Определение. Векторы $a$ и $b$ называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю.$$\left(a, b\right)=0.$$
Определение. Системы $S_{1} = \langle a_{1},a_{2},…,a_{n}\rangle,$ и $S_{2} = \langle b_{1},b_{2},…,b_{n}\rangle,$ называются эквивалентными, когда векторы каждой из систем, линейно выражаются через векторы, другой системы.
Теорема. Допустим, у нас есть линейно независимая система $S = \langle a_{1},a_{2},\ldots,a_{n}\rangle.$ Тогда всегда найдется такая система $S_{орт} = \langle b_{1},b_{2},…,b_{n}\rangle,$ которая будет эквивалентной и ортогональной к $S,$ которая получается следующим методом:
- $b_{1} = a_{1},$
- $b_{j} = a_{j} + \sum\limits_{i=1}^{j-1}\lambda_{ji}b_{i},\: 2\leqslant j\leqslant k,$ при $\lambda_{ji}=-\dfrac{\left(a_{j}, b_{i}\right)}{\left(b_{i}, b_{i}\right)}.$
Докажем же существование $S_{орт}$ эквивалентной $S$ с помощью индукции. При $k = 1$ $$b_{1} = a_{1}.$$ При $k = 2$ $$\left(b_{2}, b_{1}\right) = \left(a_{2} + \lambda_{21}b_{1}, b_{1}\right) = \left(a_{2}, b_{1}\right) + \lambda_{21}\left(b_{1}, b_{1}\right) =$$$$= \left(a_{2}, b_{1}\right)-\dfrac{\left(a_{2}, b_{1}\right)}{\left(b_{2}, b_{1}\right)}\left(b_{1}, b_{1}\right) = 0.$$ Из чего очевидно, что $S = \langle a_{1},a_{2}\rangle$ и $S_{1} = \langle b_{1},b_{2}\rangle$ — эквивалентны.
Теперь докажем для $k = m,$ при $2\leqslant j\leqslant k$ $$\left(b_{m}, b_{i}\right) = \left(a_{m} + \sum\limits_{i=1}^{m}\lambda_{mi}b_{i}, b_{i}\right) = \left(a_{m}, b_{i}\right) + \sum\limits_{i=1}^{m}\lambda_{mi}\left(b_{i}, b_{i}\right) =$$$$= \left(a_{m}, b_{i}\right)-\sum\limits_{i=1}^{m}\dfrac{\left(a_{m}, b_{i}\right)}{\left(b_{i}, b_{i}\right)}\left(b_{i}, b_{i}\right) = 0.$$ Как видим, по индукции мы доказали, что любой ЛНЗ системе, методом Грама-Шмидта, можно найти эквивалентную ей ортогональную систему.
Примеры решения задач
Рассмотрим примеры задач, в которых может использоваться процесс ортогонализации Грама-Шмидта. Постарайтесь решить данные примеры самостоятельно, а затем сверить свое решение с приведенным.
- Применяя процесс ортогонализации по Грамму-Шмидту построить ортогональный базис подпространства, натянутого на данную систему векторов $S = \langle a_{1}, a_{2}, a_{3}\rangle.$
$$a_{1} = (1, 2, 2, -1), a_{2} = (1, 1, -5, 3), a_{3} = (3, 2, 8, -7).$$Решение
Первым делом, найдем $b_{1}$. В первом пункте пишется, что $b_{1} = a_{1}.$
Дальше найдем $b_{2}.$ Из формулы пункта 2), мы видим, что: $$b_{2} = a_{2} + \lambda_{21} \cdot b_{1}, \lambda_{21} = \dfrac{\left(a_{2}, b_{1}\right)}{\left(b_{1}, b_{1}\right)},$$ все необходимое для решения мы нашли, осталось только решить. Итак:$$\lambda_{21} = -\dfrac{\left(a_{2}, b_{1}\right)}{\left(b_{1}, b_{1}\right)} = -\dfrac{\left(1\cdot1 + 2\cdot1 + 2\cdot\left(-5\right) + 3\cdot\left(-1\right)\right)}{\left(1\cdot1 + 2\cdot2 + 2\cdot2 + \left(-1\cdot\left(-1\right)\right)\right)} = -\left(\dfrac{-10}{10}\right) = 1,$$ лямбду мы нашли, $b_{1}$ у нас есть, теперь мы можем найти $b_{2}:$ $$b_{2} = a_{2} + \lambda_{21}\cdot b_{1} = (1, 1, -5, 3) + (1, 2, 2, -1) = (2, 3, -3, 2).$$
