Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

M1815. О перпендикулярах в неплоском четырехугольнике

Задача из журнала «Квант»(2002 год, 2 выпуск)

Условие

Общие перпендикуляры к противоположным сторонам неплоского четырехугольника ABCD взаимно перпендикулярны.

Докажите, что они пересекаются.

Решение

Инструментом решения является теорема Менелая для пространственного четырехугольника, утверждающая, что точки X, U, Y, V, взятые на сторонах четырехугольника AB, BC, CD, DA или их продолжениях, лежат в одной плоскости тогда и только тогда, когда AXXBBUUCCYYDDVVA=1.

Для доказательства теоремы Менелая продолжим прямые XU и YV до пересечения с AC. Точки X, U, Y, V лежат в одной плоскости тогда и только тогда, когда все три прямые пересекаются в одной точке P либо параллельны (рис. 1).

Рис. 1

Но в этом случае, применяя теорему Менелая к треугольникам ABC и ACD, получаем AXXBBUUCCPPA=1 и CYYDDVVAAPPC=1. Перемножая эти равенства, получим требуемое соотношение.

Пусть теперь XY – перпендикуляр к сторонам AB и CD, UV – перпендикуляр к AD и BC. При ортогональной проекции на плоскость, параллельную XY и UV, прямой угол между прямыми AB и XY остается прямым. Поэтому четырехугольник ABCD проецируется в прямоугольник ABCD, а прямые XY и UV – в параллельные его сторонам прямые XY и UV (рис. 2). Очевидно, что AXXBBUUCCYYDDVVA=1.

Рис. 2

Следовательно, AXXBBUUCCYYDDVVA=1, и по теореме Менелая точки X, Y, U, V лежат в одной плоскости. Отсюда сразу следует утверждение задачи.

А.Заславский

Задача о ортогональном проектировании на подпространство

Задача №1:

Найти ортогональную проекцию  y и ортогональную составляющую z вектора x на линейное подпространство L :

x=(4,1,3,4), L натянуто на векторы a1=(1,1,1,1),a2=(1,2,2,1),a3=(1,0,0,3).

Решение:

для начала найдем базу системы векторов a1,a2,a3

111112211003 ~ 111101120112

отсюда получается, что y=p1a1+p2a2, а x=p1a1+p2a2+z

домножим последние уравнение на a1 и a2 и получим систему:

{(x,a1)=p1(a1,a1)+p2(a2,a1)(x,a2)=p1(a1,a2)+p2(a2,a2)  {4=4p1+4p28=4p1+10p2  {p1=3p2=2

отсюда получаем y=3a12a2=(1,1,1,5) и z=xy=(3,0,2,1)

Ответ: z=(3,0,2,1) y=(1,1,1,5).

Задача №2:

Найти  ортогональную  составляющую z вектора x и угол междуx  и линейным подпространством L:

x=(2,2,1,1)L натянуто на векторы a1=(3,4,4,1),a2=(0,1,1,2).

Решение:

x=p1a1+p2a2+z, домножим  уравнение на a1 и a2 и получим систему:

{(x,a1)=p1(a1,a1)+p2(a2,a1)(x,a2)=p1(a1,a2)+p2(a2,a2) {9=42p1+10p21=10p1+6p2 {p1=819p2=3338

отсюда получаем y=819a13338a2=(2419,3219,3219,819)(0,3338,3338,6638)=(2419,3138,3138,2519) и z=xy=(1419,4538,6938,619)

чтобы найти угол между x и подпространством достаточно найти угол между вектором и ортогональной проекцией, то есть: cosα=x1y1+x2y2+x3y3+x4y4x21+x22+x23+x24y21+y22+y23+y24=16815190

Ответ: z=(1419,4538,6938,619),  cosα=16815190

Задача №3:

Найти ортогональную проекцию  y и ортогональную составляющую z вектора x на линейное подпространство L:

x=(5,2,2,2)L натянуто на векторы a1=(2,1,1,1),a2=(1,1,3,0),a3=(1,2,8,1).

Решение:

211111301281  ~ 113021111281  ~ 113001510151

отсюда получается, что y=p1a1+p2a2, а x=p1a1+p2a2+z

домножим последние уравнение на a1,  a2,  и получим систему:

{(x,a1)=p1(a1,a1)+p2(a2,a1)(x,a2)=p1(a1,a2)+p2(a2,a2)  {8=7p1+6p21=6p1+11p2  {p1=2p2=1

отсюда получаем y=2a1a2=(3,1,1,2) и z=xy=(2,1,3,4)

Ответ:  y=(3,1,1,2)z=(2,1,3,4).

Список использованной литературы:

  1. Проскуряков И.В.Сборник задач по линейной алгебре : Наука, 3-е издание. 1966 год. №1402, 1370, 1371.
  2. тест

    Данный тест предназначен для проверки своих знаний по данной теме.