Задача

Центры $A$, $B$ и $C$ трех непересекающихся окружностей с одинаковыми радиусами расположены в вершинах треугольника. Из точек $A$, $B$, $C$ проведены касательные к данным окружностям так, как показано на рисунке 1. Известно, что эти касательные, пересекаясь, образовали выпуклый шестиугольник, стороны которого через одну покрашены в красный и синий цвета. Докажите, что сумма длин красных отрезков равна сумме длин синих отрезков.

Решение

Введем обозначения так, как показано на рисунке 1. Так как данные окружности имеют одинаковые радиусы, то:

$AC_{1}=CA_{2}$, $BA_{1}=AB_{2}$, $CB_{1}=BC_{2}$,

или

$AB_{4}+B_{4}C_{5}+C_{5}C_{1}=CB_{4}+B_{4}A_{3}+A_{3}A_{2}$,

$BC_{4}+C_{4}A_{3}+A_{3}A_{1}=AC_{4}+C_{4}B_{3}+B_{3}B_{2}$,

$CA_{4}+A_{4}B_{3}+B_{3}B_{1}=BA_{4}+A_{4}C_{2}+C_{5}C_{2}$.

Сложив полученные равенства и заметив, что

$A_{3}A_{1}=A_{3}A_{2}$,

$B_{3}B_{1}=B_{3}B_{2}$,

$C_{3}C_{1}=C_{3}C_{2}$

(как отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки) и

$AC_{4}=C_{4}B$, $BA_{4}=A_{4}C$, $CB_{4}=B_{4}A$

(так как радиусы данных окружностей равны), получим

$B_{4}C_{3}+C_{4}A_{3}+A_{4}B_{3}=B_{4}A_{3}+C_{4}B_{3}+A_{4}C_{3}$,

что и требовалось доказать.

Замечания

1. Аналогичное утверждение справедливо и в случае, изображенном на рисунке 2.

                                                                                                                                                       Д.Терешин