Processing math: 100%

Метка: ортогонализация

Процесс ортогонализации Грама-Шмидта

Определение. Векторы a и b называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю.(a,b)=0.

Определение. Системы S1=⟨a1,a2,…,an⟩, и S2=⟨b1,b2,…,bn⟩, называются эквивалентными, когда векторы каждой из систем, линейно выражаются через векторы, другой системы.

Теорема. Допустим, у нас есть линейно независимая система S=⟨a1,a2,…,an⟩. Тогда всегда найдется такая система Sорт=⟨b1,b2,…,bn⟩, которая будет эквивалентной и ортогональной к S, которая получается следующим методом:

  1. b1=a1,
  2. bj=aj+j−1∑i=1λjibi,2⩽j⩽k, при λji=−(aj,bi)(bi,bi).

Докажем же существование Sорт эквивалентной S с помощью индукции. При k=1 b1=a1. При k=2 (b2,b1)=(a2+λ21b1,b1)=(a2,b1)+λ21(b1,b1)==(a2,b1)−(a2,b1)(b2,b1)(b1,b1)=0. Из чего очевидно, что S=⟨a1,a2⟩ и S1=⟨b1,b2⟩ — эквивалентны.

Теперь докажем для k=m, при 2⩽j⩽k (bm,bi)=(am+m∑i=1λmibi,bi)=(am,bi)+m∑i=1λmi(bi,bi)==(am,bi)−m∑i=1(am,bi)(bi,bi)(bi,bi)=0. Как видим, по индукции мы доказали, что любой ЛНЗ системе, методом Грама-Шмидта, можно найти эквивалентную ей ортогональную систему.

Примеры решения задач

Рассмотрим примеры задач, в которых может использоваться процесс ортогонализации Грама-Шмидта. Постарайтесь решить данные примеры самостоятельно, а затем сверить свое решение с приведенным.

  1. Применяя процесс ортогонализации по Грамму-Шмидту построить ортогональный базис подпространства, натянутого на данную систему векторов S=⟨a1,a2,a3⟩.
    a1=(1,2,2,−1),a2=(1,1,−5,3),a3=(3,2,8,−7).

    Решение

    Первым делом, найдем b1. В первом пункте пишется, что b1=a1.

    Дальше найдем b2. Из формулы пункта 2), мы видим, что: b2=a2+λ21⋅b1,λ21=(a2,b1)(b1,b1), все необходимое для решения мы нашли, осталось только решить. Итак:λ21=−(a2,b1)(b1,b1)=−(1⋅1+2⋅1+2⋅(−5)+3⋅(−1))(1⋅1+2⋅2+2⋅2+(−1⋅(−1)))=−(−1010)=1, лямбду мы нашли, b1 у нас есть, теперь мы можем найти b2: b2=a2+λ21⋅b1=(1,1,−5,3)+(1,2,2,−1)=(2,3,−3,2).

    Выпишем же формулу для b3: b3=a3+λ31⋅b1+λ32⋅b2, при λ31=−(a3,b1)(b1,b1),λ32=−(a3,b2)(b2,b2), найдем все необходимое: λ31=−(3⋅1+2⋅2+8⋅2+(−7)⋅(−1))(1⋅1+2⋅2+2⋅2+(−1⋅(−1)))=−3, λ32=−(3⋅2+2⋅3+8⋅(−3)+(−7)⋅2)(2⋅2+3⋅3+(−3⋅(−3))+2⋅2)=1. Теперь вычислим b3: b3=(3,2,8,−7)−3(1,2,2,−1)+1(2,3,−3,2)=(2,−1,−1,2).
    Получили ортогональный базис SОрт=⟨b1,b2,b3⟩ — систему, эквивалентную данной, S=⟨a1,a2,a3⟩. SОрт=⟨(1,2,2,−1),(2,3,−3,2),(2,−1,−1,2)⟩.

  2. Применяя процесс ортогонализации по Грамму-Шмидту построить ортогональный базис подпространства, натянутого на данную систему векторов S=⟨a1,a2,a3⟩.
    a1=(1,1,−1,−2),a2=(5,8,−2,−3),a3=(3,9,3,8).

    Решение

    Первым делом, найдем b1, b1=a1.

    Дальше найдем b2. Из формулы пункта 2) мы видим, что: b2=a2+λ21⋅b1,λ21=(a2,b1)(b1,b1), все необходимое для решения мы нашли, осталось только решить. Итак:λ21=−(5⋅1+8⋅1+(−2⋅(−1))+(−3⋅(−2)))(1⋅1+1⋅1+(−1⋅(−1))+(−2⋅(−2)))=−(217)=3, лямбду мы нашли, b1 у нас есть, теперь мы можем найти b2: b2=a2+λ21⋅b1=(5,8,−2,−3)+(−3,−3,3,6)=(2,5,1,3).

    Выпишем же формулу для b3: b3=a3+λ31⋅b1+λ32⋅b2, при λ31=−(a3,b1)(b1,b1),λ32=−(a3,b2)(b2,b2), найдем все необходимое: λ31=−(3⋅1+9⋅1+3⋅(−1)+8⋅(−2))(1⋅1+1⋅1+(−1⋅(−1))+(−2⋅(−2)))=1, λ32=−(3⋅2+9⋅5+3⋅1+8⋅3)(2⋅2+5⋅5+1⋅1+3⋅3)=−2. Теперь вычислим b3: b3=(3,9,3,8)+1(1,1,−1,−2)−2(2,5,1,3)=(0,0,0,0).
    Получили ортогональный базис SОрт=⟨b1,b2,b3⟩ — систему, эквивалентную данной, S=⟨a1,a2,a3⟩. SОрт=⟨(1,1,−1,−2),(2,5,1,3)⟩.

Смотрите также

  1. Конспект лекций по линейной алгебре. Белозёров Г.С. Евклидовы пространства
  2. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М.: Наука, 1968, Глава 8, §34, «Определение евклидова пространства. Ортонормированные базы», c.213-214
  3. Воеводин В.В. Линейная алгебра. М.: Наука, 1994, Глава 3, §28, «Ортогональность», стр. 92

Процесс ортогонализации Грама-Шмидта

Тест на знание темы «Процесс ортогонализации Грама-Шмидта»