Определение. Метод Гаусса — метод решения системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Он заключается в решении системы уравнений, приведением её к ступенчатому виду, путем исключения неизвестных. В отличии от метода Крамера и матричного метода, метод немецкого математика подходит для системы уравнений с бесконечным количеством решений.

Метод Гаусса построен на элементарных преобразованиях СЛАУ.

Определение. Элементарные преобразования системы линейных уравнений это операции, с помощью которых получаем линейно эквивалентную исходной систему уравнений. Такие как: умножение уравнений на отличное от нуля число, перестановку уравнений местами и прибавление к одному уравнению другое.

Определение. Две системы называются эквивалентными, если уравнения одной системы являются линейной комбинацией уравнений другой. Также они имеют одинаковые решения или обе решений не имеют.

Алгоритм решения методом Гаусса заключается в следующих действиях:

1. Прямой ход. Допустим, нам дана СЛАУ из $k$ уравнений с $n$ неизвестными $$\begin{equation}\left\{\begin{aligned}
   a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3+\ldots+a_{1n}x_{n}=b_1,\\
   a_{21}x_1+a_{22}x_2+a_{23}x_3+\ldots+a_{2n}x_{n}=b_2,\\
   a_{31}x_1+a_{32}x_2+a_{33}x_3+\ldots+a_{3n}x_{n}=b_3,\\
   \cdots\qquad\cdots\qquad\cdots\qquad\cdots\qquad\cdots\qquad\\
   a_{k1}x_1+a_{k2}x_2+a_{k3}x_3+\ldots+a_{kn}x_n=b_k.\\
   \end{aligned}\right.
   \end{equation}$$ Сначала исключим неизвестное $x_1$ из уравнений ниже первого. Предположим $a_{11} \ne 0$ (в обратном случае — можно записать первым уравнение с коэффициентом при $x_1$, отличным от нуля). Теперь умножим обе части первого уравнения системы на $\frac{a_{21}}{a_{11}}$ и вычтем его из второго уравнения, затем обе части первого уравнения умножим на $\frac{a_{31}}{a_{11}}$ и вычтем из третьего и так пока не исключим во всех уравнениях ниже первого переменную $x_1$ (то есть пока коэффициенты при $x_1$ не будут равны нулю). Получаем эквивалентную системе (1) систему: $$\begin{equation}\left\{\begin{aligned}
   a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3+\ldots+a_{1n}x_{n}=b_1,\\
   \bar a_{22}x_2+\bar a_{23}x_3+\ldots+\bar a_{2n}x_{n}=\bar b_2,\\
   \bar a_{32}x_2+\bar a_{33}x_3+\ldots+\bar a_{3n}x_{n}=\bar b_3,\\
   \cdots\qquad\cdots\qquad\cdots\qquad\cdots\qquad\\
   \bar a_{k2}x_2+\bar a_{k3}x_3+\ldots+\bar a_{kn}x_n=\bar b_k.\\
   \end{aligned}\right.
   \end{equation}$$ Далее делаем аналогичные действия со СЛАУ (2) (исключаем неизвестное $x_2$), но с уравнениями ниже второго при $a_{22} \ne 0$. Получим следующую эквивалентную системе (2) (значит и системе (1)) систему: $$\begin{equation}\left\{\begin{aligned}
   a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3+\ldots+a_{1n}x_{n}=b_1,\\
   \bar a_{22}x_2+\bar a_{23}x_3+\ldots+\bar a_{2n}x_{n}=\bar b_2,\\
   \tilde a_{33}x_3+\ldots+\tilde a_{3n}x_{n}=\tilde b_3,\\
   \cdots\qquad\cdots\qquad\cdots\qquad\\
   \tilde a_{k3}x_3+\ldots+\tilde a_{kn}x_n=\tilde b_k.\\
   \end{aligned}\right.
   \end{equation}$$ Все эти действия нужно сделать, пока не получим систему ступенчатого вида.
2. Обратный ход. Второй этап решения системы уравнений заключается в решении полученной нами системы ступенчатого вида. Количество уравнений в преобразованной системе может быть меньше, чем в изначальной. Получаем систему с $t (t\leqslant k)$ уравнениями и $n$ переменными. Выражаем через последнее уравнение неизвестную переменную $x_t$. И через неё выражаем остальные переменные. Получим решение, которое содержит зависимые (слева) и свободные (справа) переменные: $$\begin{equation}\left\{\begin{aligned}
   x_t=c_{tt+1}x_{t+1}+a_{tt+2}x_{t+2}+\ldots+c_{tn}x_{n,}\\
   \cdots\qquad\cdots\qquad\cdots\qquad\cdots\qquad\cdots\qquad\\
   x_3=c_{3t+1}x_{t+1}+a_{3t+2}x_{t+2}+\ldots+c_{3n}x_{n},\\
   x_2=c_{2t+1}x_{t+1}+a_{2t+2}x_{t+2}+\ldots+c_{2n}x_{n},\\
   x_1=c_{1t+1}x_{t+1}+a_{1t+2}x_{t+2}+\ldots+c_{1n}x_{n}.\\
   \end{aligned}\right.
   \end{equation}$$ Для получения решения, в свободные переменные $x_{t+1} \ldots x_n$ мы подставляем произвольные значения в систему уравнений. Из чего находим зависимые переменные $x_1 \ldots x_t$.

Матрицы. Виды матриц

Определение. Прямоугольная таблица, на пересечении строк и столбцов которой находятся элементы поля, называется матрицей.

Нагляднее всего использование подобных таблиц демонстрируется в решении систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), поскольку решение зависит именно от матриц системы. Например, исходная система имеет вид:
$$ \left.\begin{matrix}a_{11}x_{1}+&\ldots& +a_{1n}x_{n} & = &b_{1}\\ \cdot & \cdot &\cdot & \cdot &\cdot\\a_{m1}x_{1}+ &\ldots& +a_{mn}x_{n} & = & b_{m}\end{matrix}\right\}.$$ Как видим, в системе $m$ — количество уравнений, а $n$ — количество неизвестных. Матрицы этой системы выглядят так: $$A=\left(\begin{matrix}a_{11} & \cdots & a_{1n} \\\cdot & \cdot & \cdot\\ a_{m1} & \cdots & a_{mn} \end{matrix}\right),\,B=\left(\begin{matrix}b_{1} \\\vdots \\ b_{m} \end{matrix}\right).$$
Матрица системы вида:
$$A\mid B=\left(\left.\begin{matrix}a_{11} & \cdots & a_{1n} \\\cdot & \cdot & \cdot \\a_{m1} & \cdots &a_{mn}\end{matrix}\right|\begin{matrix}b_{1}\\ \cdot \\ b_{m}\end{matrix}\right),$$
считается расширенной матрицей системы.

Определение. Элементы поля расположенные на пересечении строк и столбцов матрицы называются ее элементами.

Что касается индексации элементов матрицы, сперва записывается номер строки, в которой стоит элемент, а следом номер столбца. Нумерация строк и столбцов матрицы происходит вполне логичным образом: строки нумеруются сверху вниз, а столбцы — слева направо.

Определение. Количество строк и столбцов матрицы называют размерами матрицы.

Множество матриц над полем $P$ размеров $m\times n$ обозначим $M_{m\times n}\left ( P\right ),$ а в случае $m=n$ — $M_{n}\left ( P \right ).$ Традиционно матрицы обозначают большими латинскими буквами. Если надо указать, из каких элементов состоит матрица, то пишут $A=\left (a_{ij}\right )\in M_{m\times n}\left ( P \right ).$

Определение. Матрица, у которой одинаковое количество строк и столбцов, называется квадратной. Размер такой матрицы называют порядком.

Пример$$A=\left(\begin{array}{rrr}2 & -5 & 4 \\3 & 1 & 0 \\ 12 & 7 & 0 \end{array}\right),$$ $A$ — квадратная матрица третьего порядка.

Определение. Совокупность элементов квадратной матрицы, расположенных вдоль диагонали, идущей из левого верхнего угла в правый нижний, называется главной диагональю матрицы, а вторая диагональ — побочной (см. рис.1).

Определение. Матрица $A=\left(
a_{ij}\right )\in M_{n}\left ( P \right )$ называется верхней (нижней) треугольной, если $a_{ij}=0$ для $i>j$ $(i<j).$ Иными словами, верхняя (нижняя) треугольная матрица — это матрица, у которой все элементы, расположенные ниже (выше) главной диагонали, равны нулю.

Пример$$A=\left(\begin{matrix}1 & 8 & 1 \\0 & 4 & 7 \\ 0 & 0 & 2 \end{matrix}\right),\;B=\left(\begin{matrix}1 & 0 & 0 \\8 & 4 & 0 \\ 1 & 7 & 2 \end{matrix}\right),$$

$A$ — верхняя треугольная матрица третьего порядка, $B$ — нижняя треугольная матрица третьего порядка.

Определение. Если квадратная матрица является как нижней, так и верхней треугольной, то она называется диагональной. Иными словами, диагональная матрица — это матрица, у которой все элементы вне главной диагонали равны нулю.

Пример$$A=\left(\begin{matrix}1 & 0 & 0 \\0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{matrix}\right),$$

$A$ — диагональная матрица третьего порядка.

Определение. Диагональная матрица, у которой все элементы главной диагонали равны между собой, называется скалярной.

Пример$$A=\left(\begin{matrix}8 & 0 & 0 \\0 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 8 \end{matrix}\right),$$

$A$ — скалярная матрица третьего порядка.

Определение. Скалярная матрица, у которой диагональные элементы равны единице поля, называется единичной.

Пример$$A=\left(\begin{matrix}1 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}\right),$$

$A$ — единичная матрица третьего порядка.

Определение. Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой.

Пример$$A=\left(\begin{matrix}0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right),$$

$A$ — нулевая матрица третьего порядка.

Определение. Матрица вида $$A=\left(\begin{matrix}A_{1}&& 0 \\ &\ddots & \\ 0 & &A_{s} \end{matrix}\right),$$ где $A_{1}…A_{s}$ — квадратные матрицы (блоки) произвольных порядков, расположенные таким образом, что их главные диагонали составляют главную диагональ матрицы $A,$ а остальные элементы, не входящие в блоки равны нулю, называется клеточнодиагональной или квазидиагональной.

Пример$$A=\left(\begin{matrix}2&5&0&0&0&0\\6&3&0&0&0&0\\0&0&1&4&5&0\\0&0&2&2&3&0\\0&0&9&1&7&0\\0&0&0&0&0&4\end{matrix}\right),$$

$A$ — клеточнодиагональная (квазидиагональная) матрица шестого порядка.

Равенство матриц. Операции над матрицами

Равенство матриц

Определение. Две матрицы одинаковых размеров называются равными, если совпадают их элементы с одинаковыми индексами.

Замечание. Для матриц $A=\left (a_{ij}\right ),$ $B=\left (b_{ij}\right )\in M_{m\times n}\left ( P \right )$ равенство $A=B,$ т.е. $\left (a_{ij}\right )=\left (b_{ij}\right )$ означает $a_{ij}=b_{ij}$ для всех $i=\overline{1,\,m}$ и $j=\overline{1,\,n}.$

Пример$$A=\left(\begin{matrix}2&3\\0&1\end{matrix}\right),\;B=\left(\begin{matrix}2&3\\0&1\end{matrix}\right).$$ Порядок матрицы $A$ совпадает с порядком матрицы $B,$ и элементы матриц с соотвествующими индексами равны, поэтому $A=B$.

Сложение матриц

Определение. Пусть заданы матрицы $A=\left(a_{ij}\right ),$ $B=\left(b_{ij}\right )\in M_{m\times n}\left ( P \right ).$ Их суммой называется матрица $C=\left (c_{ij}
\right ) = A+B=\left (a_{ij}\right )+\left (b_{ij}\right )=\left(a_{ij}+b_{ij}\right )\in M_{m\times n}\left ( P \right ).$

Таким образом, можно складывать матрицы одинаковых размеров. При этом получается матрица тех же размеров.

Пример$$A=\left(\begin{array}{rrr}5&-8\\2&0\\1&4\end{array}\right),\,B=\left(\begin{array}{rrr}1&9\\4&3\\-1&-5\end{array}\right),\;A+B-?$$

Умножение на элемент поля

Определение. Пусть задана матрица $A=\left (a_{ij}
\right )\in M_{m\times n}\left ( P \right )$ и элемент поля $\lambda \in P.$ Тогда произведением матрицы $A$ на элемент $\lambda$ называется матрица $$B=\left (b_{ij}\right )=\lambda \cdot A=\lambda \cdot \left (a_{ij}\right )=\left (\lambda \cdot a_{ij}\right )\in M_{m\times n}\left (P \right ).$$

Умножая матрицу произвольных размеров на элемент поля, в результате получаем матрицу тех же размеров, каждый элемент которой равен произведению соответствующего элемента исходной матрицы на элемент поля.

Пример$$A=\left(\begin{array}{rrr}0 & -1 & 8 \\4 & 1/2 & 2 \\ -6 & 0 & 3 \end{array}\right),\;-\frac{1}{2}\cdot A-?$$

Отметим простейшие свойства операции умножения на элемент поля. Именно:

1. $1\cdot A=A,\;$ $\forall A\in M_{m\times n}\left ( P \right );$
2. $\lambda \cdot \left ( \mu \cdot A \right )=\left ( \lambda \mu \right )\cdot A=\left ( \mu \lambda \right ) \cdot A,\;$ $\forall \lambda ,\mu \in P,$ $\forall A\in M_{m\times n}\left ( P\right );$
3. $\left ( \lambda +\mu \right )\cdot A=\lambda \cdot A+\mu \cdot A,$ $\forall \lambda ,\mu \in P,\;$ $\forall A\in M_{m\times n}\left ( P\right );$
4. $\lambda \cdot \left ( A+B \right )=\lambda \cdot A+\lambda \cdot B,$ $\forall \lambda \in P,\,$ $\forall A,B\in M_{m\times n}\left ( P \right ).$

Умножение матриц

Определение. Пусть заданы матрицы $A=\left (a_{ij}\right )\in M_{m\times n}\left ( P \right ),$ $B=\left (b_{ij}\right )\in M_{n\times s}\left ( P \right ).$ Произведением матрицы $А$ на матрицу $В$ называется матрица $C=A\cdot B,\,$ $C=\left (c_{ij}\right )\in M_{m\times s}\left ( P \right )$ такая, что $c_{ij}=\sum\limits_{k=1}^{n}a_{ik}\cdot b_{kj}$ для всех $i=\overline{1,\,m}$ и $j=\overline{1,\,s}.$

Из операций над матрицами умножение считается самой трудной. Рассмотрим эту операцию подробнее. На рис.2 используем вторую строку первой матрицы и третий столбец второй матрицы. $$1\cdot 2+2\cdot 2+0\cdot 5=6.$$ Получившийся элемент стоит в строке и столбце с теми же номерами (вторая строка, третий столбец).

Аналогично находятся другие элементы. На рис.3 используем первую строку матрицы слева и четвертый столбец матрицы справа.$$2\cdot 3+3\cdot 2+4\cdot 1=16.$$ Как видим, получившийся элемент стоит в строке и столбце с соответствующими номерами.

Пример$$A=\left(\begin{matrix}1 & 4 & 7 \\2 & 0 & 2\end{matrix}\right),\;B=\left(\begin{matrix}6 & 1 & 1\\7 & 3 & 2\\1&5&4\end{matrix}\right),\;A\cdot B-?$$

Легко заметить, что не любые матрицы можно перемножить. Требуется, чтобы число столбцов матрицы слева совпадало с количеством строк матрицы справа. Кроме того, если существуют оба произведения $A\cdot B$ и $B\cdot A,$ то, произведение $A\cdot B,$ вообще говоря, не равно произведению $B\cdot A,$ то есть операция умножения матриц не является коммутативной. Это объясняется несимметричностью использования строк и столбцов левого и правого сомножителей. Однако умножение матриц обладает свойством ассоциативности.

Примеры задач

Пример 1. Даны матрицы $A$, $B$ и $C$. Найти матрицу $D=-2\cdot A\cdot B\cdot E+C,\;$ $E$ — единичная матрица соответствующего порядка. $$A=\left(\begin{matrix}-2 & -3 & -5 \\-1 & -2 & -8\\ -4& -6 & -1\end{matrix}\right),\;B=\left(\begin{matrix}2 & 1 & 10\\7 & 3 & 3\\1&5&4\end{matrix}\right),\;C=\left(\begin{matrix}21 & 42 & 4\\-6 & 12 & 9\\14&10&1\end{matrix}\right).$$

Пример 2. Дана матрица $A$. Найти $A^{3},$ $$A=\left(\begin{matrix}2 & 3 & 7 \\1 & 1 & 13\\ 0& 4 & 8\end{matrix}\right).$$

Литература

1. Белозеров Г.С. Конспект лекций по линейной алгебре.
2. Воеводин В.В. Линейная алгебра. М.: Наука, 1980.-400 с., стр. 194-197
3. Фадеев Д.К. Лекции по алгебре. М.: Наука, 1984.-416 с., стр. 72-80
4. Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. М.: Наука, 1984.-384 с., стр. 112-115

Замечание 1. Существование обратной матрицы следует из теоремы о полной линейной группе квадратных невырожденных матриц. А именно, обратная матрица — это обратный (симметрический) элемент группы.

