Метка: нечётная подстановка

 Определение:

Любое взаимно однозначное отображение $A$ множества первых $n$ натуральных чисел на себя называется подстановкой $n$-й степени. Всякая подстановка $A$ может быть записана при помощи двух перестановок, подписанных одна под другой:

$\begin{pmatrix} i_{1} & i_{2} & \ldots & i_{n}\\ a_{i_{1}} & a_{i_{2}} & \ldots & a_{i_{n}} \end{pmatrix}$
через $a_{i}$ здесь обозначается то число, в которое при подстановке $A$ переходит число $i$, $i = 1,2,$ $\ldots , n$.

Замечание:

От одной записи подстановки $A$ к другой можно перейти при помощи транспозиций столбиков. Любая подстановка $n$-й степени может быть записана в виде:

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & \ldots & n\\ a_{1} & a_{2} & \ldots & a_{n} \end{pmatrix}$
Т.е. с натуральным расположением чисел в верхней строке. При такой записи различные подстановки различаются друг от друга перестановками, стоящими в нижней строке, и поэтому число перестановок из $n$ чисел равно $n!$ .

Переход к любой другой записи подстановки $A$ можно осуществить, как мы знаем, путём последовательного выполнения нескольких транспозиций в верхней строке и соответствующих им транспозиций в нижней строке. Мы одновременно меняем чётность и поэтому сохраняем совпадение или противоположность этих чётностей.

Отсюда следует, что либо при всех записях подстановки $A$ чётности верхней и нижней строк совпадают, либо же при всех записях они противоположны. В первом случае подстановка $A$ называется чётной, а во втором — нечётной. В частности тождественная подстановка($E$) будет чётной:

$E = \begin{pmatrix} 1 & 2 & \ldots & n\\ 1 & 2 & \ldots & n \end{pmatrix}$Число чётных подстановок равно числу нечётных, равно ${\frac12 n!}$

Пример

$\begin{pmatrix} 4 & 3 & 5 & 2 &1\\ 3 & 5 & 2 & 1 &4 \end{pmatrix}$ всегда можно представить в виде $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 &5\\ 4 & 1 & 5 & 3 &2 \end{pmatrix}$

Подстановки степени n

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 2 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2

Информация

Тест по теме «Подстановки степени $n$».

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 2

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Рубрики

1. Нет рубрики 0%

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

1. 1
2. 2

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 2

   1.

   Количество баллов: 1

   Всякая подстановка $A$ может быть записана при помощи двух

   • (перестановок)
   Правильно
   

   Неправильно
   
2. Задание 2 из 2

   2.

   Количество баллов: 1

   При всех записях подстановки  чётности верхней и нижней строк могут :

   • Совпадать, но не быть противоположными
   • Не совпадать, но быть противоположными
   • Совпадать и быть противоположными
   Правильно
   

   Неправильно
   

Список литературы:

• А.Г. Курош «Курс высшей алгебры», 9-е издание, глава 1, §3(стр.30-33);
• Г.С.Белозёров «Конспект лекций по алгебре и геометрии».