Метка: параметр

Оглавление

1. Несобственный интеграл, зависящий от параметра. Определение.
2. Равномерная сходимость
3. Примеры
4. Список литературы
5. Тесты

Несобственный интеграл, зависящий от параметра

Пусть функция двух переменных $f(x,y)$ определена на данной области: $\{a \leq x < + \infty, c \leq y \leq d\}$ (см. рисунок), и при каждом фиксированном $y \, \epsilon \, [c,d]$ существует несобственный интеграл $\int\limits_{a}^{+\infty} f(x,y)\,dx$, являющийся функцией от $y$. Тогда функция $I(y) = \int\limits_{a}^{+\infty} f(x,y)\,dx$ $y \, \epsilon \, [c,d]$ называется несобственным интегралом первого рода, зависящим от параметра $y$. Также, интервал $[c,d]$ может быть бесконечным.

Возьмем функцию $f(x,y)$. Интеграл вида $\int\limits_a^b f(x,y)\,dx$ является сходящимся на множестве $Y$, при выполнении следующих условий:

1. $- \infty < a < b   \leq + \infty$
2. функция $f(x,y)$ определена на $[a, b)   \times Y$, где $Y$ является множеством параметров.
3. $\forall \eta$ $\epsilon$ $[a,b)$ и $y$ $\epsilon$ $Y$ функция $f(x,y)$ интегрируема по Риману на отрезке $[a, \eta ]$.
4. $\forall y$ $\epsilon$ $Y$ несобственный интеграл $\int\limits_a^b f(x,y)dx$ сходится.

Можно сделать вывод, что несобственный интеграл $\int\limits_a^b f(x,y)dx$ сходится на $Y$, при условии, что $\forall y$ $\epsilon$ $Y$ и для любого числа $\varepsilon > 0$ существует такое $\eta(y, \varepsilon) < b$, такое, что для любого $\eta^\prime \, \epsilon (\eta, b)$ выполняется неравенство  

$$\left|\int\limits_{\eta^\prime}^{b} f(x,y)dx\right| <\varepsilon .$$

Читать далее «Несобственные интегралы, зависящие от параметра, равномерная сходимость.»