Поле

Понятие поля:

Коммутативное кольцо P , в котором есть единичный элемент и каждый ненулевой элемент имеет обратный, называется полем.

Так как любое поле является кольцом, следовательно операции сложения и умножения являются бинарными алгебраическими операциями, им присущи данные свойства:

Всюду определенность;
Однозначность;
Замкнутость;

Также эти операции из-за того что это поле будут иметь следующие свойства:

Для любых a, b, c относительно операции + выполняются следующие свойства:
- сложение коммутативно, $a+b=b+a$ ,
- сложение ассоциативно, $a+(b+c)=(a+b)+c$ ,
- существует единственный нулевой элемент 0 такой, что $a+0=a$ для любого элемента $a$ ,
- для каждого элемента $a$ существует единственный противоположный элемент — $a$ такой, что $a+(-a)=0$ .
Для любых a, b, c относительно операции ∗ выполняются следующие свойства:
- умножение коммутативно, $ab=ba$ ,
- умножение ассоциативно, $a(bc)=(ab)c$ ,
- существует единственный единичный элемент 1 такой, что $a\times 1=1\times a=a$ для любого элемента $a$ ,
- для каждого ненулевого элемента $a$ существует единственный обратный элемент $a^{-1}$ такой, что $aa^{-1}=a^{-1}a=1$ .
Операции сложения и умножения связаны между собой следующим соотношением: умножение дистрибутивно относительно сложения, $(a+b)c=ac+bc$ .

Примеры полей:

Рациональные числа;
Вещественные числа;
Комплексные числа;
Поле вычетов по модулю $p$ , $p$ простое число;

Список использованной литературы:

Воеводин, В.В. Линейная алгебра : Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1974, ст. 28-29.
Конспект лекций Белозерова Г.С.

Поле

Данный тест предназначен для проверки знаний по данной теме.

Построение поля комплексных чисел

Спойлер

Большой вклад в развитие алгебры внес Джероламо Кардано, итальянский математик, который стал первым в Европе использовать отрицательные корни уравнений. В 1545 году Кардано опубликовал трактат, в котором описал алгоритм нахождения таких корней.

Наследователем Кардано стал еще один итальянский математик и инженер-механик Рафаэль Бомбелли, который, вдохновившись научной работы Кардано, окончательно ввел комплексные числа в математику и описал в своей научной работе «Алгебра» (1572) основные действия над такими числами.

В 1637 году вышла переломная в истории математики и науки книга «Рассуждение о методе, позволяющем направлять свой разум и отыскивать истину в науках» французского математика и философа Рене Декарта. В этой работе Декарт и ввел название «мнимые числа», а спустя 140 лет (1777 год) Леонард Эйлер — российский, немецкий и швейцарский математики механик — ввел букву « $latex i$ » (первая буква французского слова «imaginaire» — «мнимый») для обозначения таких чисел.

[свернуть]

Спойлер

Множеством комплексных чисел называется множество $latex \mathbb{R}^2$ при условии выполнения следующих требований:

$latex (a,b)=(c,d)$ $latex \Leftrightarrow$ $latex a=c$ и $latex b=d$ ;
$latex (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)$ ;
$latex (a,b)(c,d)=(ac-bd,ad+bc)$ .

[свернуть]

Необходимость в комплексных числах появилась, когда стало понятно, что не каждый многочлен имеет вещественные корни. Например, уравнение

$latex x^2+1=0$ не имеет корней среди вещественных чисел, так как еще в школе учили, что извлечь квадратный корень из отрицательного числа невозможно.

Для построения поля комплексных чисел — расширения множества вещественных, в котором уравнение разрешимо, — необходимо доказать следующее:

$latex \mathbb{C}$ — поле;
$latex \mathbb{R} \subset \mathbb{C}$ ;
$latex x^2+1=0$ — разрешимо в $latex \mathbb{C}$ (1);
$latex \mathbb{C}$ минимально по включениям.

Спойлер

$latex \mathbf{I.}$ $latex \mathbf{(\mathbb{C},+)}$ — абелева группа.

Алгебраичность сложения;
Ассоциативность:
$latex [(a,b)+(c,d)]+(e,f)$ $latex =$ $latex (a+c,b+d)+(e,f)$ $latex =$ $latex ((a+c)+e,(b+d)+f)$ $latex =$ $latex (a+(c+e),b+(d+f))$ $latex =$ $latex (a,b)+(c+e,d+f)$ $latex =$ $latex (a,b)+[(c,d)+(e,f)]$ ;
Коммутативность:

$latex (a,b)+(c,d)=(c,d)+(a,b)$ ;

Нейтральный элемент:

$latex (0,0)+(a,b)=(a,b)$ ;

Обратный элемент:

$latex \forall(a,b)~\epsilon~\mathbb{C}$ $latex \exists(-a,-b)~\epsilon~\mathbb{C}$

$latex (a,b)+(-a,-b)=(0,0)$ ;

$latex \mathbf{II.}$ $latex \mathbf{(\mathbb{C}^{*},\cdot)}$ — абелева группа.

Алгебраичность умножения;
Ассоциативность умножения;
Коммутативность умножения;
Единица: $latex e=(1,0)$

$latex \exists(x,y)~\epsilon~\mathbb{C}$ , $latex \forall(a,b)~\epsilon~\mathbb{C}$

$latex (a,b)(x,y)=(a,b)$ $latex \Rightarrow (ax-by,ay+bx)=(a,b)$

$latex \begin{cases} ax-by=a & \\ ay+bx = b & \end{cases}$

Рассмотрим возможные решения системы:

1) $latex a\neq0,~b\neq0$

$latex \begin{cases} a^2x-bay=a^2 & \\ b^2x+bay=b^2 & \end{cases}$

$latex (a^2+b^2)x=a^2+b^2$ $latex \Rightarrow x=1,~y=0$ .

2) $latex a\neq0,~b=0$

$latex \begin{cases} ax=1 & \\ ay=0 & \end{cases}$

$latex x=1,~y=0$ .

3) $latex a=0,~b\neq0$ $latex \Rightarrow x=1,~y=0$ .

Следовательно, $latex e=(1,0)$ .

Обратный элемент:

$latex \forall a,b~\epsilon~\mathbb{C}^{*}$ $latex \exists(x,y)~\epsilon~\mathbb{C}^{*}$ :

$latex (a,b)(x,y)=(1,0)$

$latex (ax-by,bx+ay)=(1,0)$

$latex \begin{cases} ax-by=1 & \\ ay+bx = 0 & \end{cases}$

Домножим первое уравнение системы на $latex a$ , а второе — на $latex b$ , $latex a\neq0,~b\neq0$ .

$latex \begin{cases} a^2x-bay=a & \\ b^2x+bay = 0 & \end{cases}$
$latex (a^2+b^2)x = a$ $latex \Rightarrow x=\frac{a}{a^2+b^2}$ .

$latex \frac{a^2}{a^2+b^2}-by=1$ $latex \Rightarrow \frac{a^2}{a^2+b^2}-1=by$ $latex \Rightarrow \frac{a^2-a^2-b^2}{a^2+b^2}=by$ $latex \Rightarrow y=\frac{-b}{a^2+b^2}$ .

$latex (a,b)^{-1}=(\frac{a}{a^2+b^2},\frac{-b}{a^2+b^2})$ .

$latex \mathbf{III.}$ Дистрибутивность.

Проверим выполнение законов дистрибутивности. В самом деле,
$latex (a,b)[(c,d)+(e,f)]$ $latex =$ $latex (a,b)(c,d)+(a,b)(e,f)$ .

$latex \blacksquare$

[свернуть]

Спойлер

Покажем, что множество комплексных чисел является расширением множества вещественных.

$latex M \subset \mathbb{C}$ , $latex M=\left\{(a,b)~\epsilon~\mathbb{C}~|~b=0 \right\}$ $latex =$ $latex \left\{(a,0)~|~a~\epsilon~\mathbb{R} \right\}$ .

Рассмотрим точки, лежащие на оси абсцисс (точки вида $latex (a,0)$ ), где $latex x$ является реальной частью комплексного числа, и их свойства:

$latex (a,0)+(b,0) = (a+b,0)$ $latex \epsilon~M$ ;
$latex (a,0)(b,0) = (ab-00,00+0b) = (ab,0)$ $latex \epsilon~M$ ;
$latex (0,0)~\epsilon~M$ , $latex (1,0)~\epsilon~M$ ;
$latex -(a,0) = (-a,0)~\epsilon~M$ ;
$latex (a,0)^{-1},~a\neq0$ , $latex (a,0)^{-1} = (\frac{1}{a},0)~\epsilon~M$ .

Таким образом, $latex f:\mathbb{R}~\rightarrow~ M$

$latex f(a)=(a,0)~\forall a~\epsilon~\mathbb{R}$ .

$latex f$ — биекция;
$latex f(a,b)=(a+b,0)=(a,0)+(b,0)=f(a)+f(b)$ ;
$latex f(ab)=f(a)\cdot f(b)$ ; $latex f(-a)=-(a,0)$ ;
$latex f(a^{-1})=(f(a))^{-1}$ .

$latex a \to (a,0)$ . Поле вещественных чисел вкладывается во множество комплексных.

$latex \blacksquare$

[свернуть]

Спойлер

$latex x^2+1=0$ . Обозначим $latex 0 = (0,0)$ , $latex 1 = (1,0)$ и $latex x = (u,v)$ $latex \Rightarrow$

$latex (u,v)^2+(1,0)=(1,0)$

$latex (u^2-v^2,2uv)=(0,0)$

Решим систему уравнений на основе этого выражения:

$latex \begin{cases} u^2-v^2=-1 & \\ 2uv=0 & \end{cases}$

$latex v\neq0,~u=0$ ,

$latex v^2=1 \Rightarrow v=\pm (-1)$ ,

Следовательно, возможные решения уравнения — $latex (0,1),~(0,-1)$ .

$latex i=(0,1),~-i=(0,-1)$ — мнимая единица $latex i$ .

$latex \blacksquare$

[свернуть]

Спойлер

Любое подмножество $latex \mathbb{C’}$ множества $latex \mathbb{C}$ совпадает с $latex \mathbb{C}$ , если для $latex \mathbb{C’}$ выполнимо:

$latex \mathbb{R}\subset\mathbb{C’}$ ;
разрешимо уравнение $latex x^2+1=0$ ;
$latex \forall a,b~\epsilon~\mathbb{C’}$ , $latex (a+b)~\epsilon~\mathbb{C’}$ ;
$latex a \cdot b~\epsilon~\mathbb{C’}$ .

$latex \blacksquare$

[свернуть]

Список источников:

А.Г.Курош «Курс высшей алгебры», изд-е.9, «Наука», г.Москва, 1968г., стр.110-113
Г.С.Белозеров, конспект лекций курса алгебры и геометрии

Тест на знание теории о построении поля комплексных чисел.

Задание 1 из 7

1.
Расположить множества по возрастанию числа включений в него:
- множество натуральных чисел
- множество целых чисел
- множество рациональных чисел
- множество вещественных чисел
- множество комплексных чисел
Правильно

Неправильно
Задание 2 из 7

2.
Выбрать условия, имеющие смысл
- множество комплексных чисел является полем
- расширение множества вещественных чисел является множеством комплексных чисел
- уравнение $x^2+1=0$ разрешимо в множестве комплексных чисел
- модулем комплексного числа называется корень суммы квадратов его действительной и мнимой частей
Правильно

Неправильно

Выбрать те варианты, которые имеют смысл в рамках данной статьи:
Задание 3 из 7

3.
Комплексное число, квадрат которого равен -1
Правильно

Неправильно
Задание 4 из 7

4.
О расширении какого множества идет речь в плане построении поля комплексных чисел?
- множества действительных чисел
- множества рациональных чисел
- множества целых чисел
- множества натуральных чисел
Правильно

Неправильно

Задание 5 из 7

5.

Сопоставить ученого и его вклад в развитие комплексных чисел:

Элементы сортировки

Ввел комплексные числа для решения кубических уравнений в 1545 г.
В 1572 г. вышла книга этого ученого, в которой были установлены первые правила арифметических операций над комплексными числами, вплоть до извлечения из них кубических корней
В 1637 г. ввел название "мнимые числа"
В 1777 г. предложил использовать первую букву слова "imaginaire" (с фр. - "мнимый") для обозначения мнимой единицы

Джероламо Кардано

Рафаэль Бомбелли

Рене Декарт

Леонард Эйлер

Задание 6 из 7

6.
Дополнить определение:
- Абсцисса точки системы координат является частью комплексного числа, а ордината точки - (мнимой).
Правильно

Неправильно

Задание 7 из 7

7.

Сопоставить условия:

Элементы сортировки

$(0, 0) + (a, b) = (a, b)$
$(a, b) + (-a, -b) = (0, 0)$
$[(a, b) + (c, d)] + (e, f) = (a, b) + [(c, d) + (e, f)]$
$(a, b) + (c, d) = (c, d) + (a, b)$

Нейтральный элемент

Обратный элемент

Ассоциативность

Коммутативность

Простейшие задачи на определение структур группы, кольца, поля

Группа

Множество $G$ с бинарной алгебраической операцией $\ast$ называется группой, если выполняются следующие условия:

Операция $\ast$ в $G$ ассоциативна: $a\ast (b\ast c)=(a\ast b)\ast c \forall a,b,c\in G$ ;
В $G$ существует нейтральный элемент $\theta :a\ast\theta=\theta\ast a=a \forall a\in G;$
Для каждого элемента $a\in G$ существует обратный ему элемент $a^{-1}\in G: a\ast a^{-1}=a^{-1}\ast a=\theta$ .

Если операция коммутативна, то группа называется коммутативной, или абелевой. В противном случае группа называется некоммутативной.

Задача

Доказать, что множество рациональных чисел R является абелевой группой относительно операции сложения.

Спойлер

Ассоциативность очевидна
$\forall a,b,c\in R a+(b+c)=(a+b)+c$
Нейтральным элементом является число 0.
$0+a=a+0=a \forall a\in r$
Для каждого элемента множества R существует обратные ему элемент, также принадлежащий множеству $R$ .
$a^{-1}=-a$
$\forall a\in R a+(-a)=(-a)+a=\theta=0$

$\Rightarrow R$ является группой относительно операции сложения.
Проверим коммутативность:
$\forall a,b\in R a+b=b+a$ — верно.
$\Rightarrow$ Группа абелева.
Что и требовалось доказать

[свернуть]

Кольцо

Множество $K$ , на котором заданы две операции — сложение (+) и умножение $\cdot$ , называется кольцом, если выполняются следующие условия:

Относительно операции сложения множество K — коммутативная группа, т.е:
1. Операция сложения коммутативна: $a+b=b+a \forall a,b\in K;$
2. Операция сложения ассоциативна: $a+(b+c)=(a+b)+c \forall a,b,c\in K;$
3. Существует нулевой элемент $\theta: a+\theta =\theta +a=a \forall a\in K;$
4. для каждого элемента существует противоположный ему элемент $(-a)\in K: a+(-a)=(-a)+a=\theta;$
Операция умножения в множестве $K$ ассоциативна:
$a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c$ $\forall a,b,c\in K$
Операции сложения и умножения связаны законами дистрибутивности:
$(a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c c\cdot (a+b)=c\cdot a+c\cdot b \forall a,b,c\in K$

Если операция умножения коммутативна: $a\cdot b=b\cdot a$ , то кольцо называется коммутативным, в противном случае кольцо называется некоммутативным. Если для операции умножения существует единичный элемент $e: a\cdot e=e\cdot a=a$ , то говорят, что кольцо — есть кольцо с единицей.

Задача

Проверить яляется ли кольцом множество комплексных чисел.

Спойлер

1. Коммутативность сложения
  $(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i=(c+a)+(d+b)i=(c+di)+(a+bi)$ $\forall (a+bi),(c+di)\in C$
2. Ассоциативность сложения
  $((a+bi)+(c+di))+(e+fi)=((a+c)+(b+d)i)+(e+fi)=(a+c+e)+(b+d+f)i=(a+bi)+((c+e)+(d+f)i)=(a+bi)+((c+di)+(e+fi))$ $\forall (a+bi),(c+di),(e+fi)\in C$
3. Существование нейтрального элемента
  $\forall (a+bi)\in C (a+bi)+(0+0i)=(a+bi)$
4. Существование обратного элемента
  $\forall (a+bi)\in C \exists (-a-bi)\in C: (a+bi)+(-a-bi)=(0+0i)$
Ассоциативность умножения
$\forall (a+bi),(c+di),(e+fi)\in C (a+bi)\cdot ((c+di)\cdot (e+fi))=(a+bi)\cdot ((ce-df)+(cf+de)i)=(a\cdot (ce-df)-b\cdot (cf+de))+(a\cdot (cf+de)+b\cdot (ce-df))i)=(ace-adf-bcf-bde)+(acf+ade+bce-bdf)i=(e\cdot (ac-bd)-f\cdot (ad+bc))+(e\cdot (ad+bc)+ f\cdot (ac-bd))=((a+bi)\cdot (c+di))\cdot (e+fi)$
Дистрибутивность сложения и умножения
$\forall (a+bi),(c+di),(e+fi)\in C ((a+bi)+(c+di))\cdot (e+fi)=((a+c)+(b+d)i)\cdot (e+fi)=((a+c)e-(b+d)f)+((a+c)f+(b+d)e)i)=(ae+ce-bf-df)+(af+cf+be+de)i=(ae-bf)+(be+af)i+(ce-df)+(cf+de)i=(a+bi)\cdot (e+fi)+(c+di)\cdot (e+fi)$

Множество комплексных чисел является кольцом

[свернуть]

Поле

Полем называется кольцо $P$ , обладающее следующими свойствами:
1. Обратимость умножения. $\forall a,b\in P$ , где $a\neq 0$ , уравнение $ax = b$ имеет (по крайней мере одно) решение, т. е. существует элемент такой, что $aq = b$ .

2. $P$ содержит по крайней мере один элемент, отличный от нуля.

Источники

Кострикин А.И. «Введение в алгебру», 1994, стр.60
Проскуряков И.В. «Сборник задач по линейной алгебре», 1966, стр.214
Зарисский О. Самюэль П. «Коммутативная алгебра том 1», 1963,стр.21
Г.С.Белозеров. Конспект лекций по линейной алгебре

Структуры и подструктуры

Тест на тему «Простейшие задачи на определение структур группы, кольца, поля. Подструктуры.Циклическая группа. Симметрическая группа.». Прочтите все четыре статьи, прежде чем проходить тест.

Задание 1 из 3

1.
Какое из нижеприведенных множеств образует группу?
- Неотрицательные числа относительно сложения
- Целые числа относительно вычитания
- Целые числа, кратные данному натуральному числу n , относительно сложения
- Рациональные числа относительно умножения
Правильно

Неправильно
Задание 2 из 3

2.
В каком порядке следует доказывать, что некоторое кольцо [latex]R[/latex] является подкольцом кольца [latex]G[/latex]?
- Проверить, является ли G кольцом
- Проверить, является ли R кольцом
- Проверить, что $\forall a,b\in R (a+b)\in R$
- Проверить, что $\forall a,b\in R_1 ab\in R_1$
Правильно

Неправильно

Задание 3 из 3

3.

Осуществите сортировку

Элементы сортировки

матрицы порядка n с действительными числами относительно сложения
Числа вида $a+b\sqrt{2}$ , где $a,b\in Z,$ относительно сложения и умножения
Комплексные числа относительно сложения и умножения

Группа

Кольцо

Поле

Таблица лучших: Структуры и подструктуры

максимум из 7 баллов
Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Средний результат
Ваш результат

Средний результат
Ваш результат

Понятие поля:

Примеры полей:

Список использованной литературы:

Поле

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

3.

Список источников:

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

3.

4.

5.

Элементы сортировки

6.

7.

Элементы сортировки

Группа

Задача

Кольцо

Задача

Поле

Источники

Структуры и подструктуры

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

3.

Элементы сортировки

Таблица лучших: Структуры и подструктуры