Формулировка
Если f(x)∈C[a,b] (т.е. она непрерывна на этом промежутке), дифференцируема на (a,b) и f(a)=f(b) тогда ∃ξ∈(a,b):f′(ξ)=0. Теорему Ролля можно сформулировать кратко так: между двумя точками, в которых дифференцируемая функция принимает равные значения, найдется хотя бы один ноль производной этой функции. Для случая f(a)=f(b)=0 теорема формируется еще короче: между двумя нулями дифференцируемой функции лежит хотя бы один ноль ее производной.
Доказательство
Обозначим M=supf(x),m=inff(x) для a≤x≤b. По теореме Вейерштрасса на отрезке [a,b] существуют такие точки c1 и c2, что f(c1)=m,f(c2)=M. Если M=m, то f(x)=const, и в качестве ξ можно взять любую точку интервала (a,b).
Если m≠M, то m<M, и поэтому c10 такое, что Uδ(c1)⊂(a,b). Так как для всех x∈Uδ(c1) выполняется условие f(x)≥f(c1)=m, то по теореме Ферма f′(c1)=0, т.е. условие f′(ξ)=0 выполняется при ξ=c1. Аналогично рассматривается случай когда c2∈(a,b).
Геометрический смысл теоремы Ролля
При условиях теоремы ∃ξ∈(a,b): касательная к y=f(x) в точке (ξ,f(ξ)) параллельна оси ox
Замечание! Все условия теоремы существенны.
Пример
Удовлетворяет ли функцияy=2−|x|, определенная на всей вещественной оси, условиям теоремы?
Теорема Ролля о корне производной
Этот тест был составлен для того, чтобы проверить знание теоремы Ролля о корне производной
Литература
- Конспект лекций Лысенко З.М.
- Тер-Крикоров А.М., Шабунин М.И., Курс математического анализа, физмат-лит, 1988. стр.165-166
- Демидович Б.П., Сборник задач и упражнений по математическому анализу, М., Наука, 1981. стр.134-140
