Processing math: 100%

Локальные свойства непрерывных функций

Локальными называют такие свойства функций, которые определяются поведением функции в сколь угодно малой окрестности точки области определения.

Теорема (формулировка)

Пусть f:ER — функция, непрерывная в точке x0R тогда справедливы следующие утверждения:

  • Функция f ограничена в некоторой окрестности UE(x0).
  •  Если f(x0)0, то в некоторой окрестности UE(x0) точки x0 функция f(x)>0
    ( или f(x)<0 ) вместе с f(x0).
  •  Если функция g:UE(x0) R также непрерывна в точке x0, то следующие функции непрерывны в точке x0:
      • f+g
      • fg
      • fg

Если функция g:Y R непрерывна в точке y0Y, а функция f такова, что f:E R, f(x0)=y0, f(E)Y и f непрерывна в точке  x0, то композиция gf непрерывна в точке x0.

Пример 1

Алгебраический многочлен Pn(x)=a0xn+a1xn1++an является непрерывной функцией для xR. Это следует из теоремы 1 и непрерывности функции y=x и y=k.

Пример 2

Рациональная функция R(x)=Pn(x)Qm(x) непрерывна всюду, кроме точек, в которых Qm(x)=0.

Источники:

  1. А.М. Кытманов, Е.К. Лейнартас, О.Н. Черепанова «Математический анализ» / Сиб. федерал. ун-т. — Красноярск, 2010. — 50-53 стр. 
  2. Конспект по математическому анализу Лысенко З.М.

Непрерывная функция

Тест на тему «непрерывные функции»

Таблица лучших: Непрерывная функция

максимум из 6 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Непрерывность функции на множестве

Определение

Непрерывность функции нескольких переменных:

Пусть точка [latex]A[/latex] принадлежит области определения функции [latex] u=f(M)[/latex] нескольких переменных и любая [latex]\varepsilon[/latex]-окрестность точки [latex]A[/latex] содержит отличные от [latex]A[/latex] точки области определения этой функции.

Функция [latex] u=f(M)[/latex] называется непрерывной на множестве [latex]\left \{ M \right \}[/latex], если она непрерывна в каждой точке этого множества.

Основные свойства непрерывных функций нескольких переменных:

Теорема об устойчивости знака непрерывной функции:

Если функция [latex] u=f(M)[/latex] непрерывна в точке [latex]A[/latex] евклидова пространства [latex] E^m [/latex] и если [latex] f(A)\neq0 [/latex], тo существует такая  [latex] \delta [/latex] окрестность точки [latex]A[/latex], в пределах которой во всех точках области своего задания [latex] f(M)[/latex] не обращается в нуль и имеет знак совпадающий со знаком[latex] f(M)[/latex]. Справедливость этой теоремы непосредственно вытекает из определения непрерывности функции в терминах «[latex] \varepsilon — \delta [/latex]».

Теорема о прохождении непрерывной функции через любое промежуточное значение:

Пусть функция [latex] u=f(M)[/latex] непрерывна во всех точках связного множества [latex]\left \{ M \right \}[/latex] евклидова пространства [latex]E^{m}[/latex], причем [latex] f(A)[/latex] и [latex] f(B)[/latex] — значения этой функции в точках [latex]A[/latex] и [latex]B[/latex] этого множества. Пусть, далее, [latex]C[/latex] — любое число, заключенное между [latex] f(A)[/latex] и [latex] f(B)[/latex] . Тогда на любой непрерывной кривой [latex]L[/latex], соединяющей точки [latex]A[/latex] и [latex]B[/latex] и целиком располагающейся в [latex] \left \{ M \right \} [/latex], найдется точка N такая, что [latex] f(N)=C [/latex].

