Автор: Денисова Ольга

Определение локального экстремума. Необходимые условия экстремума в терминах частных производных и дифференциала

Определение

Пусть [latex]f[/latex] — действительная функция на открытом множестве [latex]E\subset\mathbb{R}^{n}[/latex]. Говорят, что [latex]f[/latex] имеет локальный максимум в точке [latex]x_{0}\in E[/latex], если существует такая окрестность [latex]U[/latex] точки [latex]x_{0}[/latex], что для всех [latex]x\in U[/latex] выполняется неравенство [latex]f\left(x\right)\leq f\left(x_{0}\right)[/latex].

Локальный максимум называется строгим, если окрестность [latex]U[/latex] можно выбрать так, чтобы для всех [latex]x\in U[/latex], отличных от [latex]x_{0}[/latex], было [latex]f\left(x\right)<f\left(x_{0}\right)[/latex].

Аналогично определяется локальный минимум. Оба объединяются под общим названием локального экстремума.

Необходимые условия экстремума

Пусть [latex]f[/latex] — действительная функция на открытом множестве [latex]E\subset\mathbb{R}^{n}[/latex]. Если в точке [latex]x_{0}\in E[/latex] функция [latex]f[/latex] имеет локальный экстремум и дифференцируема в этой точке, то

в терминах дифференциала

[latex]df\left(x_{0}\right)=0[/latex]

или в терминах частных производных

[latex]\frac{\partial f}{\partial x^{i}}\left(x_{0}\right)=0[/latex].

Доказательство

В одномерном случае это — теорема Ферма. Обозначим [latex]\varphi\left(t\right)=f\left(x_{0}+th\right)[/latex], где [latex]h[/latex] — произвольный вектор. Функция [latex]\varphi[/latex] определена на достаточно малых по модулю значениях [latex]t[/latex]. Кроме того, по теореме о производной сложной функции, она дифференцируема, и [latex]{\varphi}’\left(t\right)=df\left(x_{0}+th\right)h[/latex].

Пусть [latex]f[/latex] имеет локальный экстремум в точке [latex]x_{0}[/latex]. Значит, функция [latex]\varphi[/latex] при [latex]t=0[/latex] имеет локальный максимум и, по теореме Ферма, [latex]{\varphi}’\left(0\right)=0[/latex].

Мы получили, что [latex]df\left(x_{0}\right)=0[/latex], т.е. дифференциал функции [latex]f[/latex] в точке [latex]x_{0}[/latex] равен нулю на любом векторе [latex]h[/latex].

Литература

Определение локального экстремума. Необходимые условия экстремума в терминах частных производных и дифференциала

После прочтения статьи, для закрепления материала, рекомендуется пройти тест по данной теме


Таблица лучших: Определение локального экстремума. Необходимые условия экстремума в терминах частных производных и дифференциала

максимум из 3 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Определение дифференциалов высших порядков и их свойства

Определение

$k$-й дифференциал является однородным целым многочленом степени $k$, или как говорят, является формой $k$-й степени относительно дифференциалов независимых переменных, коэффициентами при которых служат частные производные $k$-го порядка, умноженные на целочисленные постоянные (полиномиальные коэффициенты).

Объяснение

Пусть в области $D$ задана некоторая функция $u=f\left(x_{1},x_{2},…,x_{n}\right)$, имеющая непрерывные частные производные первого порядка. Дифференциалом  $du$ будем называть следующее выражение:

$$du=\frac{\partial u}{\partial x_{1}}dx_{1}+\frac{\partial u}{\partial x_{2}}dx_{2}+…+\frac{\partial u}{\partial x_{n}}dx_{n}$$,

где  $dx_{1},…,dx_{n}$ — произвольные приращения независимых переменных  $x_{1},…,x_{n}$.

Предположим, что существуют непрерывные частные производные второго порядка для  $u$, то есть $du$ будет иметь непрерывные частные производные первого порядка, и можно говорить о дифференциале от этого дифференциала $d\left(du\right)$, который называется дифференциалом второго порядка, и обозначается символом  $d^{2}u$.

Важно, что приращения  $dx_{1},dx_{2},…,dx_{n}$ остаются одними и теми же при переходе от одного дифференциала к следующему.

Таким образом, если воспользоваться правилами дифференцирования, будем иметь:

$d^{2}u=d\left(du\right)=d\left(\frac{\partial u}{\partial x_{1}}dx_{1}+\frac{\partial u}{\partial x_{2}}dx_{2}+…+\frac{\partial u}{\partial x_{n}}dx_{n}\right)$$=d\left(\frac{\partial u}{\partial x_{1}}\right)dx_{1}+d\left(\frac{\partial u}{\partial x_{2}}\right)dx_{2}+…+d\left(\frac{\partial u}{\partial x_{n}}\right)dx_{n}$.

Аналогично определяется дифференциал третьего порядка, $d^{3}u$, и т.д. Вообще, если дифференциал  $\left(k-1\right)$-го порядка, $d^{k-1}u$, уже определен, то дифференциал  $k$-го порядка можно определить реккурентной формулой :

$$
d^{k}u=d\left(d^{k-1}u\right)
$$

Иными словами, если для функции $u$ существуют непрерывные частные производные всех порядков до $k$-го порядка включительно, то $k$-й дифференциал существует.
 

Пример

Спойлер

Рассмотрим вычисление дифференциалов в общем случае(до четвертого порядка):
Если $u=f\left(x,y\right)$, то

$d^{2}u=\frac{\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}dx^{2}+2\frac{\partial ^{2}u}{\partial x\partial y}dxdy+\frac{\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}dy^{2}$,

$d^{3}u=\frac{\partial^{3}u}{\partial x^{3}}dx^{3}+3\frac{\partial^{3}u}{\partial x^{2}\partial y}dxdy+3\frac{\partial^{3}u}{\partial x\partial y^{2}}dxdy+\frac{\partial^{3}u}{\partial y^{3}}dy^{3}$,

$d^{4}u=\frac{\partial^{4}u}{\partial x^{4}}dx^{4}+4\frac{\partial^{4}u}{\partial x^{3}\partial y}dx^{3}dy+6\frac{\partial^{4}u}{\partial x^{2}\partial y^{2}}dx^{2}dy^{2}+4\frac{\partial^{4}u}{\partial x\partial y^{3}}dxdy^{3}+\frac{\partial^{4}u}{\partial y^{4}}dy^{4}$

и т.д.

[свернуть]

Свойства дифференциалов высших порядков

  • Дифференциал $n$-го порядка независимой переменной при $n>1$ равен нулю

$d^{n}\left(x\right)=0$

Предположим, что существуют $d^{n}u$ и $d^{n}v$. Тогда:

  • $d^{n}\left(Au+Bv\right)=Ad^{n}u+Bd^{n}v$

A, B — константы, следовательно

  • $d^{n}uv=\sum\limits_{k=1}\limits^{n}C_{n}^{k}d^{k}ud^{n-k}v$

Литература

Определение дифференциалов высших порядков и их свойства

После прочтения статьи, для закрепления материала, рекомендуется пройти тест по данной теме

Таблица лучших: Определение дифференциалов высших порядков и их свойства

максимум из 2 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Определение стационарной точки. Пример функции, не достигающей экстремума в стационараной точке

Определение стационарной точки(для функции многих переменных)

В терминах частных производных

Стационарными называются точки, в которых частные производные первого порядка все обращаются в нуль.
[latex] \left.\begin{matrix}\\{f_{x_{1}}}’\left(x_{1},x_{2},…,x_{n}\right)=0\\{f_{x_{2}}}’\left(x_{1},x_{2},…,x_{n}\right)=0\\…………………….\\{f_{x_{n}}}’\left(x_{1},x_{2},…,x_{n}\right)=0\end{matrix}\right\}[/latex]

В терминах дифференциалов

Если функция [latex]f\left(x\right)[/latex] дифференцируема в точке [latex]x^{0}[/latex] и [latex]df\left(x^{0}\right)=0[/latex], то точка [latex]x^{0}[/latex] называется стационарной точкой функции [latex]f\left(x\right)[/latex].

Точка экстремума дифференцируемой функции в силу необходимых условий экстремума будет стационарной точкой. Обратное утверждение не верно. Стационарная точка может не быть точкой экстремума.

Функции, достигающие стационарную точку не в экстремуме

Пример

Показать, что [latex]\left(0,0\right)[/latex] является стационарной точкой функции [latex]f\left(x,y\right)=xy[/latex], но [latex]\left(0,0\right)[/latex] не есть точка экстремума этой функции.

График функции [latex]z=xy[/latex].

1234

Так как [latex]df\left(x,y\right)=ydx+xdy[/latex], то [latex]df\left(0,0\right)=0[/latex] и [latex]\left(0,0\right)[/latex] есть стационарная точка функции [latex]f\left(x,y\right)[/latex]. Но для любого [latex]\delta>0[/latex] точки [latex]\left(\delta,\delta,\right)[/latex] и [latex]\left(\delta,-\delta,\right)[/latex] лежат в круге [latex]S_{2\delta}\left(0,0\right)[/latex] и

[latex]f\left(\delta,\delta\right)=\delta^{2}>f\left(0,0\right)=0[/latex],

[latex]f\left(\delta,-\delta\right)=-\delta^{2}<f\left(0,0\right)=0[/latex].

Поэтому [latex]\left(0,0\right)[/latex] не есть точка экстремума функции [latex]f\left(x,y\right)[/latex].

Литература

Определение стационарной точки. Пример функции, не достигающей экстремума в стационараной точке

После прочтения статьи, для закрепления материала, рекомендуется пройти тест по данной теме


Таблица лучших: Определение стационарной точки. Пример функции, не достигающей экстремума в стационараной точке

максимум из 3 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

M1567

Задача

Центры [latex]A[/latex], [latex]B[/latex] и [latex]C[/latex] трех непересекающихся окружностей с одинаковыми радиусами расположены в вершинах треугольника. Из точек [latex]A[/latex], [latex]B[/latex], [latex]C[/latex] проведены касательные к данным окружностям так, как показано на рисунке 1. Известно, что эти касательные, пересекаясь, образовали выпуклый шестиугольник, стороны которого через одну покрашены в красный и синий цвета. Докажите, что сумма длин красных отрезков равна сумме длин синих отрезков.

123344

Решение

Введем обозначения так, как показано на рисунке 1. Так как данные окружности имеют одинаковые радиусы, то:

[latex]AC_{1}=CA_{2}[/latex], [latex]BA_{1}=AB_{2}[/latex], [latex]CB_{1}=BC_{2}[/latex],

или

[latex]AB_{4}+B_{4}C_{5}+C_{5}C_{1}=CB_{4}+B_{4}A_{3}+A_{3}A_{2}[/latex],

[latex]BC_{4}+C_{4}A_{3}+A_{3}A_{1}=AC_{4}+C_{4}B_{3}+B_{3}B_{2}[/latex],

[latex]CA_{4}+A_{4}B_{3}+B_{3}B_{1}=BA_{4}+A_{4}C_{2}+C_{5}C_{2}[/latex].

Сложив полученные равенства и заметив, что

[latex]A_{3}A_{1}=A_{3}A_{2}[/latex],

[latex]B_{3}B_{1}=B_{3}B_{2}[/latex],

[latex]C_{3}C_{1}=C_{3}C_{2}[/latex]

(как отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки) и

[latex]AC_{4}=C_{4}B[/latex], [latex]BA_{4}=A_{4}C[/latex], [latex]CB_{4}=B_{4}A[/latex]

(так как радиусы данных окружностей равны), получим

[latex]B_{4}C_{3}+C_{4}A_{3}+A_{4}B_{3}=B_{4}A_{3}+C_{4}B_{3}+A_{4}C_{3}[/latex],

что и требовалось доказать.

Замечания

1. Аналогичное утверждение справедливо и в случае, изображенном на рисунке 2.

22

                                                                                                                                                       Д.Терешин