Фундаментальные последовательности и их свойства

Определение

Последовательность [latex] \left \{ x_{n} \right \} [/latex] называют фундаментальной, если она удовлетворяет условию Коши: для каждого [latex]\varepsilon > 0[/latex] существует такое натуральное число [latex] n_{0} [/latex], что для любого [latex]n \geq n_{0}[/latex] и любого [latex]m \geq n_{0}[/latex] справедливо неравенство [latex]\left | x_{n} — x_{m} \right | < \varepsilon[/latex]. Кратко это условие можно записать так: [latex]\forall \varepsilon > 0[/latex]  [latex]\exists n_{0}\in \mathbb{N} :[/latex] [latex]\forall n, m \geq n_{0} :[/latex] [latex]\left | x_{n} — x_{m} \right | < \varepsilon[/latex].

Дадим эквивалентное определение. Последовательность [latex]\left \{ x_{n} \right \}[/latex] называют фундаментальной, если для каждого [latex]\varepsilon > 0[/latex] существует такое натуральное число [latex]n_{0}[/latex], что для любого [latex]n\geq n_{0}[/latex] и для любого натурального [latex]p[/latex] справедливо неравенство [latex]\left | x_{n+p} — x_{n} \right | < \varepsilon[/latex]. Кратко это условие можно записать так: [latex]\forall \varepsilon > 0[/latex]  [latex]\exists n_{0} :[/latex] [latex]\forall n\geq n_{0}[/latex] [latex]\forall p\in \mathbb{N} :[/latex] [latex]\left | x_{n+p} — x_{n} \right | < \varepsilon[/latex].

Докажем, что фундаментальная последовательность является ограниченной. Пусть [latex]\varepsilon = 1[/latex], тогда согласно условию Коши найдется номер $latex n_{0} $ такой, что для всех [latex] n \geq n_{0} [/latex] и для всех [latex]m \geq n_{0}[/latex] выполняется неравенство [latex]\left | x_{n} — x_{m} \right | < 1[/latex], и, в частности, [latex]\left | x_{n} — x_{n_{0}} \right | < 1[/latex]. Так как [latex]\left | x_n \right | = \left | (x_{n}-x_{n_{0}}) + x_{n_{0}} \right |[/latex]   [latex]\leq \left | x_{n_{0}} \right | + \left | x_{n} — x_{n_{0}} \right | [/latex] [latex]< \left | x_{n_{0}} \right | +1[/latex] для  всех [latex] n \geq n_{0} [/latex], то при всех [latex] n \in \mathbb{N}[/latex] справедливо неравенство [latex] \left | x_{n} \right | \le C[/latex], где [latex] C=\max(\left | x_{1} \right | ,\ldots, \left | x_{n_{0}-1} \right | , \left | x_{n_{0}} \right | +1) [/latex]. Это означает, что [latex] \left \{ x_{n} \right \} [/latex] — ограниченная последовательность.

Необходимое и достаточное условие сходимости последовательности

Теорема (критерий Коши)

Для того чтобы последовательность имела конечный предел, необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной.

Необходимость

Пусть последовательность имеет конечный предел. Положим его равным [latex]a[/latex]. По определению предела [latex] \forall \varepsilon > 0 [/latex]  [latex] \exists n_{0}[/latex] такое, что [latex] \forall k \geq n_{0}[/latex] и выполняется неравенство [latex] \left | x_{k} — a \right | < [/latex] [latex]\frac{\varepsilon}{2} [/latex]. Пусть [latex] k=n[/latex], тогда [latex] \left | x_{n} — a \right | < \frac{\varepsilon}{2} [/latex]. Пусть [latex]k=m[/latex], тогда [latex] \left | x_{m} — a \right | < \frac{\varepsilon}{2} [/latex]. В силу неравенства для модуля суммы (разности), получаем [latex] \left | x_{n}-x_{m} \right |=\left | (x_{n}-a) — (x_{m}-a) \right | [/latex][latex]\leq \left | x_{n}-a \right | + \left | x_{m} — a \right |[/latex] [latex]< \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon [/latex]. Следовательно, для любого [latex] n \geq n_{0}[/latex] и для любого [latex] m \geq n_{0}[/latex] выполняется неравенство [latex] \left | x_{n}-x_{m} \right | < \varepsilon[/latex], т. е. выполняется условие Коши.

Достаточность

Пусть  [latex] \left \{ x_{n} \right \} [/latex]- фундаментальная последовательность. Докажем, что она имеет конечный предел. По определению фундаментальной последовательности [latex] \forall \varepsilon > 0[/latex]  [latex] \exists n_{\varepsilon} :[/latex] [latex] \forall n \geq n_{\varepsilon} [/latex]    [latex] \forall m \geq n_{\varepsilon}[/latex] выполняется неравенство [latex] \left | x_{n} — x_{m} \right | < \frac{\varepsilon}{2}[/latex]. Так как фундаментальная последовательность [latex] \left \{ x_{n} \right \} [/latex] является ограниченной, то, по теореме Больцано-Вейерштрасса, она содержит сходящуюся подпоследовательность [latex] \left \{ x_{n_{k}} \right \} [/latex]. Пусть ее предел равен $latex a $, т. е. [latex] \lim\limits_{ k \to \infty} x_{n_{k}} = a[/latex]. Покажем, что число [latex]a[/latex] является пределом исходной последовательности [latex] \left \{ x_{n} \right \} [/latex]. По определению предела : [latex] \forall \varepsilon > 0[/latex]  [latex] \exists k_{\varepsilon} :[/latex] [latex] \forall k \geq k_{\varepsilon} [/latex] [latex]\rightarrow[/latex] [latex] \left | x_{n_{k}} — a \right | < \frac{\varepsilon}{2}[/latex]. Пусть [latex] N_{\varepsilon} = \max( n_{\varepsilon}, k_{\varepsilon} )[/latex]. Фиксируем  номер [latex] n_{k} \geq N_{\varepsilon}[/latex] (такой номер найдется, так как [latex] n_{k} \to \infty[/latex] при [latex] k \to \infty[/latex] ). Тогда при [latex] m=n_{k}[/latex] и при всех [latex] n \geq N_{\varepsilon}[/latex]  выполняется неравенство [latex] \left | x_{n} — x_{n_{k}} \right | < \frac{\varepsilon}{2}[/latex]. Из этого следует, что при всех  [latex] n \geq N_{\varepsilon}[/latex] справедливо неравенство: [latex] \left | x_{n}-a \right | = \left | (x_{n}-x_{n_{k}}) + (x_{n_{k}}-a) \right | [/latex] [latex]\leq \left | x_{n}-x_{n_{k}}\right | + \left | x_{n_{k}} — a \right | [/latex] [latex]< \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon [/latex] т. е. [latex] \lim\limits_{n \to \infty} x_{n} = a[/latex].

Пример

Доказать, что последовательность [latex]x_{n}=1+ \frac{1}{2} +…+\frac{1}{n}[/latex] расходится.

Спойлер

Последовательность  [latex]\left \{ x_{n} \right \}[/latex] расходится, если не выполняется условие Коши, т.е. [latex]\exists \varepsilon_{0} > 0[/latex]  [latex]\forall k \in \mathbb{N} :[/latex] [latex]\exists n \geq k[/latex]    [latex]\exists m \geq k[/latex], что выполняется неравенство [latex]\left | x_{n} — x_{m} \right | \geq \varepsilon_{0}[/latex]. Пусть задано любое [latex]k \in \mathbb{N}[/latex], положим [latex]n=2k[/latex], [latex]m=k[/latex]. Тогда [latex] \left | x_{n} — x_{m} \right | = \left | x_{2k} — x_{k} \right | = \frac{1}{k+1} + \frac{1}{k+2}+…+ \frac{1}{2k} \geq \frac{1}{2k} k = \frac{1}{2} [/latex]. Таким образом, отрицание условия Коши выполняется при  [latex]\varepsilon_{0} = \frac{1}{2}[/latex], и, в силу критерия Коши, последовательность  [latex] \left \{ x_{n} \right \} [/latex]  расходится.

[свернуть]

Литература

фундаментальные последовательности

Тест на тему «фундаментальные последовательности»: