Процесс ортогонализации Грама-Шмидта

Определение. Векторы $a$ и $b$ называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю.$$\left(a, b\right)=0.$$

Определение. Системы $S_{1} = \langle a_{1},a_{2},…,a_{n}\rangle,$ и $S_{2} = \langle b_{1},b_{2},…,b_{n}\rangle,$ называются эквивалентными, когда векторы каждой из систем, линейно выражаются через векторы, другой системы.

Теорема. Допустим, у нас есть линейно независимая система $S = \langle a_{1},a_{2},\ldots,a_{n}\rangle.$ Тогда всегда найдется такая система $S_{орт} = \langle b_{1},b_{2},…,b_{n}\rangle,$ которая будет эквивалентной и ортогональной к $S,$ которая получается следующим методом:

  1. $b_{1} = a_{1},$
  2. $b_{j} = a_{j} + \sum\limits_{i=1}^{j-1}\lambda_{ji}b_{i},\: 2\leqslant j\leqslant k,$ при $\lambda_{ji}=-\dfrac{\left(a_{j}, b_{i}\right)}{\left(b_{i}, b_{i}\right)}.$

Докажем же существование $S_{орт}$ эквивалентной $S$ с помощью индукции. При $k = 1$ $$b_{1} = a_{1}.$$ При $k = 2$ $$\left(b_{2}, b_{1}\right) = \left(a_{2} + \lambda_{21}b_{1}, b_{1}\right) = \left(a_{2}, b_{1}\right) + \lambda_{21}\left(b_{1}, b_{1}\right) =$$$$= \left(a_{2}, b_{1}\right)-\dfrac{\left(a_{2}, b_{1}\right)}{\left(b_{2}, b_{1}\right)}\left(b_{1}, b_{1}\right) = 0.$$ Из чего очевидно, что $S = \langle a_{1},a_{2}\rangle$ и $S_{1} = \langle b_{1},b_{2}\rangle$ — эквивалентны.

Теперь докажем для $k = m,$ при $2\leqslant j\leqslant k$ $$\left(b_{m}, b_{i}\right) = \left(a_{m} + \sum\limits_{i=1}^{m}\lambda_{mi}b_{i}, b_{i}\right) = \left(a_{m}, b_{i}\right) + \sum\limits_{i=1}^{m}\lambda_{mi}\left(b_{i}, b_{i}\right) =$$$$= \left(a_{m}, b_{i}\right)-\sum\limits_{i=1}^{m}\dfrac{\left(a_{m}, b_{i}\right)}{\left(b_{i}, b_{i}\right)}\left(b_{i}, b_{i}\right) = 0.$$ Как видим, по индукции мы доказали, что любой ЛНЗ системе, методом Грама-Шмидта, можно найти эквивалентную ей ортогональную систему.

Примеры решения задач

Рассмотрим примеры задач, в которых может использоваться процесс ортогонализации Грама-Шмидта. Постарайтесь решить данные примеры самостоятельно, а затем сверить свое решение с приведенным.

  1. Применяя процесс ортогонализации по Грамму-Шмидту построить ортогональный базис подпространства, натянутого на данную систему векторов $S = \langle a_{1}, a_{2}, a_{3}\rangle.$
    $$a_{1} = (1, 2, 2, -1), a_{2} = (1, 1, -5, 3), a_{3} = (3, 2, 8, -7).$$

    Решение

    Первым делом, найдем $b_{1}$. В первом пункте пишется, что $b_{1} = a_{1}.$

    Дальше найдем $b_{2}.$ Из формулы пункта 2), мы видим, что: $$b_{2} = a_{2} + \lambda_{21} \cdot b_{1}, \lambda_{21} = \dfrac{\left(a_{2}, b_{1}\right)}{\left(b_{1}, b_{1}\right)},$$ все необходимое для решения мы нашли, осталось только решить. Итак:$$\lambda_{21} = -\dfrac{\left(a_{2}, b_{1}\right)}{\left(b_{1}, b_{1}\right)} = -\dfrac{\left(1\cdot1 + 2\cdot1 + 2\cdot\left(-5\right) + 3\cdot\left(-1\right)\right)}{\left(1\cdot1 + 2\cdot2 + 2\cdot2 + \left(-1\cdot\left(-1\right)\right)\right)} = -\left(\dfrac{-10}{10}\right) = 1,$$ лямбду мы нашли, $b_{1}$ у нас есть, теперь мы можем найти $b_{2}:$ $$b_{2} = a_{2} + \lambda_{21}\cdot b_{1} = (1, 1, -5, 3) + (1, 2, 2, -1) = (2, 3, -3, 2).$$

    Выпишем же формулу для $b_{3}:$ $$b_{3} = a_{3} + \lambda_{31} \cdot b_{1} + \lambda_{32} \cdot b_{2},$$ при $$\lambda_{31} = -\dfrac{\left(a_{3}, b_{1}\right)}{\left(b_{1}, b_{1}\right)},\quad \lambda_{32} = -\dfrac{\left(a_{3}, b_{2}\right)}{\left(b_{2}, b_{2}\right)},$$ найдем все необходимое: $$\lambda_{31} = -\dfrac{\left(3\cdot1 + 2\cdot2 + 8\cdot2 + (-7)\cdot\left(-1\right)\right)}{\left(1\cdot1 + 2\cdot2 + 2\cdot2 + \left(-1\cdot\left(-1\right)\right)\right)} = -3,$$ $$\lambda_{32} = -\dfrac{\left(3\cdot2 + 2\cdot3 + 8\cdot\left(-3\right) + (-7)\cdot2\right)}{\left(2\cdot2 + 3\cdot3 + \left(-3\cdot\left(-3\right)\right) + 2\cdot2\right)} = 1.$$ Теперь вычислим $b_{3}:$ $$b_{3} = (3, 2, 8, -7)-3(1, 2, 2, -1) + 1(2, 3, -3, 2) = (2, -1, -1, 2).$$
    Получили ортогональный базис $S_{Орт} = \langle b_{1}, b_{2}, b_{3}\rangle$ — систему, эквивалентную данной, $S = \langle a_{1}, a_{2}, a_{3}\rangle.$ $$S_{Орт} = \langle (1, 2, 2, -1), (2, 3, -3, 2), (2, -1, -1, 2)\rangle.$$

