Задача из журнала «Квант» (1991 год, 10 выпуск)

Условие

Полупроводниковый терморезистор имеет зависимость сопротивления от температуры вида $R = R_{0}(1-\alpha t).$ Когда терморезистор нагрет до температуры $t,$ он рассеивает в окружающую среду мощность $P = B(t-t_{окр}).$ Какой ток будет течь в цепи, если к терморезистору подключить источник с напряжением $U$?

Решение

Пусть при напряжении $U$ ток через терморезистор составит $I$. Тогда запишем

$$R = \dfrac{U}{I} = R_{0}(1-\alpha t)$$ $$P = UI = B(t-t_{окр}).$$ Для того чтобы найти связь между током и напряжением, нужно исключить из этих уравнений температуру $t$: $$t = t_{окр} + \dfrac{UI}{B},$$ $$\dfrac{U}{I} = R_{0}\left(1-\alpha t_{окр}-\alpha\dfrac{UI}{B}\right),$$ $$U = \dfrac{R_{0}(1-\alpha t_{окр})}{\dfrac{\alpha R_{0}I}{B} + \dfrac{1}{I}}.$$ При малых токах, когда мощность мала и температура терморезистора почти не отличается от окружающей, он ведет себя как обычный резистор с сопротивлением $R = R_{0}(1-\alpha t_{окр}).$ С увеличением тока температура резистора увеличивается и при больших токах приближается к критическому значению $$t_{кр} = \dfrac{1}{\alpha}.$$ Но вопрос в задаче поставлен несколько иначе: каким будет ток при подаче напряжения $U$? Сложность в том, что одному значению $U$ соответствуют два (либо — при больших напряжениях — ни одного) значения тока. Легко найти граничное напряжение $U_{гр}$, выше которого решения нет, — оно соответствует минимальному значению знаменателю при токе $I = I_{кр}$: $$U_{гр} = U(I_{кр}) = U\left(\sqrt{\dfrac{\alpha R_{0}}{B}}\right) = \dfrac{R_{0}(1-\alpha t_{окр})}{\sqrt{\dfrac{B}{(\alpha R_{0})}}\left(1 + \left(\dfrac{\alpha R_{0}}{B}\right)^2\right)}.$$ Выше этого напряжения решений нет. Но все же — какой ток потечет по цепи, если подключить к ней напряжение большее, чем $U_{гр}?$ Какой-нибудь наверняка потечет, только мы его не сможем подсчитать, исходя из условий задачи — они становятся противоречивыми. Ясно, что «настоящий» терморезистор имеет другую — более сложную — зависимость сопротивления от температуры (она не дает отрицательных значений сопротивления при $t > t_{кр} = \dfrac{1}{\alpha}$), и там подобной проблемы не будет.
Теперь о той области напряжений, для которой возможны два значения тока. Если медленно повышать напряжение, то и ток будет повышаться, т. е. реализуется меньшее из двух значений тока. Но возможно равновесие и при втором — большем значении, если резистор заранее «подогреть». Подумайте сами, будет ли такое равновесие устойчивым.

А. Зильбеман