Спойлер

Литература:

Непрерывная функция

Тест на тему «непрерывные функции»

Таблица лучших: Непрерывная функция

максимум из 6 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Геометрический смысл непрерывности

Выясним, в чём заключается геометрический смысл непрерывности функции latexf(x). Построим график функции latexy=f(x) и отметим на нём точку latexa и точку latexf(a).

defaul.svg

Геометрический смысл непрерывности состоит в том, что если изменение аргумента latex=x незначительное, latex=x+δ , то и изменение latex=f(x+δ) будет незначительным в этой точке.
Т.е., малые изменения аргумента приводят к малым изменениям значения функции в этой точке. Это можно увидеть на графике.

Рекомендации:

 Учебники :

  • Кудрявцев Л.Д. «Математический анализ»  Том 1, Глава 1, § 5 «Непрерывность функции в точке» стр.84-89;
  • Фильтенгольц Г.М. «Курс дифференциального и интегрального исчисления» Том 1, Глава 2, § 4 «Непрерывность и разрывы функций» стр.146-167;
  • Ильин В.А., Позняк Э.Г. «Основы математического анализа» Часть 1, Глава 4, § 7 «Непрерывность и предельные значения некоторых сложных функций» стр.138-143.

Сборники задач:

  • Демидович Б.П. «Сборник упражнений по математическому анализу» 13-е издание, исправленное, Отдел 1, § 7 «Непрерывность функции» стр.77-87;
  • Дороговцев А.Я. «Математический анализ» Глава 3, § 2 «Непрерывные функции» стр.50-58.

(Основной материал был взят из курса Математического анализа ,1 курс,1 семестр (доц. Лысенко З.М.))

Определение непрерывности по Коши и по Гейне

 Определение: 

Функция f(x), называется непрерывной в точке x0, если  limxx0f(x)=f(x0)

Определение(по Коши):

Функция f(x), называется непрерывной в точке x0, если: ε>0,δε>0,xX,|xx0|<δ:|f(x)f(x0)|<ε

Определение (по Гейне):

Функция f(x), называется непрерывной в точке x0, если для любой последовательности {xn}n=1, xnX,nN, такого что, limnxn=x0:

limnf(xn)=f(x0)

Определение:

Функция f(x) называется непрерывной в точке x0, если limΔx0Δf=0  , то есть бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.

Определение:

Функция f(x) — непрерывна справа, если limxx0+0f(x)=f(x0) Функция f(x) — непрерывна слева, если limxx00f(x)=f(x0) Функция f(x) называется непрерывной в точке x0, если limxx0+0f(x)=limxx00f(x)=f(x0)

Замечание:

Все эти определения непрерывности функции в точке эквивалентны. Кроме того, основные элементарные функции непрерывны во всех точках своей области определения.

Пример:

1) x00 limxx0x=x0        (x- непрерывна на всей области определения)

Докажем:

ε>0,δε>0,x:|xx0|<δ|xx0|<ε |xx0|= |(xx0)(x+x0)x+x0|= |xx0x+x0|= |xx0|x+x0|xx0|x0< δx0< ε 0<δ<εx0 (δ=εx02)

Рекомендации:

  Учебники :

 Сборники задач:

  • Демидович Б.П. «Сборник упражнений по математическому анализу» 13-е издание, исправленное, Отдел 1, § 7 «Непрерывность функции» стр.77-87;
  • Дороговцев А.Я. «Математический анализ» Глава 3, § 2 «Непрерывные функции» стр.50-58.

Непрерывные функции

Тест проверяет знания по тексту «Непрерывные функции»

 

Таблица лучших: Непрерывные функции

максимум из 24 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных
(Основной материал был взят из курса Математического анализа ,1 курс,1 семестр (доц. Лысенко З.М.))

Непрерывность интеграла с переменным верхним пределом

 

Теорема. Пусть latexf интегрируема на latex[a,b]. Тогда функция latexF(x)=xaf(t)dt,x[a,b] непрерывна на latex[a,b].

Доказательство.

Спойлер

 

Литература :

Непрерывность интеграла с переменным верхним пределом

Этот тест проверит ваши знания касательно непрерывности интеграла с переменным верхним пределом.

Таблица лучших: Непрерывность интеграла с переменным верхним пределом

максимум из 5 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных