Замкнутые множества

ЗАМКНУТЫЕ МНОЖЕСТВА

Определение. Назовем точку [latex]x_0[/latex] предельной точкой множества [latex]E[/latex], если в произвольной окрестности точки [latex]x_0[/latex] существует хотя бы одна точка из [latex]E[/latex], отличная от [latex]x_0[/latex].
Предложение. Если [latex]x_0[/latex] – предельная точка множества [latex]E[/latex], то в произвольной ее окрестности содержится бесконечное множество точек из [latex]E[/latex]. Доказательство. Обозначим через [latex]U[/latex] произвольную окрестность [latex]x_0[/latex]. Предположим, что в этой окрестности содержится лишь конечное число точек множества [latex]E[/latex], отличных от [latex]x_0[/latex]. Тогда среди них найдется точка [latex]x_1[/latex], ближайшая к [latex]x_0[/latex]. Но тогда в шаре радиуса [latex]\left| x_1-x_0 \right| > 0[/latex] с центром в [latex]x_0[/latex] нет ни одной точки из [latex]E[/latex], отличной от [latex]x_0[/latex], а это невозможно, поскольку [latex]x_0[/latex] – предельная точка множества [latex]E[/latex].

Пример. Пусть [latex]B_0 = \left \{ x : \left | x \right | < 1 \right \}[/latex] – единичный шар. Очевидно, что любая точка этого шара является для него предельной. Если же [latex]x_1[/latex] находится на сфере, т. е. [latex]\left| x_1 \right| = 1[/latex], то она не принадлежит шару, но является предельной для шара. Действительно, пусть [latex]B(x_1,\rho)[/latex] — произвольная окрестность точки [latex]x_1[/latex]. Тогда все точки вида [latex]y = tx_1 (1-\rho < t < 1)[/latex] принадлежат [latex]B_0[/latex] и содержатся в [latex]B(x_1,\rho)[/latex]. Следовательно, [latex]x_1[/latex] является предельной для шара [latex]B_0[/latex] по определению.

Рассмотрим теперь точку [latex]x_2[/latex], такую, что [latex]\left| x_2 \right| > 1[/latex]. Докажем, что она не будет предельной для [latex]B_0[/latex]. Действительно, предположим, что [latex]\rho = \left| x_2 \right| -1 > 0[/latex]. Тогда в [latex]B(x_2,\rho)[/latex] нет ни одной точки из [latex]B_0[/latex]. Это легко можно показать, используя неравенство треугольника. Поэтому точка [latex]x_2[/latex] не является предельной для множества [latex]B_0[/latex].

Таким образом, можно видеть, что предельные точки множества могут как содержаться, так и не содержаться в нем.

Определение.Множество [latex]E[/latex] называется замкнутым, если все его предельные точки содержатся в нем.

Условимся считать пустое множество [latex]\varnothing[/latex] замкнутым. Пространство [latex]\mathbb{R}^n[/latex], очевидно, является замкнутым по определению.

Литература:

Замкнутые множества

Тест по теме «Замкнутые множества»

Таблица лучших: Замкнутые множества

максимум из 20 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных