операции — ПриМат

Сложение многочленов

Определение. Пусть даны многочлены

$u\left(x\right)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0},$

$v\left(x\right)=b_{m}x^{m}+b_{m-1}x^{m-1}+\ldots+b_{2}x^{2}+b_{1}x+b_{0}.$ Будем считать, что

$n\geqslant m.$ Тогда их суммой является многочлен

$s\left(x\right)=u\left(x\right)+v\left(x\right)=c_{n}x^{n}+c_{n-1}x^{n-1}+\ldots+c_{2}x^{2}+c_{1}x+c_{0},$ каждый коэффициент

$c_{i}$ которого получается сложением соответствующих коэффициентов

$a_{i}$ и

$b_{i},$

$\left(i = 0, 1, \ldots, n-1, n\right).$ Причём, если

$n\geqslant i>m,$ то считаем, что

$b_{i}=0.$

Замечание. Можно определить и многочленов, как сложение с противоположным. «Нулём» будет выступать нулевой многочлен $\left(0\right),$ а противоположный данному многочлен получается заменой всех коэффициентов на противоположные:

$u\left(x\right)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0},$

$-u\left(x\right)=-a_{n}x^{n}-a_{n-1}x^{n-1}-\ldots-a_{2}x^{2}-a_{1}x-a_{0}.$

Основные свойства сложения

1. Степень суммы. Степень суммы двух многочленов меньше либо равна наибольшей из степеней слагаемых. (Лемма)

$u\left(x\right)+v\left(x\right)=v\left(x\right)+u\left(x\right).$

Пусть

$u\left(x\right)+v\left(x\right)=s_{1}\left(x\right),\; v\left(x\right)+u\left(x\right)=s_{2}\left(x\right).$ Рассмотрим коэффициенты

$s_{1}\left(x\right)$ и

$s_{2}\left(x\right).$ Они равны в силу коммутативности сложения чисел

$\left(a_{i}+b_{i}=b_{i}+a_{i}\right),$ а значит,

$s_{1}\left(x\right)=s_{2}\left(x\right),$ что доказывает коммутативность сложения многочленов.

$\left(u\left(x\right)+v\left(x\right)\right)+w\left(x\right)=u\left(x\right)+\left(v\left(x\right)+w\left(x\right)\right).$

Пусть коэффициенты $u\left(x\right),$ $v\left(x\right)$ и $w\left(x\right)$ равны $a_{i},$ $b_{i},$ и $c_{i}$ соответственно. Зададим их суммы:

$\left(u\left(x\right)+v\left(x\right)\right)+w\left(x\right)=f\left(x\right),$

$u\left(x\right)+\left(v\left(x\right)+w\left(x\right)\right)=g\left(x\right).$ Для доказательства ассоциативности, докажем равенство

$f\left(x\right)$ и

$g\left(x\right).$ Рассмотрим общие формулы их коэффициентов:

$f_{i}=\left(a_{i}+b_{i}\right)+c_{i},$

$g_{i}=a_{i}+\left(b_{i}+c_{i}\right).$ Аналогично коммутативности, равенство этих двух многочленов следует из ассоциативности операции сложения для чисел, из чего и следует ассоциативность сложения многочленов.

Умножение многочленов

Определение. Пусть даны многочлены

$u\left(x\right)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0},$

$v\left(x\right)=b_{m}x^{m}+b_{m-1}x^{m-1}+\ldots+b_{2}x^{2}+b_{1}x+b_{0}.$ Тогда их произведением является многочлен

$p\left(x\right)=u\left(x\right)\cdot v\left(x\right)=c_{n+m}x^{n+m}+c_{n+m-1}x^{n+m-1}+\ldots+c_{2}x^{2}+c_{1}x+c_{0},$ образующийся в результате простого умножения

$u\left(x\right)\cdot v\left(x\right)$ и приведения подобных членов. Таким образом, каждый коэффициент произведения

$\displaystyle c_{i}=\sum_{\alpha+\beta=i}^{}a_{\alpha}b_{\beta},\; \left(i = 0, 1, \ldots, n+m-1, n+m\right).$

Замечание. Для многочленов операция обратная умножению (деление) не определена. Однако, существует алгоритм деления с остатком.

Основные свойства умножения

1. Степень произведения. Степень произведения двух многочленов равна сумме степеней множителей. (Лемма)

$u\left(x\right)\cdot v\left(x\right)=v\left(x\right)\cdot u\left(x\right).$

Рассмотрим многочлены $u\left(x\right)$ и $v\left(x\right)$ из определения произведения. Пусть

$f\left(x\right)=u\left(x\right)\cdot v\left(x\right)=c_{n+m}x^{n+m}+c_{n+m-1}x^{n+m-1}+\ldots+c_{2}x^{2}+c_{1}x+c_{0},$

$g\left(x\right)=v\left(x\right)\cdot u\left(x\right)=d_{n+m}x^{n+m}+d_{n+m-1}x^{n+m-1}+\ldots+d_{2}x^{2}+d_{1}x+d_{0}.$ Тогда, коэффициенты многочлена

$f\left(x\right)$ равны

$\displaystyle c_{i}=\sum_{\alpha+\beta=i}^{}a_{\alpha}b_{\beta},$ а многочлена

$g\left(x\right)$ —

$\displaystyle d_{i}=\sum_{\alpha+\beta=i}^{}b_{\beta}a_{\alpha}.$ Из очевидного равенства этих сумм вытекает равенство

$f\left(x\right)$ и

$g\left(x\right),$ а значит,

$u\left(x\right)\cdot v\left(x\right)=v\left(x\right)\cdot u\left(x\right)$ и коммутативность доказана.

$\left(u\left(x\right)\cdot v\left(x\right)\right)\cdot w\left(x\right)=u\left(x\right)\cdot \left(v\left(x\right)\cdot w\left(x\right)\right).$

Пусть коэффициенты $u\left(x\right),$ $v\left(x\right)$ и $w\left(x\right)$ равны $a_{i},$ $b_{i},$ и $c_{i}$ соответственно, а именно:

$u\left(x\right)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0},$

$v\left(x\right)=b_{m}x^{m}+b_{m-1}x^{m-1}+\ldots+b_{2}x^{2}+b_{1}x+b_{0},$

$w\left(x\right)=c_{s}x^{s}+c_{s-1}x^{s-1}+\ldots+c_{2}x^{2}+c_{1}x+c_{0}.$ Теперь, зададим их произведения в нужном порядке:

$f\left(x\right)=u\left(x\right)\cdot v\left(x\right)=d_{n+m}x^{n+m}+d_{n+m-1}x^{n+m-1}+\ldots+d_{2}x^{2}+d_{1}x+d_{0},$

$g\left(x\right)=v\left(x\right)\cdot w\left(x\right)=r_{m+s}x^{m+s}+r_{m+s-1}x^{m+s-1}+\ldots+r_{2}x^{2}+r_{1}x+r_{0},$

$h\left(x\right)=\left(u\left(x\right)\cdot v\left(x\right)\right)\cdot w\left(x\right)=k_{n+m+s}x^{n+m+s}+\ldots+k_{2}x^{2}+k_{1}x+k_{0},$

$l\left(x\right)=u\left(x\right)\cdot \left(v\left(x\right)\cdot w\left(x\right)\right)=p_{n+m+s}x^{n+m+s}+\ldots+p_{2}x^{2}+p_{1}x+p_{0}.$ Для доказательства ассоциативности, докажем равенство многочленов

$h\left(x\right)$ и

$l\left(x\right).$ Рассмотрим общую формулу коэффициента

$h\left(x\right):$

$\displaystyle k_{i}=\sum_{q+\gamma =i}d_{q}c_{\gamma }=\sum_{q+\gamma =i}\left( \sum_{\alpha +\beta =q}^{}\left(a_{\alpha }b_{\beta }\right)\cdot c_{\gamma }\right) = \sum_{\alpha +\beta +\gamma=i}a_{\alpha }b_{\beta }c_{\gamma }.$ Теперь покажем, что общую формулу коэффициента

$l\left(x\right)$ можно привести к такому же виду:

$\displaystyle p_{i}=\sum_{\alpha+q=i}a_{\alpha}r_{q}=\sum_{\alpha+q=i}\left( a_{\alpha}\cdot \sum_{\beta+\gamma=q}b_{\beta}c_{\gamma} \right)= \sum_{\alpha +\beta +\gamma=i}a_{\alpha }b_{\beta }c_{\gamma }.$ Из равенства коэффициентов следует равенство многочленов, что и доказывает ассоциативность.

Примеры решения задач

Читателю предлагается решить эти примеры и сравнить своё решение с приведённым.

Сложить многочлены $3x^4+2x^3-4x^2-8x+10$ и $8x^3-4x^2-9x-10.$

Решение

Воспользуемся определением суммы многочленов:
$\left(3x^4+2x^3-4x^2-8x+10\right)+\left(8x^3-4x^2-9x-10\right)=$
$=\left(3+0\right)x^4+\left(2+8\right)x^3+\left(-4+\left(-4\right)\right)x^2+\left(-8+\left(-9\right)\right)x+\left(10-10\right)=$
$=3x^4+10x^3-8x^2-17x.$
Найти разность $7x^7+10x^6-20x^5+10x^4-13x^3+8x^2+11x+19$ и $5x^7-10x^5+7x^4+x^3+11x^2+20x+11.$

Решение

Сложим первый многочлен с противоположным второму:
$7x^7+10x^6-20x^5+10x^4-13x^3+8x^2+11x+19 +$
$+\left(-5x^7+10x^5-7x^4-x^3-11x^2-20x-11\right)=$
$=\left(7-5\right)x^7+\left(10+0\right)x^6+\left(-20+10\right)x^5+\left(10-7\right)x^4+$
$+\left(-13-1\right)x^3+\left(8-11\right)x^2+\left(11-20\right)x+\left(19-11\right)=$
$=2x^7+10x^6-10x^5+3x^4-14x^3-3x^2-9x+8.$
Найти произведение $2x^2+5x-1$ и $4x^2-x+3.$

Решение

Умножим два многочлена и приведём подобные:
$\left(2x^2+5x-1\right)\cdot \left(4x^2-x+3\right)=$
$=8x^4-2x^3+6x^2+20x^3-5x^2+15x-4x^2+x-3=$
$=8x^4+\left(20-2\right)x^3+\left(6-5-4\right)x^2+\left(15+1\right)x-3=$
$=8x^4+18x^3-3x^2+16x-3.$
Найти произведение $-3x^2+7x+9$ и $6x^2+2x+8.$

Решение

На этот раз, воспользуемся общей формулой коэффициента из определения произведения многочленов. Тогда:
$u\left(x\right)=-3x^2+7x+9,\;a_{2}=-3,a_{1}=7,a_{0}=9,$
$v\left(x\right)=6x^2+2x+8,\;b_{2}=6,b_{1}=2,b_{0}=8,$
$p\left(x\right)=u\left(x\right)\cdot v\left(x\right)=c_{4}x^4+c_{3}x^3+c_{2}x^2+c_{1}x+c_{0}.$ По определению, $\displaystyle c_{i}=\sum_{\alpha+\beta=i}^{}a_{\alpha}b_{\beta},$ $\left(i=0,1,2,3,4\right).$ Вычислим их.
$c_{0}=\sum_{\alpha+\beta=0}^{}a_{\alpha}b_{\beta}=a_{0}b_{0}=9\cdot 8=72,$
$c_{1}=\sum_{\alpha+\beta=1}^{}a_{\alpha}b_{\beta}=a_{0}b_{1}+a_{1}b_{0}=9\cdot 2 + 7\cdot 8=74,$
$c_{2}=\sum_{\alpha+\beta=2}^{}a_{\alpha}b_{\beta}=a_{0}b_{2}+a_{1}b_{1}+a_{2}b_{0}=9\cdot 6+7\cdot 2+\left(-3\right)\cdot 8=44,$
$c_{3}=\sum_{\alpha+\beta=3}^{}a_{\alpha}b_{\beta}=a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1}=7\cdot 6+\left(-3\right)\cdot 2=36,$
$c_{4}=\sum_{\alpha+\beta=4}^{}a_{\alpha}b_{\beta}=a_{2}b_{2}=-3\cdot 6=-18.$ Имеем:
$p\left(x\right)=u\left(x\right)\cdot v\left(x\right)=-18x^4+36x^3+44x^2+74x+72.$

Смотрите также

А.Г. Курош Курс высшей алгебры. — Издание девятое. — Москва: Наука, 1968. — 431с. (c. 130-134)
К.Д. Фадеев Лекции по алгебре. — Москва: Наука, 1984. — 416с. (c. 54-55)
А.И. Кострикин Введение в алгебру. Основы алгебры. — Москва: Физматлит, 1994. -320с. (с. 211-212)
Белозёров Г.С. Конспект лекций.

Операции над многочленами

Этот тест призван проверить Ваши знания по теме «Операции над многочленами».

Метка: операции

Операции над многочленами

Сложение многочленов

Основные свойства сложения

Умножение многочленов

Основные свойства умножения

Примеры решения задач

Смотрите также

Операции над многочленами

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

3.

4.

5.

Элементы сортировки

6.