Определение. Пусть дана матрица $A \in M_{n}\left (P\right ).$ Тогда матрица $A^{-1}\in M_{n}\left (P\right )$ называется правой обратной к матрице $A$, если выполнено условие: $$AA^{-1}=E.$$

Определение. Пусть дана матрица $A \in M_{n}\left (P\right ).$ Тогда матрица $A^{-1}\in M_{n}\left (P\right )$ называется левой обратной к матрице $A$, если выполнено условие: $$A^{-1}A=E.$$

Определение. Пусть дана матрица $A \in M_{n}\left (P\right ).$ Тогда матрица $A^{-1}\in M_{n}\left (P\right )$ называется обратной к матрице $A$, если выполнено условие: $$AA^{-1}=A^{-1}A=E,$$ то есть она одновременно левая и правая обратная.

Замечание 2. Стоит заметить, что поле $P$ — это любое числовое поле.

Замечание 3. Матрицы $A$ и $A^{-1}$ называются взаимно обратными. Матрица $A$ называется обратимой.

Обратимость вырожденной матрицы. Пусть дана вырожденная матрица $A \in M_{n}\left (P\right ).$ Ввиду некоммутативности умножения матриц, будем говорить о правой обратной матрице, то есть $$AA^{-1}=E.$$ Так как матрица $A$ вырожденная, то при условии существования $A^{-1}\in M_{n}\left (P\right )$, по одному из свойств умножения матриц получаем, $\det \left ( AA^{-1} \right )= \det A \det A^{-1}=0\neq 1=\det E$, где $E$ — единичная матрица . Таким образом, вырожденная матрица не может иметь правой обратной. По тем же соображениям, вырожденная матрица не может иметь и левой обратной. Поэтому для вырожденной матрицы обратной не существует.

Обратимость невырожденной матрицы. Пусть дана $A \in M_{n}^{0}\left (P\right )$ и имеет вид: $$A =\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\end{pmatrix}.$$ Введем вспомогательно понятие: присоединенная матрица $\widetilde{A}\in M_{n}\left (P\right )$ такая, что $\widetilde{A}=\begin{Vmatrix}A_{ij}\end{Vmatrix}$, где $A_{ij}$ — это алгебраические дополнения к элементу $a_{ij}$ матрицы $A$, $i=\overline{1, n}$ и $j=\overline{1, n}.$ Тогда $$\widetilde{A} = \begin{pmatrix}A_{11} & A_{12} & \cdots & A_{1n}\\ A_{21} & A_{22} & \cdots & A_{2n}\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ A_{n1} & A_{n2} & \cdots & A_{nn}\end{pmatrix}.$$ Найдем произведение $A\left ( \widetilde{A} \right )^{T}$ и $\left ( \widetilde{A} \right )^{T}A$, используя теорему о разложении определителя по строке или столбцу и теорему Лапласа. Получаем $$A\left ( \widetilde{A} \right )^{T}=\left ( \widetilde{A} \right )^{T}A=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}A_{11} & A_{21} & \cdots & A_{n1}\\ A_{12} & A_{22} & \cdots & A_{n2}\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ A_{1n} & A_{2n} & \cdots & A_{nn}\end{pmatrix}=$$$$=\begin{pmatrix}A_{11} & A_{21} & \cdots & A_{n1}\\ A_{12} & A_{22} & \cdots & A_{n2}\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ A_{1n} & A_{2n} & \cdots &A_{nn}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\end{pmatrix}=$$$$=\det A\cdot E=\begin{pmatrix}\det A & 0 & \cdots & 0\\ 0 & \det A & \cdots & 0\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 0 & 0 & \cdots & \det A\end{pmatrix}.$$ На местах элементов главной диагонали оказываются суммы произведений элементов строки на их алгебраические дополнения, то есть $\det A$. Остальные элементы равны нулю, по теореме о «чужих» дополнениях, в связи с тем, что на их местах оказываются суммы произведений элементов строки на алгебраические дополнения другой строки. Тогда можно заключить, что обратной к матрице $A$ будет служить матрица, полученная из присоединенной матрицы $\widetilde{A}$ путем ее транспонирования и деления всех элементов на $\det A$, из чего следует алгоритм построения обратной матрицы. Тогда $\displaystyle A^{-1}=\frac{1}{\det A}\left ( \widetilde{A} \right )^{T}$ и $AA^{-1}=A^{-1}A = E.$

Замечание 4. Из теоремы об умножении определителей получаем, что $$\det A^{-1}=\frac{1}{\det A}.$$ И тут мы можем увидеть тот факт, что матрица обратная к невырожденной также невырождена.$$\det A \neq 0\Rightarrow\frac{1}{\det A}\neq 0.$$