Лемма о степени суммы двух многочленов

Лемма. Степень суммы двух многочленов меньше либо равна наибольшей из степеней слагаемых.

Рассмотрим многочлены $$u\left(x\right)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0},$$ $$v\left(x\right)=b_{m}x^{m}+b_{m-1}x^{m-1}+\ldots+b_{2}x^{2}+b_{1}x+b_{0},$$ $$s\left(x\right)=u\left(x\right)+v\left(x\right)=c_{p}x^{p}+c_{p-1}x^{p-1}+\ldots+c_{2}x^{2}+c_{1}x+c_{0},$$ где $p=\max\left(m,n\right).$ По определению суммы двух многочленов, коэффициенты $s\left(x\right)$ равны $$c_{i}=a_{i}+b_{i},\; \left(i = 0, 1, \ldots, p-1, p\right).$$ Рассмотрим коэффициент многочлена $s\left(x\right)$ при $x^{p}:$ $$c_{p}=a_{n}+b_{m},$$ если они существуют, т.е. если $n=m.$ Если же $n>m,$ то $c_{p}=a_{n}.$ Иначе, $n<m$ и $c_{p}=b_{m}.$ Таким образом, степень $s\left(x\right)$ не будет больше $\max\left(m,n\right).$ В случае же $m=n$ и $a_{n}=-b_{m},$ $c_{p}=0$ и степень $s\left(x\right)<p.$

Примеры решения задач

Читателю предлагается решить эти примеры и сравнить своё решение с приведённым.

Какой степени будет сумма $u\left(x\right)+v\left(x\right),$ если: $$u\left(x\right)=10x^7+26x^6+46x^5+56x^4+114x^3+80x^2+48x+70,$$ $$v\left(x\right)=7x^7+19x^6+39x^5+185x^4+193x^3+81x^2+56x+20?$$

Решение

Воспользуемся леммой. Пусть $s\left(x\right)=u\left(x\right)+v\left(x\right).$ Поскольку $\deg\left(v\left(x\right)\right)=\deg\left(u\left(x\right)\right)=7,$ коэффициент многочлена $s\left(x\right)$ при $x^{7}$ равен $c_{7}=10+7=17\neq 0.$ Следовательно, $\deg\left(s\left(x\right)\right)=7.$
Определить степень суммы многочленов $u\left(x\right)+v\left(x\right),$ если: $$u\left(x\right)=45x^7-47x^6-x^5-140x^4+10x^3+13x^2+24x+12,$$ $$v\left(x\right)=-45x^7+47x^6+x^5+27x^4+12x^3+6x^2+2x+21.$$

Решение

Воспользуемся леммой. Пусть $s\left(x\right)=u\left(x\right)+v\left(x\right),$ коэффициенты $u\left(x\right),$ $v\left(x\right),$ $s\left(x\right)$ равны $a_{i},$ $b_{i},$ $c_{i}$ соответственно. Аналогично предыдущему случаю, $\deg\left(v\left(x\right)\right)=\deg\left(u\left(x\right)\right)=7.$ Рассмотрим коэффициенты $s\left(x\right):$ $$c_{7}=a_{7}+b_{7}=45+\left(-45\right)=0.$$ Значит, $\deg\left(s\left(x\right)\right)<7.$ $$c_{6}=a_{6}+b_{6}=-47+47=0,$$ $$c_{5}=a_{5}+b_{5}=-1+1=0,$$ $$c_{4}=a_{4}+b_{4}=-140+27=-113\neq 0.$$ Значит, $\deg\left(s\left(x\right)\right)=4.$

Смотрите также

А.Г. Курош Курс высшей алгебры. — Издание девятое. — Москва:Наука, 1968. — 431с. (c. 132)
Р.Галлагер Теория информации и надежная связь. -М.:»Советское радио», 1974. — 720с. (c. 232-233)
Белозёров Г.С. Конспект лекций.