Выпишем же формулу для $b_{3}:$ $$b_{3} = a_{3} + \lambda_{31} \cdot b_{1} + \lambda_{32} \cdot b_{2},$$ при $$\lambda_{31} = -\dfrac{\left(a_{3}, b_{1}\right)}{\left(b_{1}, b_{1}\right)},\quad \lambda_{32} = -\dfrac{\left(a_{3}, b_{2}\right)}{\left(b_{2}, b_{2}\right)},$$ найдем все необходимое: $$\lambda_{31} = -\dfrac{\left(3\cdot1 + 2\cdot2 + 8\cdot2 + (-7)\cdot\left(-1\right)\right)}{\left(1\cdot1 + 2\cdot2 + 2\cdot2 + \left(-1\cdot\left(-1\right)\right)\right)} = -3,$$ $$\lambda_{32} = -\dfrac{\left(3\cdot2 + 2\cdot3 + 8\cdot\left(-3\right) + (-7)\cdot2\right)}{\left(2\cdot2 + 3\cdot3 + \left(-3\cdot\left(-3\right)\right) + 2\cdot2\right)} = 1.$$ Теперь вычислим $b_{3}:$ $$b_{3} = (3, 2, 8, -7)-3(1, 2, 2, -1) + 1(2, 3, -3, 2) = (2, -1, -1, 2).$$
Получили ортогональный базис $S_{Орт} = \langle b_{1}, b_{2}, b_{3}\rangle$ — систему, эквивалентную данной, $S = \langle a_{1}, a_{2}, a_{3}\rangle.$ $$S_{Орт} = \langle (1, 2, 2, -1), (2, 3, -3, 2), (2, -1, -1, 2)\rangle.$$
- Применяя процесс ортогонализации по Грамму-Шмидту построить ортогональный базис подпространства, натянутого на данную систему векторов $S = \langle a_{1}, a_{2}, a_{3}\rangle.$
$$a_{1} = (1, 1, -1, -2), a_{2} = (5, 8, -2, -3), a_{3} = (3, 9, 3, 8).$$Решение
Первым делом, найдем $b_{1}$, $b_{1} = a_{1}.$
Дальше найдем $b_{2}.$ Из формулы пункта 2) мы видим, что: $$b_{2} = a_{2} + \lambda_{21} \cdot b_{1}, \lambda_{21} = \dfrac{\left(a_{2}, b_{1}\right)}{\left(b_{1}, b_{1}\right)},$$ все необходимое для решения мы нашли, осталось только решить. Итак:$$\lambda_{21} = -\dfrac{\left(5\cdot1 + 8\cdot1 + \left(-2\cdot\left(-1\right)\right) + \left(-3\cdot\left(-2\right)\right)\right)}{\left(1\cdot1 + 1\cdot1 + \left(-1\cdot\left(-1\right)\right) + \left(-2\cdot\left(-2\right)\right)\right)} = -\left(\dfrac{21}{7}\right) = 3,$$ лямбду мы нашли, $b_{1}$ у нас есть, теперь мы можем найти $b_{2}:$ $$b_{2} = a_{2} + \lambda_{21}\cdot b_{1} = (5, 8, -2, -3) + (-3, -3, 3, 6) = (2, 5, 1, 3).$$
Выпишем же формулу для $b_{3}:$ $$b_{3} = a_{3} + \lambda_{31} \cdot b_{1} + \lambda_{32} \cdot b_{2},$$ при $$\lambda_{31} = -\dfrac{\left(a_{3}, b_{1}\right)}{\left(b_{1}, b_{1}\right)},\quad \lambda_{32} = -\dfrac{\left(a_{3}, b_{2}\right)}{\left(b_{2}, b_{2}\right)},$$ найдем все необходимое: $$\lambda_{31} = -\dfrac{\left(3\cdot1 + 9\cdot1 + 3\cdot\left(-1\right) + 8\cdot\left(-2\right)\right)}{\left(1\cdot1 + 1\cdot1 + \left(-1\cdot\left(-1\right)\right) + \left(-2\cdot\left(-2\right)\right)\right)} = 1,$$ $$\lambda_{32} = -\dfrac{\left(3\cdot2 + 9\cdot5 + 3\cdot1 + 8\cdot3\right)}{\left(2\cdot2 + 5\cdot5 + 1\cdot1 + 3\cdot3\right)} = -2.$$ Теперь вычислим $b_{3}:$ $$b_{3} = (3, 9, 3, 8) + 1(1, 1, -1, -2)-2(2, 5, 1, 3) = (0, 0, 0, 0).$$
Получили ортогональный базис $S_{Орт} = \langle b_{1}, b_{2}, b_{3}\rangle$ — систему, эквивалентную данной, $S = \langle a_{1}, a_{2}, a_{3}\rangle.$ $$S_{Орт} = \langle(1, 1, -1, -2), (2, 5, 1, 3)\rangle.$$
Смотрите также
- Конспект лекций по линейной алгебре. Белозёров Г.С. Евклидовы пространства
- Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М.: Наука, 1968, Глава 8, §34, «Определение евклидова пространства. Ортонормированные базы», c.213-214
- Воеводин В.В. Линейная алгебра. М.: Наука, 1994, Глава 3, §28, «Ортогональность», стр. 92
Процесс ортогонализации Грама-Шмидта
Тест на знание темы «Процесс ортогонализации Грама-Шмидта»