9.2.1 Открытые множества

Определение. Открытым шаром с центром в точке $x_0$ и радиусом $\rho >0$ называется множество всех точек $x\in \mathbb{R}^n,$ таких, что $|x-x_0|<\rho.$ Этот шар обозначается $B(x_0,\rho)$ и называется также $\rho$-окрестностью точки $x_0.$

Определение. Пусть задано множество $E \subset \mathbb{R}^n.$ Точка $x_0 \in E$ называется внутренней точкой множества $E,$ если существует шар $B(x_0,\rho),$ содержащийся в $E.$ Другими словами, точка $x_0$ называется внутренней точкой множества $E,$ если она входит во множество $E$ вместе с некоторой окрестностью.

Определение. Множество $E$ называется открытым, если все его точки являются внутренними точками этого множества. Условимся также считать пустое множество $\emptyset$ открытым.

Пример 1. Каждый открытый шар $B(x_0,r)$ является открытым множеством.

Действительно, пусть $x \in B(x_0,r).$ Нужно доказать, что существует такая окрестность точки $x,$ которая целиком содержится в шаре $B(x_0,r).$ Положим $\rho = r-|x-x_0|.$ Тогда $\rho > 0,$ так как $|x-x_0|<r.$ Покажем, что $B(x,\rho) \subset B(x_0,r).$ Пусть $y \in B(x,Ѕ).$ Тогда $|y-x|<\rho.$ Оценим расстояние между точками $y$ и $x_0.$ По неравенству треугольника имеем $$|y-x_0|\leqslant|y-x|+|x-x_0|<\rho + |x-x_0|=r$$ что и требовалось доказать.

В частности, при $n = 1$ открытые шары — это интервалы на действительной прямой, и они являются открытыми множествами на прямой.

Пример 2. Рассмотрим открытые $n$-мерные интервалы. Для двух заданных векторов $a,b \in \mathbb{R}^n,$ таких, что $a^i < b^i (i=1,…,n),$ открытым интервалом называется множество всех точек $x,$ координаты которых удовлетворяют условиям $a^i < x^i < b^i (i=1,…,n).$ Такой интервал обозначается через $(a^1,b^1,…,a^n,b^n).$

В частности, в $\mathbb{R}^2$ открытые интервалы — это прямоугольники со сторонами, параллельными координатным осям, а в $\mathbb{R}^3$ — параллелепипеды, ребра которых параллельны координатным осям.

Докажем, что любой открытый интервал в $\mathbb{R}^n$ является открытым множеством.

Пусть $J$ — открытый интервал и пусть $x \in J,$ т. е. $a^i < x^i < b^i (i=1,…,n).$ Обозначим через $\delta^i = min(x^i — a^i,b^i-x^i)(i=1,…,n)$ и $\delta=min(\delta^1,…,\delta^n).$ Покажем, что шар $B(x,\delta)$ содержится в $J.$ Действительно, если $y \in B(x,\delta),$ то $|y-x|<\delta.$ Отсюда следует, что $|x^i-y^i|<\delta$ для всех $i=1,…,n.$ Пользуясь определением числа $\delta,$ видим, что $a^i < y^i < b^i$ для всех $i=1,…,n,$ так что $y \in J,$ что и требовалось доказать.

Пример 3. Множество $S$ всех точек на действительной прямой — открытое.

Рассмотрим некую точку $x,$ которая находится на расстоянии $\rho$ от точки $x_0 = (0),$ затем рассмотрим шар $B(x,\eps).$ Каждая точка, принадлежащая этому шару, также, очевидно, принадлежит всей действительной прямой, т.е. $\forall y \in B(x,\eps): y \in S,$ что означает что любая точка входит в множество $S$ вместе с некоторым шаром, а по определению это значит, что $S$ — открытое множество

Свойства открытых множеств.

Пусть $\mathcal{A}$ — множество индексов, и каждому элементу $\alpha \in \mathcal{A}$ поставлено в соответствие некоторое множество $E_{\alpha}.$ Тогда говорят, что задано семейство множеств $\{E_{\alpha}\}_{\alpha \in \mathcal{A}}.$

Теорема. Система всех открытых множеств в $\mathbb{R}^n$ обладает следующими свойствами:

  1. все пространство $\mathbb{R}^n$ и пустое множество $\emptyset$ открыты;
  2. пересечение любого конечного числа открытых множеств открыто;
  3. объединение любого семейства $\{G_{\alpha}\}_{\alpha \in \mathcal{A}}$ открытых множеств открыто.
  1. Пустое множество $\emptyset$ открыто по определению, а всё пространство $\mathbb{R}^n,$ очевидно, открыто, поскольку любой шар содержится в $\mathbb{R}^n.$
  2. Пусть $G_1,…,G_s$ — открытые множества, $G = \bigcap\limits_{i=1}^s G_i.$ Пусть $x \in G.$ Тогда $x \in G_i$ для всех $i=1,…,s.$ Но каждое из множеств $G_i$ открыто, так что для каждого $i=1,…,s$ найдется шар $B(x,r_i) \subset G_i.$ Среди всех этих шаров выберем шар с наименьшим радиусом $B(x,r),$ где $r = min(r_1,…,r_s).$ Тогда $B(x, r) \subset G_i$ при каждом $i=1,…,s,$ а значит, $B(x,r) \subset G,$ и тем самым доказано, что множество $G$ открыто.
  3. Пусть $G = \bigcup\limits_{\alpha \in \mathcal{A}} G_{\alpha},$ где каждое множество $G_{\alpha}$ открыто. Докажем, что и множество $G$ также открыто. Действительно, пусть $x \in G.$ Тогда $x$ принадлежит по крайней мере одному из множеств $G_{\alpha_0}.$ Так как это множество $G_{\alpha_0}$ открыто, то найдется окрестность $B(x,\rho) \subset G_{\alpha_0} \subset G.$ Таким образом, $G$ — открытое множество.

Замечание. Пересечение бесконечного набора открытых множеств не обязано быть открытым множеством. Например, пусть $B_k$ — открытый шар с центром в нуле и радиусом $\frac{1}{k} (k = 1,2,…).$ Тогда $\bigcap\limits^{\infty}_{k=1} B_k = \{0\}.$ Но множество $\{0\},$ состоящее из одной точки, не является открытым, поскольку оно не содержит в себе ни одного шара.

Определение. Пусть $E$ — непустое множество в $\mathbb{R}^n.$ Тогда совокупность всех его внутренних точек называется внутренностью множества $E$ и обозначается через $\mathring{E}$ или $\text{int} E.$

Теорема. Для любого непустого множества $E$ его внутренность — открытое множество.

Будем предполагать, что $\mathring{E}$ не пусто. Пусть $x \in \mathring{E}.$ Тогда $x$ — внутренняя точка множества $E$ (по определению внутренности). Нужно доказать, что $x$ является также внутренней точкой множества $\mathring{E}.$ Итак, найдется шар $B(x,\rho) \subset E.$ Но поскольку шар — открытое множество, то каждая точка $y \in B(x,\rho)$ содержится в этом шаре вместе с некоторой окрестностью $U_y.$ Значит $U_y \subset E,$ и поэтому $y$ — внутренняя точка множества $E,$ т.е. $y \in \mathring{E}.$ Таким образом, мы получили, что $B(x,\rho) \subset \mathring{E},$ а это означает, что $\mathring{E}$ — открытое множество, и теорема доказана.

Пример 4. Рассмотрим область определения функции $f(x) = \frac{1}{x}.$ $D(f) = (-\infty;0)\cup(0;\infty),$ значит $D(f)$ можно представить в виде объединения двух интервалов $D(f) = A_1 \cup A_2,$ где $A_1 = (-\infty;0); A_2 = (0;\infty),$ то есть в виде объединения двух открытых множеств, так как интервалы — открытые множества по доказанному ранее. А значит, по свойству открытых множеств, множество $D(f)$ — открытое множество.

Пример 5. Рассмотрим область определения функции $f(x) = \sqrt{3x}.$ $D(f)=\{x \in \mathbb{R} | x \geqslant 0\}.$ Это множество не является открытым, докажем это. Рассмотрим точку $x=0.$ $x \in D(f),$ однако не существует такого открытого шара $B(x,\rho),$ который полностью бы лежал в $D(f),$ так как в этом шаре будет присутствовать точка $y,$ такая что $x-\rho < y < x = 0.$ Из этого следует, что $y < 0$ и $y$ не принадлежит $D(f).$ Значит $D(f)$ не является открытым множеством.

9.2.1. Открытые множества

Для закрепления материала предложен тест по теме «Открытые множества».

Двойственность открытых и замкнутых множеств

Пусть множество [latex]E \subset \mathbb{R}^n[/latex]. Тогда множество всех точек [latex]x \in \mathbb{R}^n[/latex], не принадлежащих множеству [latex]E[/latex], называется дополнением множества [latex]E[/latex] и обозначается [latex]cE[/latex] или [latex]E^c[/latex].

Теорема. Для того чтобы множество [latex]E \subset \mathbb{R}^n[/latex] было замкнутым, необходимо и достаточно, чтобы его дополнение [latex]G \equiv cF[/latex] было открытым. Доказательство.
Необходимость. Пусть [latex]E[/latex] замкнуто и [latex]x[/latex] – произвольная точка из [latex]G[/latex]. Докажем, что она будет внутренней в [latex]G[/latex]. Поскольку [latex]x \notin E[/latex], то она не будет предельной точкой для [latex]E[/latex] и найдется такая ее окрестность [latex]U_x[/latex], которая не содержит ни одной точки из [latex]E[/latex]. Следовательно, эта окрестность полностью содержится в [latex]G[/latex], так что [latex]x[/latex] – внутренняя точка множества [latex]G[/latex].
Достаточность. Предположим теперь, что [latex]G[/latex] – открыто. Докажем тогда, что [latex]E[/latex] замкнуто. Для этого достаточно показать, что любая точка [latex]x[/latex], которая не принадлежит [latex]E[/latex], не будет предельной для [latex]E[/latex]. Если [latex]x \notin E[/latex], то [latex]x \in G[/latex], а так как [latex]G[/latex] открыто, следовательно найдется окрестность [latex]U_x \subset G[/latex]. Она не будет содержать точек из [latex]E[/latex], так что [latex]x[/latex] не является предельной для [latex]E[/latex], ч. т. д.

Отношение двойственности. Пусть [latex] \left\{ E_{\alpha} \right\} [/latex] – произвольное семейство множеств. Тогда дополнение к объединению множеств [latex]E_{\alpha}[/latex] равно пересечению дополнений множеств [latex]E_{\alpha}[/latex], а дополнение к пересечению равно объединению дополнений, т. е. [latex]c(\bigcup E_{\alpha}) = \bigcap(cE_{\alpha}), c(\bigcap E_{\alpha}) = \bigcup(cE_{\alpha})[/latex].

Литература:

Примеры открытых множеств

new

Точки [latex](x, y)[/latex] удовлетворяющие [latex]x^2 + y^2 = r^2[/latex] окрашены синим. Точки [latex](x, y)[/latex] удовлетворяющие [latex]x^2 + y^2 < r^2[/latex] окрашены красным. Красные точки образует открытое множество. Объединение красных и синих точек есть замкнутое множество.

Пример 1. Любой открытый шар [latex]B(x_0,r)[/latex] является открытым множеством.
Пусть [latex]x \in B(x_0,r)[/latex]. Докажем, что найдется окрестность [latex]x[/latex], которая целиком содержится в [latex]B(x_0,r)[/latex]. Предположим, что [latex]\rho = r — \left|x — x_0 \right|[/latex]. Тогда [latex]\rho > 0[/latex], так как [latex]\left|x — x_0 \right| < r[/latex]. Покажем, что [latex]B(x,\rho) \subset B(x_0,r)[/latex]. Пусть [latex]y \in B(x,\rho)[/latex]. Тогда [latex]\left|y — x \right| < \rho[/latex]. Оценим расстояние между [latex]y[/latex] и [latex]x_0[/latex]. По неравенству треугольника имеем

[latex]\left| y — x_0 \right| \leq \left| y — x \right| + \left| x — x_0 \right| < \rho + \left| x — x_0 \right| = r[/latex],

что и требовалось доказать.

В частности, при [latex]n = 1[/latex] открытые шары – это интервалы на действительной прямой, и они являются открытыми множествами на прямой.
Пример 2. Для двух векторов [latex]a,b \in \mathbb{R}^n[/latex], таких, что [latex]a^i < b^i (i = 1…,n)[/latex], открытым интервалом называется множество всех точек [latex]x[/latex], координаты которых удовлетворяют условиям [latex]a^i < x^i < b^i (i = 1,…,n)[/latex]. Такой интервал обозначается через [latex](a^1,b^1;…;a^n,b^n)[/latex].В частности, в [latex]\mathbb{R}^2[/latex] открытые интервалы – это прямоугольники со сторонами, параллельными координатным осям, а в [latex]\mathbb{R}^3[/latex] – параллелепипеды, ребра которых параллельны координатным осям.

Докажем, что любой открытый интервал в [latex]\mathbb{R}^n[/latex] является открытым множеством.

Пусть [latex]J[/latex] – открытый интервал и пусть [latex]x \in J[/latex], т. е. [latex]a^i < x^i < b^i (i = 1,…,n)[/latex]. Обозначим через [latex]\delta^i = min(x^i — a^i,b^i — x^i) (i = 1,…,n)[/latex] и [latex] \delta = min(\delta^1,…,\delta^n)[/latex]. Покажем, что [latex]B(x,\delta)[/latex] содержится в [latex]J[/latex]. Действительно, если [latex]y \in B(x,\delta)[/latex], то [latex]|y-x| < \delta[/latex]. Отсюда следует, что [latex]|x^i -y^i| < \delta[/latex] для всех [latex]i = 1,…,n[/latex]. Пользуясь определением числа [latex]\delta[/latex], легко показать, что [latex]a^i < y^i < bi[/latex] для всех [latex]i = 1,…,n[/latex], так что [latex]y \in J[/latex].

Литература:

Открытые множества и их свойства

ОТКРЫТЫЕ МНОЖЕСТВА

Определение. Множество всех точек [latex]x[/latex]пространства [latex]mathbb{R}^n[/latex], таких, что [latex]| x- x_0| < rho, rho > 0[/latex], называется открытым шаром с центром в точке [latex]x_0[/latex] и радиусом [latex]rho[/latex]. Этот шар также называется [latex]rho[/latex]-окрестностью точки [latex]x_0[/latex] и обозначается [latex]B(x_0,rho)[/latex].

Определение. Зададим подмножество [latex]E[/latex] пространства [latex]mathbb{R}^n[/latex]. Точка [latex]x_0[/latex] множества [latex]E[/latex] называется внутренней точкой множества, если существует [latex]B(x_0,rho)[/latex], содержащийся в [latex]E[/latex]. Иными словами, [latex]x_0[/latex] является внутренней точкой множества [latex]E[/latex], если она входит в [latex]E[/latex] вместе с некоторой окрестностью.

Определение. Множество [latex]E subset mathbb{R}^n[/latex] называется открытым, если любая его точка будет внутренней в [latex]E[/latex]. Условимся также считать пустое множество [latex]varnothing[/latex] открытым.

СВОЙСТВА ОТКРЫТЫХ МНОЖЕСТВ

Обозначим через [latex]A[/latex] множество индексов, и каждому элементу [latex]alpha in A[/latex] поставим в соответствие множество [latex]E_{alpha}[/latex]. Тогда [latex]left{E_{alpha}right}_{alpha in A}[/latex] называется семейством множеств

Теорема. Открытые множества в пространстве [latex]mathbb{R}^n[/latex] обладают такими свойствами:

  1. Пустое множество [latex]varnothing[/latex] и всё пространство [latex]mathbb{R}^n[/latex] открыты;
  2. Пересечение всякого конечного числа открытых множеств также открыто;
  3. Объединение всякого семейства [latex]left{G_{alpha}right}_{alpha in A}[/latex] открытых множеств также открыто

Доказательство.

  1. Пустое множество [latex]varnothing[/latex] является открытым по определению, а пространство [latex]mathbb{R}^n[/latex], очевидно, открыто, так как всякий шар содержится в [latex]mathbb{R}^n[/latex].
  2. Пусть [latex]E_1,…,E_n[/latex] – открытые множества,[latex]E = bigcap_{i=1}^{n}[/latex]. Предположи, что [latex]x in E[/latex]. Тогда [latex]x in E_i[/latex] для любого [latex]i=1,…,n[/latex]. Но все множества [latex]E_i[/latex] являются открытыми, так что для любого [latex]i=1,…,n[/latex] найдется открытый шар [latex]B(x,rho_i) subset E_i[/latex]. Среди всех этих шаров выберем шар с наименьшим радиусом [latex]B(x,rho)[/latex], где [latex]r=min(rho_1,…,rho_n)[/latex]. Тогда [latex]E(x,rho) subset E_i[/latex] при каждом [latex]i=1,…,n[/latex], а значит, [latex]B(x,rho) subset E[/latex], и тем самым доказано, что множество [latex]E[/latex] открыто.
  3. Пусть [latex]E=bigcup_{alpha in A}E_{alpha}[/latex], где все множества [latex]E_{alpha}[/latex] открыты. Докажем, что множество [latex]E[/latex] также открыто. Предположим, что [latex]x in E[/latex]. Тогда [latex]x[/latex] принадлежит хотя бы одному из множеств [latex]E_{alpha_0}[/latex]. Так как это множество [latex]E_{alpha_0}[/latex] открыто, то найдется окрестность [latex]B(x,rho) subset E_{alpha_0} subset E[/latex]. Таким образом, [latex]E[/latex] – открытое множество.

[latex]square[/latex]

Замечание. Пересечение бесконечного семейства открытых множеств не обязательно будет открытым. К примеру, пусть [latex]B_k[/latex] – открытый шар с центром в нуле и радиусом [latex]frac{1}{k}(k=1,2,…)[/latex]. Тогда [latex]bigcap_{k=1}^{infty}B_k = left{0right}[/latex]. Но множество [latex]left{0right}[/latex], состоящее из одной точки, не является открытым, поскольку оно не содержит в себе ни одного шара.

Литература:

Открытые множества и их свойства

Тест по теме «Открытые множества и их свойства»


Таблица лучших: Открытые множества и их свойства

максимум из 20 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Открытые множества и их свойства

Открытые множества

Определение. Множество всех точек $x$пространства $\mathbb{R}^n$, таких, что $| x- x_0| < \rho, \rho > 0$, называется открытым шаром с центром в точке $x_0$ и радиусом $\rho$. Этот шар также называется $\rho$-окрестностью точки $x_0$ и обозначается $B(x_0,\rho)$.

Определение. Зададим подмножество $E$ пространства $\mathbb{R}^n$. Точка $x_0$ множества $E$ называется внутренней точкой множества, если существует $B(x_0,\rho)$, содержащийся в $E$. Иными словами, $x_0$ является внутренней точкой множества $E$, если она входит в $E$ вместе с некоторой окрестностью.

Определение. Множество $E \subset \mathbb{R}^n$ называется открытым, если любая его точка будет внутренней в $E$. Условимся также считать пустое множество $\varnothing$ открытым.

Свойства открытых множеств

Обозначим через $A$ множество индексов, и каждому элементу $\alpha \in A$ поставим в соответствие множество $E_{\alpha}$. Тогда $\left\{E_{\alpha}\right\}_{\alpha \in A}$ называется семейством множеств

Теорема. Открытые множества в пространстве $\mathbb{R}^n$ обладают такими свойствами:

  1. Пустое множество $\varnothing$ и всё пространство $\mathbb{R}^n$ открыты;
  2. Пересечение всякого конечного числа открытых множеств также открыто;
  3. Объединение всякого семейства $\left\{G_{\alpha}\right\}_{\alpha \in A}$ открытых множеств также открыто

Доказательство.

  1. Пустое множество $\varnothing$ является открытым по определению, а пространство $\mathbb{R}^n$, очевидно, открыто, так как всякий шар содержится в $\mathbb{R}^n$.
  2. Пусть $E_1,…,E_n$ – открытые множества,$E=\bigcap _{ i=1 }^{ n }{E}_{i} $. Предположим, что $x \in E$. Тогда $x \in E_i$ для любого $i=1,…,n$. Но все множества $E_i$ являются открытыми, так что для любого $i=1,…,n$ найдется открытый шар $B(x,\rho_i) \subset E_i$. Среди всех этих шаров выберем шар с наименьшим радиусом $B(x,\rho)$, где $r=min(\rho_1,…,\rho_n)$. Тогда $E(x,\rho) \subset E_i$ при каждом $i=1,…,n$, а значит, $B(x,\rho) \subset E$, и тем самым доказано, что множество $E$ открыто.
  3. Пусть $E=\bigcup_{\alpha \in A}E_{\alpha}$, где все множества $E_{\alpha}$ открыты. Докажем, что множество $E$ также открыто. Предположим, что $x \in E$. Тогда $x$ принадлежит хотя бы одному из множеств ${E}_{{\alpha}_{0}}$. Так как это множество ${E}_{{\alpha}_{0}}$ открыто, то найдется окрестность $B(x,\rho) \subset {E}_{{\alpha}_{0}} \subset E$. Таким образом, $E$ – открытое множество.$\square$

Замечание. Пересечение бесконечного семейства открытых множеств не обязательно будет открытым. К примеру, пусть $B_k$ – открытый шар с центром в нуле и радиусом $\frac{1}{k}(k=1,2,…)$. Тогда $\bigcap_{k=1}^{\infty}B_k = \left\{0\right\}$. Но множество $\left\{0\right\}$, состоящее из одной точки, не является открытым, поскольку оно не содержит в себе ни одного шара.

Литература:

Открытые множества и их свойства

Тест по теме «Открытые множества и их свойства»


Таблица лучших: Открытые множества и их свойства

максимум из 20 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных