Теорема

Пусть $f(x)$ не изменяет знак на полуинтервале $\left[ a ,b \right)$ и для любого $\xi$ из данного полуинтервала $f(x)$ интегрируема по Риману на отрезке $\left[ a ,\xi \right]$ . Тогда для сходимости несобственного интеграла $\int _{a}^{b}{f(x)dx}$ необходимо и достаточно, чтобы функция $\Phi (\xi )=\int _{ a }^{ \xi }{ f(x)dx }$ была ограничена на $\left[ a ,b \right)$ .

Спойлер

$\Phi(t)$ — площадь заштрихованной фигуры.

[свернуть]

Доказательство

Докажем вначале теорему для $f(x)$ неотрицательной. Покажем, что функция $\Phi (\xi )$ возрастает. Действительно, для любых ${\xi}_{1}$ , ${\xi}_{2}$ из $\left[ a ,b \right)$ , ${\xi}_{1}<{\xi}_{2}$

$\Phi({ \xi }_{ 1 })-\Phi({ \xi }_{ 2 })=\overset { { \xi }_{ 1 } }{ \underset { a }{\int} } f(x)dx-\overset{ { \xi }_{ 2 } }{ \underset { a }{\int} } f(x)dx=\overset { { \xi }_{ 2 } }{ \underset { { \xi }_{ 1 } }{ \int } } f(x)dx \ge 0 ,$ так как

$f(x)$ неотрицательна.

Из определения сходимости несобственного интеграла, интеграл $\int _{ a }^{ b }{ f(x)dx }$ сходится тогда, когда существует конечный предел

$\underset { \xi \rightarrow b-0 }{ \lim } \overset { \xi }{ \underset { a }{ \int } } f(x)dx=\underset { \xi \rightarrow b-0 }{ \lim }\Phi (\xi ) ,$ а данный предел существует как предел монотонной и ограниченной функции

$\Phi (\xi )$ .

В случае если $f(x)$ — неположительная, то рассмотрим функцию $g(x) = -f(x)$ — неотрицательную. Из сходимости g(x) следует сходимость f(x), а для g(x) теорема уже доказана.

Спойлер

Изучим на сходимость следующий интеграл: $\overset { 0 } { \underset { -1 }{ \int }} \frac {dx}{ \sqrt{ -x } }$ .
Особая точка — $x_0 = 0$ . Функция $\Phi (\xi)=\int_{-1}^{\xi}{\frac{dx}{\sqrt{-x}}}$ должна быть ограничена сверху. Найдем неопределенный интеграл
$\int \frac {dx}{ \sqrt{ -x } } = 2 \sqrt{-x} + С .$
Из этого следует, что
$\overset { \xi } { \underset { -1 }{ \int }} \frac {dx}{ \sqrt{ -x } } = 2 \sqrt{-\xi} + 2 = 2(\sqrt{-\xi} + 1) .$
Так как $\xi \in \left [-1;0\right ]$ , то функция $\Phi (\xi)$ ограничена сверху числом $4$ , а значит интеграл сходится.

[свернуть]

Список Литературы

Критерий сходимости несобственных интегралов

Тест по теме: Критерий сходимости несобственных интегралов

После прочтения статьи, для закрепления материала, рекомендуется пройти тест по данной теме

Таблица лучших: Критерий сходимости несобственных интегралов

максимум из 30 баллов
Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Метка: неотрицательная функция

Критерий сходимости несобственных интегралов

Теорема

Доказательство

Список Литературы

Критерий сходимости несобственных интегралов

Навигация (только номера заданий)

Информация

Тест по теме: Критерий сходимости несобственных интегралов

Результаты

Рубрики

1.

2.

3.

Элементы сортировки

Таблица лучших: Критерий сходимости несобственных интегралов

Средний результат
Ваш результат