M1567. О шестиугольнике, полученном при пересечении касательных

Задача из журнала «Квант» (1997, №2)

Условие

Центры [latex]A, B, C[/latex]  и  трех непересекающихся окружностей с одинаковыми радиусами расположены в вершинах треугольника. Из точек [latex]A, B, C[/latex] проведены касательные к данным окружностям так, как показано на рисунке 1. Известно, что эти касательные, пересекаясь, образовали выпуклый шестиугольник, стороны которого через одну покрашены в красный и синий цвета. Докажите, что сумма длин красных отрезков равна сумме длин синих отрезков.

Решение

Введем обозначения так, как показано на рисунке 1.

первый

Так как данные окружности  имеют одинаковые радиусы, то

[latex]AC[/latex][latex]1[/latex] [latex]=CA[/latex][latex]2[/latex], [latex]BA[/latex][latex]1[/latex] [latex]=AB[/latex][latex]2[/latex], [latex]CB[/latex][latex]1[/latex] [latex]=BC[/latex][latex]2[/latex],

или

[latex]AB[/latex][latex]4[/latex][latex]+B[/latex][latex]4[/latex][latex]C[/latex][latex]3[/latex][latex]+C[/latex][latex]3[/latex][latex]C[/latex][latex]1[/latex] [latex]=CB[/latex][latex]4[/latex][latex]+B[/latex][latex]4[/latex][latex]A[/latex][latex]3[/latex][latex]+A[/latex][latex]3[/latex][latex]A[/latex][latex]2[/latex],
[latex]BC[/latex][latex]4[/latex][latex]+C[/latex][latex]4[/latex][latex]A[/latex][latex]3[/latex][latex]+A[/latex][latex]3[/latex][latex]A[/latex][latex]1[/latex] [latex]=AC[/latex][latex]4[/latex][latex]+C[/latex][latex]4[/latex][latex]B[/latex][latex]3[/latex][latex]+B[/latex][latex]3[/latex][latex]B[/latex][latex]2[/latex],
[latex]CA[/latex][latex]4[/latex][latex]+A[/latex][latex]4[/latex][latex]B[/latex][latex]3[/latex][latex]+B[/latex][latex]3[/latex][latex]B[/latex][latex]1[/latex] [latex]=BA[/latex][latex]4[/latex][latex]+A[/latex][latex]4[/latex][latex]C[/latex][latex]3[/latex][latex]+C[/latex][latex]3[/latex][latex]C[/latex][latex]2[/latex],

Сложив полученные равенства и заметив, что

[latex]A[/latex][latex]3[/latex][latex]A[/latex][latex]1[/latex] [latex]=A[/latex][latex]3[/latex][latex]A[/latex][latex]2[/latex], [latex]B[/latex][latex]3[/latex][latex]B[/latex][latex]1[/latex] [latex]=B[/latex][latex]3[/latex][latex]B[/latex][latex]2[/latex], [latex]C[/latex][latex]3[/latex][latex]C[/latex][latex]1[/latex][latex]=C[/latex][latex]3[/latex][latex]C[/latex][latex]2[/latex]

(как отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки) и

[latex]AC[/latex][latex]4[/latex] [latex]=C[/latex][latex]4[/latex][latex]B[/latex], [latex]BA[/latex][latex]4[/latex] [latex]=A[/latex][latex]4[/latex][latex]C[/latex], [latex]CB[/latex][latex]4[/latex] [latex]=B[/latex][latex]4[/latex][latex]A[/latex],

(так как радиусы данных окружностей равны), получим

[latex]B[/latex][latex]4[/latex][latex]C[/latex][latex]3[/latex][latex]+C[/latex][latex]4[/latex][latex]A[/latex][latex]3[/latex][latex]+A[/latex][latex]4[/latex][latex]B[/latex][latex]3[/latex] [latex]=B[/latex][latex]4[/latex][latex]A[/latex][latex]3[/latex][latex]+C[/latex][latex]4[/latex][latex]B[/latex][latex]3[/latex][latex]+A[/latex][latex]4[/latex][latex]C[/latex][latex]3[/latex]

второй
Замечания.1. Аналогичное утверждение справедливо и в случае, изображенном на рисунке 2.