  2. Применяя процесс ортогонализации по Грамму-Шмидту построить ортогональный базис подпространства, натянутого на данную систему векторов $S = \langle a_{1}, a_{2}, a_{3}\rangle.$
    $$a_{1} = (1, 1, -1, -2), a_{2} = (5, 8, -2, -3), a_{3} = (3, 9, 3, 8).$$

    Решение

    Первым делом, найдем $b_{1}$, $b_{1} = a_{1}.$

    Дальше найдем $b_{2}.$ Из формулы пункта 2) мы видим, что: $$b_{2} = a_{2} + \lambda_{21} \cdot b_{1}, \lambda_{21} = \dfrac{\left(a_{2}, b_{1}\right)}{\left(b_{1}, b_{1}\right)},$$ все необходимое для решения мы нашли, осталось только решить. Итак:$$\lambda_{21} = -\dfrac{\left(5\cdot1 + 8\cdot1 + \left(-2\cdot\left(-1\right)\right) + \left(-3\cdot\left(-2\right)\right)\right)}{\left(1\cdot1 + 1\cdot1 + \left(-1\cdot\left(-1\right)\right) + \left(-2\cdot\left(-2\right)\right)\right)} = -\left(\dfrac{21}{7}\right) = 3,$$ лямбду мы нашли, $b_{1}$ у нас есть, теперь мы можем найти $b_{2}:$ $$b_{2} = a_{2} + \lambda_{21}\cdot b_{1} = (5, 8, -2, -3) + (-3, -3, 3, 6) = (2, 5, 1, 3).$$

    Выпишем же формулу для $b_{3}:$ $$b_{3} = a_{3} + \lambda_{31} \cdot b_{1} + \lambda_{32} \cdot b_{2},$$ при $$\lambda_{31} = -\dfrac{\left(a_{3}, b_{1}\right)}{\left(b_{1}, b_{1}\right)},\quad \lambda_{32} = -\dfrac{\left(a_{3}, b_{2}\right)}{\left(b_{2}, b_{2}\right)},$$ найдем все необходимое: $$\lambda_{31} = -\dfrac{\left(3\cdot1 + 9\cdot1 + 3\cdot\left(-1\right) + 8\cdot\left(-2\right)\right)}{\left(1\cdot1 + 1\cdot1 + \left(-1\cdot\left(-1\right)\right) + \left(-2\cdot\left(-2\right)\right)\right)} = 1,$$ $$\lambda_{32} = -\dfrac{\left(3\cdot2 + 9\cdot5 + 3\cdot1 + 8\cdot3\right)}{\left(2\cdot2 + 5\cdot5 + 1\cdot1 + 3\cdot3\right)} = -2.$$ Теперь вычислим $b_{3}:$ $$b_{3} = (3, 9, 3, 8) + 1(1, 1, -1, -2)-2(2, 5, 1, 3) = (0, 0, 0, 0).$$
    Получили ортогональный базис $S_{Орт} = \langle b_{1}, b_{2}, b_{3}\rangle$ — систему, эквивалентную данной, $S = \langle a_{1}, a_{2}, a_{3}\rangle.$ $$S_{Орт} = \langle(1, 1, -1, -2), (2, 5, 1, 3)\rangle.$$

Смотрите также

  1. Конспект лекций по линейной алгебре. Белозёров Г.С. Евклидовы пространства
  2. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М.: Наука, 1968, Глава 8, §34, «Определение евклидова пространства. Ортонормированные базы», c.213-214
  3. Воеводин В.В. Линейная алгебра. М.: Наука, 1994, Глава 3, §28, «Ортогональность», стр. 92

Процесс ортогонализации Грама-Шмидта

Тест на знание темы «Процесс ортогонализации Грама-Шмидта»

Процесс ортогонализации Грама-Шмидта: 7 комментариев

  1. Замечания рецензента:

    1. Для обозначения системы векторов используются угловые скобки. Вы используете знаки «больше» и «меньше», но для скобок есть специальные команды \langle (левая угловая скобка) и \rangle (правая угловая скобка). Итоговый результат с этими командами смотрится намного лучше.

    2. Однобуквенные формулы (например, векторы $a$, $b$ в первом определении) нужно сделать формулами.

    3. Два разобранных примера идентичны, отличаются только числами.

    Ответить

  2. Добрый день, Валентин) В первом решении есть ошибка, система векторов не является ортогональной.

    Ответить

    1. Студент вряд ли сюда заглядывает, но мне любопытно. Какие два вектора системы на Ваш взгляд не ортогональны?

      Ответить

    2. Добрый день, благодарю, что посмотрели мою запись, я буду рад, если вы мне скажете где именно ошибка, а то я не нахожу ее сейчас…

      Ответить

  3. Видимо имелось ввиду: » которая будет ортогональной системой, которая эквивалентна системе (1) …..»

    Ответить

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *