\usepackage{amsfonts}
Функция f, действующая из X в Y, называется биективной, если она взаимно однозначна и ее область значений совпадает с множеством Y. Это означает, что для каждого y∈Y существует единственный x∈X, такой, что y=f(x).
Пусть функция f:X→Y биективна. Тогда каждому y∈Y можно поставить в соответствие единственный x∈X, такой, что y=f(x). Тем самым мы получим новую функцию, действующую из Y в X. Такая функция называется обратной к функции f и обозначается f−1. Например, f(x)=x3 действует из R в R и биективна. Тогда f−1(y)=3√y. Другая функция f(x)=x2, действующая из R в [0,+∞), не является биективной, и поэтому нельзя говорить об обратной функции. Если же мы рассмотрим функцию f1:[0,+∞)→[0,+∞), действующую по правилу f1(x)=x2, то такая функция биективна, и поэтому у нее есть обратная f−1(y)=√y. В этом примере мы пользуемся понятием сужения, т. е. функцию мы рассматриваем не на всей возможной области определения, где определяющая функцию формула имеет смысл, а лишь на части этой области. Дадим определение.
Определение. Пусть функция f:X→Y, и множество A⊂X. Каждой точке x∈A поставим в соответствие y=f(x)∈Y. Тогда получим функцию, заданную на множестве A, которую будем называть сужением функции f на множество A, и будем обозначать это сужение f∣A.
В рассмотренном выше примере f(x)=x2 функция не была взаимно однозначной на R. В то же время сужение f1=f∣[0,+∞) – взаимно однозначная функция, и поэтому существует обратная функция.
В этом параграфе мы будем заниматься вопросом существования и свойствами обратной функции. Если обратную функцию удается явно выразить (как в рассмотренных выше примерах), то свойства обратной функции могут быть изучены непосредственно. Однако это не всегда можно сделать. Например, функция f(x)=x+12sinx взаимно однозначна, но выражение обратной функции весьма затруднительно. Мы хотим исследовать свойства обратной функции f−1, не зная ее явного выражения.
Пусть функция f определена на [a,b]. Очевидно, что если f строго монотонна на [a,b], то она взаимно однозначна. Обратное утверждение не имеет места. Например, функция f(x)={−x,−1⩽x<0,x−1,0⩽x⩽1, очевидно, взаимно однозначна, но не является монотонной на [−1,1]. Можно, однако, доказать, что если функция f взаимно однозначна и непрерывна, то она строго монотонна. Мы этого не будем делать.
В дальнейшем через ⟨α,β⟩ будем обозначать отрезок с концами α и β (при этом неравенство α<β не обязательно).
Теорема (об обратной функции). Пусть функция f строго монотонна и непрерывна на отрезке [a,b]. Тогда обратная функция f−1 строго монотонна и непрерывна на отрезке ⟨f(a),f(b)⟩.
Рассматриваем случай возрастающей f. В силу теоремы Больцано – Коши, областью значений функции f является отрезок [f(a),f(b)]. Так как f взаимно однозначна на [a,b], то существует функция f−1, отображающая [f(a),f(b)] на [a,b]. Обозначим g(y)=f−1(y). Покажем, что g строго возрастает. Пусть y′<y′′,x′=g(y′),x′′=g(y′′). Если x′⩾x′′, то f(x′)⩾f(x′′) (в силу возрастания f), т. е. y′⩾y′′, что противоречит условию. Итак, получаем, что x′<x′′, т. е. условие y′<y′′ влечет x′<x′′. Это и означает, что обратная функция x=g(y) строго возрастает на [f(a),f(b)].
Областью значений обратной функции g является отрезок [a,b]. В самом деле, каждое x∈[a,b] является значением функции g(y), где y=f(x). Так как g монотонна на [f(a),f(b)] и ее областью значений является отрезок [a,b], то, по теореме о непрерывности монотонной функции, функция g непрерывна на отрезке [f(a),f(b)].
Пример 1. Арксинус. Функция f(x)=sinx(−∞<x<+∞) не является взаимно однозначной. Рассмотрим сужение этой функции на [−π2,π2]. Это сужение – непрерывная и строго возрастающая функция. Следовательно, существует обратная функция, непрерывная и строго возрастающая.
Арксинусом называется функция, обратная к сужению функции sinx на [−π2,π2], и обозначается arcsinx. Она определена на [−1,1], имеет областью значений отрезок [−π2,π2], строго возрастает и непрерывна на [−1,1].
Пример 2. Арккосинус. Функция f(x)=cosx(−∞<x<+∞) не является взаимно однозначной. Рассмотрим сужение этой функции на [0,π]. Это сужение – непрерывная и строго убывающая функция. Следовательно, существует обратная функция, непрерывная и строго убывающая.
Арккосинусом называется функция, обратная к сужению функции cosx на [0,π], и обозначается arccosx. Она определена на [−1,1], имеет областью значений отрезок [0,π], строго убывает и непрерывна на [−1,1].
Пример 3. Арктангенс и арккотангенс. Арктангенсом называется функция, обратная к сужению функции tg x на (−π2,π2), и обозначается arctg x. Функция arctg x непрерывна и строго возрастает на (−∞,+∞), область ее значений – интервал (−π2,π2).
Арккотангенсом называется функция, обратная к сужению функции ctg x на (0,π), и обозначается arcctg x. Функция arcctg x непрерывна и строго убывает на (−∞,+∞), область ее значений – интервал (0,π).
Упражнение. Постройте графики определенных выше обратных тригонометрических функций y=arcsinx,y=arccosx,y=arctg x и y=arcctg x.
Пример 4. Функция f(x)=xn(x⩾0,n∈Z) является взаимно однозначной. Следовательно, существует обратная функция f−1(x)=n√x. Можем увидеть пример графика данной функции и её обратной при n=2m+1(m∈N).
Пример 5. f:R→R+, функция f(x)=ax(a>0,a≠1) является взаимно однозначной. Следовательно, существует обратная функция f−1(x)=logax. Можем увидеть пример графика данной функции и её обратной при a>1.
Обратная функция
Вы можете пройти данный тест, чтобы примерно оценить, насколько вы поняли тему «Обратная функция»
