]f(x_{1})\geq f(x_{2})[/latex]

Пример графика монотонно убывающей функции.

На графике видно, что [latex]\forall x_{1},x_{2} : x_{1}>x_{2}[/latex], соответствующие значения функции [latex]f(x_{1})\leq f(x_{2})[/latex]

Теорема о существовании односторонних пределов у монотонных функций

Формулировка:

Если функция [latex]f(x)[/latex] определена и монотонна на отрезке [latex][a;b][/latex], то в каждой точке [latex]x_{0}\in (a;b)[/latex] эта функция имеет конечные пределы слева и справа, а в точках [latex]a[/latex] и [latex]b[/latex] правосторонний и левосторонний пределы.

Доказательство:

Пусть, например, функция [latex]f(x)[/latex] монотонно возрастает на [latex][a;b][/latex]. Выберем произвольную внутреннюю точку [latex]x_{0}\in (a;b][/latex]. Тогда [latex]\forall x\in [a;x_{0})\Rightarrow [/latex][latex]f(x)\leq f(x_{0})\Rightarrow[/latex] [latex]f(x)[/latex] ограничена сверху на [latex][a;x_{0})\Rightarrow[/latex][latex]\exists\sup f(x)=M\leqslant f(x_{0})[/latex].
Согласно определению:
а) [latex]\forall x\in [a;x_{0})\Rightarrow[/latex][latex] f(x) \leqslant M[/latex]
б) [latex]\forall \varepsilon > 0\exists x_{\varepsilon }:[/latex][latex]M-\varepsilon < f(x_{\varepsilon }),[/latex] обозначим [latex]\delta =x_{0}-x_{\varepsilon }>0[/latex].
Если [latex]x\in (x_{\varepsilon };x_{0})=(x_{0-\delta };x_{0})[/latex], то [latex]f(x_{\varepsilon })\leq f(x)[/latex].
Итог: [latex]\forall \varepsilon >0\exists \delta>0:[/latex][latex]\forall x\in (x_{0}-\delta;x_{0}):[/latex][latex]M-\varepsilon <[/latex] [latex]f(x_{\varepsilon }) < f(x)\leq M<[/latex] [latex] M+\varepsilon \Leftrightarrow[/latex][latex] |f(x)-M|< \varepsilon[/latex]
[latex]\lim_{x\rightarrow x_{0-0} } f(x) = M[/latex]
Итак [latex]f(x_{0}-0)= \sup f(x)[/latex], [latex]a\leqslant x<x_{0} [/latex].
Аналогично доказываем, что функция имеет в точке [latex]x_{0}\in [a;b)[/latex] предел справа причем [latex]f(x_{0}+0)=\inf f(x)[/latex], [latex]x_{0}<x\leqslant b[/latex].
Следствие. Если функция [latex]f[/latex] определена и монотонна на интервале [latex](a;b)[/latex], [latex]\forall\ x_{0}\in (a;b)\exists \[/latex] предел справа и слева, причем если [latex]f[/latex] возрастает, то
[latex]f(x_{0}-0)=\lim\limits_{x\to x_{0}-0} f(x)[/latex] [latex] \leq\lim\limits_{x\to x_{0}+0} f(x)=[/latex][latex]f(x_{0}+0)[/latex],
если убывает, то
[latex]f(x_{0}-0)=\lim\limits_{x\to x_{0}-0} f(x)[/latex] [latex] \geq\lim\limits_{x\to x_{0}+0} f(x)=[/latex][latex]f(x_{0}+0)[/latex].

Литература

• Лысенко З.М. Конспект лекций по математическому анализу. Тема «Предел функции»
• Вартанян Г. М. Конспект лекций по математическому анализу.
• Г.М. Фихтенгольц Курс дифференциального и интегрального исчисления. Глава 2. Функции одной переменной. 2.57. Предел монотонной функции. (с.133-134)

Тест

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 2 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2

Информация

Тест по теме Пределы монотонных функций.

Желаем удачи!

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 2

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Средний результат
Ваш результат

Рубрики

1. Математический анализ 0%

• Спасибо Вам за прохождение данного теста, надеюсь вы узнали для себя что-нибудь новое!

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

максимум из 10 баллов

Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

1. 1
2. 2

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 2

   1.

   Количество баллов: 5

   Дать определение строго монотонно возрастающей функции на отрезке [latex] [a;b] [/latex]

   • $$ \forall x, y\in [a;b],x>y\Rightarrow f(x)\geq f(y)$$
   • $$ \forall x, y\in [a;b],x>y\Rightarrow f(x)> f(y) $$
   • $$ \forall x, y\in [a;b],x>y\Rightarrow f(x)\leq f(y) $$
   • $$ \forall x, y\in [a;b],x>y\Rightarrow f(x)< f(y) $$
   Правильно
   

   Неправильно
   
2. Задание 2 из 2

   2.

   Количество баллов: 5

   Вставьте пропущенные слова.
   
   $$Если~ функция ~ f(x) ~определена ~и~ монотонна~ на ~отрезке ~ [a;b],$$
   $$~то~ в ~каждой~ точке ~x ~ из ~ (a;b)$$
   $$ эта~ функция~ имеет ~конечные ~пределы ~слева~ и~ справа,~а ~в ~точках~ a~ и~ b$$

   • (правосторонний) и (левосторонний) пределы.
   Правильно
   

   Неправильно
   

1. Единственность предела функции

Как мы говорили с Вами в прошлой статье, единственность предела следует из определения предела функции по Гейне. Однако давайте сформулируем и докажем теорему о единственности предела.

Теорема о единственности предела

Формулировка:

Если функция [latex]f(x)[/latex] в точке [latex]a[/latex] имеет предел, то этот предел единственный.

Доказательство:

Докажем методом от противного. Предположим, что [latex]\lim\limits_{x\rightarrow a } f(x) = b[/latex], [latex]\lim\limits_{x\rightarrow a } f(x) = c[/latex], [latex]b \neq c[/latex]. Возьмём [latex]\varepsilon = \frac{|b-c|}{2}[/latex], по определению и свойству окрестности найдётся такая проколотая  
[latex]\delta[/latex]-окрестность точки [latex]a[/latex] ([latex]\dot{U}_{\delta }(a)[/latex]), в которой одновременно будут выполнятся неравенства [latex]|f(x)-b|<\frac{|b-c|}{2}[/latex], [latex]|f(x)-c|<\frac{|b-c|}{2}[/latex] , тогда в точках этой же окрестности [latex]|b-c|=[/latex][latex]|(b-f(x))+[/latex][latex](f(x)-c)| \leq[/latex][latex] |f(x)-b|+[/latex][latex]|f(x)-c|<[/latex][latex] \frac{|b-c|}{2}+[/latex][latex]\frac{|b-c|}{2}=[/latex][latex]|b-c|.[/latex] Получили противоречие [latex]|b-c| < |b-c|[/latex]. Отсюда, функция [latex]f(x)[/latex] в точке [latex]a[/latex] имеет единственный предел.

2. Локальная ограниченность функции, имеющей предел

Теорема о локальной ограниченности функции, имеющей предел

Формулировка:

Если предел функции [latex]f(x)[/latex] при [latex]x\rightarrow a[/latex] равняется [latex]A[/latex], то найдётся окрестность точки [latex]a[/latex], во всех точках которой функция [latex]f(x)[/latex] ограничена.

Доказательство:

Из определения предела по Коши получим: [latex]\forall \varepsilon >0[/latex] [latex] \exists \delta=\delta(\varepsilon) >0:[/latex][latex]\forall x\in \dot{U}_{\delta }(a)\Rightarrow |f(x)-A|<\varepsilon.[/latex] Возьмём [latex]\varepsilon =1[/latex]. Из условия теоремы следует существование окрестности [latex]\dot{U}_{\delta }(a)[/latex]. Следовательно, [latex]|f(x)-A|<1[/latex]. Перепишем это следующим образом:[latex]A-1<f(x)<A+1[/latex]. Легко видеть, что это и означает ограниченность функции [latex]f(x)[/latex].

 Литература

• Лысенко З.М. Конспект лекций по математическому анализу. Тема «Предел функции»
• Г.М. Фихтенгольц Курс дифференциального и интегрального исчисления. Глава 2. Функции одной переменной. 2.52. Определение предела функции. (с. 115-117)

Тест

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 3 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3

Информация

Тест по теме Единственность предела, локальная ограниченность функции, имеющей предел.

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 3

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Средний результат
Ваш результат

Рубрики

1. Математический анализ 0%

• Спасибо Вам за прохождение данного теста, надеюсь вы узнали для себя что-нибудь новое!

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

максимум из 17 баллов

Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

1. 1
2. 2
3. 3

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 3

   1.

   Количество баллов: 5

   Если предел функции $$ f(x) $$ при $$ x\rightarrow a $$ равняется $$ A, $$ то найдётся окрестность точки $$ a, $$ во всех точках которой функция $$ f(x) $$
   Правильно
   

   Неправильно
   
2. Задание 2 из 3

   2.

   Количество баллов: 5

   Последовательность действий при доказательстве теоремы о единственности предела.

   • Предположим, что $$ \lim_{x\rightarrow a } f(x) = b, \lim_{x\rightarrow a } f(x) = c, b \neq c $$
   • Возьмём $$ \varepsilon = \frac{|b-c|}{2} $$
   • Тогда будут выполняться неравенства: $$ |f(x)-b|<\frac{|b-c|}{2}, |f(x)-c|<\frac{|b-c|}{2} $$
   • Тогда $$ |b-c| = |(b-f(x))+(f(x)-c)|\leq$$ $$ \leq|f(x)-b|+|f(x)-c|<\frac{|b-c|}{2}+\frac{|b-c|}{2}=$$ $$=|b-c| $$
   Правильно
   

   Неправильно
   
3. Задание 3 из 3

   3.

   Количество баллов: 7

   Если существует некоторая окрестность точки [latex]a,[/latex] во всех точках которой функция [latex]f(x)[/latex] ограничена, обязательно ли существует предел функции [latex]f(x)[/latex] при [latex]x \rightarrow a [/latex] и притом конечный?
   Правильно
   

   Неправильно
   

   Подсказка

   Введите «да» или «нет».