Определение. Открытым шаром с центром в точке x0 и радиусом ρ>0 называется множество всех точек x∈Rn, таких, что |x−x0|<ρ. Этот шар обозначается B(x0,ρ) и называется также ρ-окрестностью точки x0.
Определение. Пусть задано множество E⊂Rn. Точка x0∈E называется внутренней точкой множества E, если существует шар B(x0,ρ), содержащийся в E. Другими словами, точка x0 называется внутренней точкой множества E, если она входит во множество E вместе с некоторой окрестностью.
Определение. Множество E называется открытым, если все его точки являются внутренними точками этого множества. Условимся также считать пустое множество ∅ открытым.
Пример 1. Каждый открытый шар B(x0,r) является открытым множеством.
Действительно, пусть x∈B(x0,r). Нужно доказать, что существует такая окрестность точки x, которая целиком содержится в шаре B(x0,r). Положим ρ=r−|x−x0|. Тогда ρ>0, так как |x−x0|<r. Покажем, что B(x,ρ)⊂B(x0,r). Пусть y∈B(x,Ѕ). Тогда |y−x|<ρ. Оценим расстояние между точками y и x0. По неравенству треугольника имеем |y−x0|⩽|y−x|+|x−x0|<ρ+|x−x0|=r что и требовалось доказать.
В частности, при n=1 открытые шары — это интервалы на действительной прямой, и они являются открытыми множествами на прямой.
Пример 2. Рассмотрим открытые n-мерные интервалы. Для двух заданных векторов a,b∈Rn, таких, что ai<bi(i=1,…,n), открытым интервалом называется множество всех точек x, координаты которых удовлетворяют условиям ai<xi<bi(i=1,…,n). Такой интервал обозначается через (a1,b1,…,an,bn).
В частности, в R2 открытые интервалы — это прямоугольники со сторонами, параллельными координатным осям, а в R3 — параллелепипеды, ребра которых параллельны координатным осям.
Докажем, что любой открытый интервал в Rn является открытым множеством.
Пусть J — открытый интервал и пусть x∈J, т. е. ai<xi<bi(i=1,…,n). Обозначим через δi=min(xi—ai,bi−xi)(i=1,…,n) и δ=min(δ1,…,δn). Покажем, что шар B(x,δ) содержится в J. Действительно, если y∈B(x,δ), то |y−x|<δ. Отсюда следует, что |xi−yi|<δ для всех i=1,…,n. Пользуясь определением числа δ, видим, что ai<yi<bi для всех i=1,…,n, так что y∈J, что и требовалось доказать.
Пример 3. Множество S всех точек на действительной прямой — открытое.
Рассмотрим некую точку x, которая находится на расстоянии ρ от точки x0=(0), затем рассмотрим шар B(x,\eps). Каждая точка, принадлежащая этому шару, также, очевидно, принадлежит всей действительной прямой, т.е. ∀y∈B(x,\eps):y∈S, что означает что любая точка входит в множество S вместе с некоторым шаром, а по определению это значит, что S — открытое множество
Свойства открытых множеств.
Пусть A — множество индексов, и каждому элементу α∈A поставлено в соответствие некоторое множество Eα. Тогда говорят, что задано семейство множеств {Eα}α∈A.
Теорема. Система всех открытых множеств в Rn обладает следующими свойствами:
- все пространство Rn и пустое множество ∅ открыты;
- пересечение любого конечного числа открытых множеств открыто;
- объединение любого семейства {Gα}α∈A открытых множеств открыто.
- Пустое множество ∅ открыто по определению, а всё пространство Rn, очевидно, открыто, поскольку любой шар содержится в Rn.
- Пусть G1,…,Gs — открытые множества, G=s⋂i=1Gi. Пусть x∈G. Тогда x∈Gi для всех i=1,…,s. Но каждое из множеств Gi открыто, так что для каждого i=1,…,s найдется шар B(x,ri)⊂Gi. Среди всех этих шаров выберем шар с наименьшим радиусом B(x,r), где r=min(r1,…,rs). Тогда B(x,r)⊂Gi при каждом i=1,…,s, а значит, B(x,r)⊂G, и тем самым доказано, что множество G открыто.
- Пусть G=⋃α∈AGα, где каждое множество Gα открыто. Докажем, что и множество G также открыто. Действительно, пусть x∈G. Тогда x принадлежит по крайней мере одному из множеств Gα0. Так как это множество Gα0 открыто, то найдется окрестность B(x,ρ)⊂Gα0⊂G. Таким образом, G — открытое множество.
Замечание. Пересечение бесконечного набора открытых множеств не обязано быть открытым множеством. Например, пусть Bk — открытый шар с центром в нуле и радиусом 1k(k=1,2,…). Тогда ∞⋂k=1Bk={0}. Но множество {0}, состоящее из одной точки, не является открытым, поскольку оно не содержит в себе ни одного шара.
Определение. Пусть E — непустое множество в Rn. Тогда совокупность всех его внутренних точек называется внутренностью множества E и обозначается через ˚E или intE.
Теорема. Для любого непустого множества E его внутренность — открытое множество.
Будем предполагать, что ˚E не пусто. Пусть x∈˚E. Тогда x — внутренняя точка множества E (по определению внутренности). Нужно доказать, что x является также внутренней точкой множества ˚E. Итак, найдется шар B(x,ρ)⊂E. Но поскольку шар — открытое множество, то каждая точка y∈B(x,ρ) содержится в этом шаре вместе с некоторой окрестностью Uy. Значит Uy⊂E, и поэтому y — внутренняя точка множества E, т.е. y∈˚E. Таким образом, мы получили, что B(x,ρ)⊂˚E, а это означает, что ˚E — открытое множество, и теорема доказана.
Пример 4. Рассмотрим область определения функции f(x)=1x. D(f)=(−∞;0)∪(0;∞), значит D(f) можно представить в виде объединения двух интервалов D(f)=A1∪A2, где A1=(−∞;0);A2=(0;∞), то есть в виде объединения двух открытых множеств, так как интервалы — открытые множества по доказанному ранее. А значит, по свойству открытых множеств, множество D(f) — открытое множество.
Пример 5. Рассмотрим область определения функции f(x)=√3x. D(f)={x∈R|x⩾0}. Это множество не является открытым, докажем это. Рассмотрим точку x=0. x∈D(f), однако не существует такого открытого шара B(x,ρ), который полностью бы лежал в D(f), так как в этом шаре будет присутствовать точка y, такая что x−ρ<y<x=0. Из этого следует, что y<0 и y не принадлежит D(f). Значит D(f) не является открытым множеством.
9.2.1. Открытые множества
Для закрепления материала предложен тест по теме «Открытые множества».
