8.2 Площадь в полярных координатах

$\DeclareMathOperator{\ctg}{ctg}\DeclareMathOperator{\tg}{tg} \DeclareMathOperator{\arctg}{arctg} \newcommand{\rndBrcts}[1]{\left ( #1 \right )} \newcommand{\abs}[1]{\left | #1 \right |}$

В полярных координатах положение точки на плоскости характеризуется $r$ – расстоянием от точки до начала координат и углом $φ$ , образованным радиус-вектором точки и положительным направлением оси $Ox$ . Будем считать, что $−\pi< φ \leqslant \pi$ . Рассмотрим на плоскости множество, ограниченное кривой, заданной уравнением $r=r(\varphi)$ $(\alpha \leqslant \varphi \leqslant \beta)$ , и отрезками лучей $\varphi=\alpha$ и $\varphi=\beta$ . Предположим, что функция $r(\varphi)$ непрерывна и положительна на $[\alpha ,\beta]$ . Можно показать, что это множество квадрируемо. Разобьем отрезок $[\alpha, \beta]$ на части точками $\alpha =\varphi_{0} < \varphi_{1}< \dots < \varphi_{n}= \beta$ . Тогда рассматриваемое множество разобьется на криволинейные секторы. Если исходное разбиение отрезка $[\alpha, \beta]$ достаточно мелкое, то, в силу непрерывности функции $r(\varphi),i$ -й сектор можно приближенно считать сектором круга. Точнее, если обозначим

и

$\mu_{i} =\inf_{\varphi_{i} \leqslant \varphi_{i} \leqslant \varphi_{i+1}}r(φ) \;\;\;и\;\;\;Mi=\sup_{\varphi_{i} \leqslant \varphi \leq \varphi_{i+1}}r(φ),$ то рассматриваемый криволинейный сектор содержит в себе круговой сектор радиуса

$\mu_{i}$ и содержится в круговом секторе радиуса

$M_{i}$ . Площадь внутреннего сектора радиуса

$\mu_{i}$ равна

$\displaystyle \frac{1}{2}\mu_{i}^{2} \Delta \varphi_{i}$ , а площадь внешнего –

$\displaystyle \frac{1}{2}M_{i}^2 \Delta \varphi_{i}$ , где

$\Delta \varphi_{i}$ – угол при вершине. Складывая эти площади, получим

$\frac{1}{2} \sum_{i=0}^{n-1}\mu_{i}^2 \Delta \varphi_{i}\equiv \underline S,$

$\frac{1}{2} \sum_{i=0}^{n-1}M{i}^2 \Delta \varphi_{i}\equiv \overline S.$

Как мы уже отметили, рассматриваемое множество квадрируемо, так что его площадь $S$ удовлетворяет неравенству $\underline S\leqslant S\leqslant \overline S.$ Но $\underline S$ и $\overline S$ представляют собой соответственно нижнюю и верхнюю суммы Дарбу для функции $\displaystyle \frac{1}{2}r^2(\varphi),$ соответствующие данному разбиению отрезка $[\alpha,\beta].$ Поэтому, учитывая, что функция $\displaystyle \frac{1}{2}r^2(\varphi)$ интегрируема по Риману на отрезке $[\alpha; \beta ],$ получаем, что при стремлении к нулю диаметра разбиения верхняя и нижняя суммы Дарбу обе стремятся к $\displaystyle \frac{1}{2} \int_\limits{ \alpha}^{ \beta}r^2( \varphi)d \varphi .$ Таким образом, мы доказали равенство

$S=\frac{1}{2} \int_\limits{ \alpha}^{ \beta}r^2( \varphi)d \varphi .$

Примеры решения задач

Данные примеры читателю рекомендуется решить самому в качестве тренировки.

Спираль Архимеда задается уравнением $r=a \varphi$ $(0 \leqslant \varphi \leqslant 2 \pi),$ где параметр $a>0.$ Найдите площадь множества точек плоскости, ограниченной спиралью Архимеда.

Решение

Площадь множества точек плоскости, ограниченной спиралью Архимеда равна
$S=\frac{1}{2} \int\limits_{0}^{2 \pi}r^2(\varphi)d \varphi = \frac{1}{2} a^2 \int_\limits{0}^{2 \pi} \varphi^2 d \varphi = \frac{4 \pi^3 a^2}{3}$

Ответ: $\displaystyle S=\frac{4 \pi^3 a^2}{3}.$
Вычислить площадь фигуры, ограниченной кардиоидой $r=1+ \cos \varphi$ $(0 \leqslant \varphi \leqslant 2 \pi)$

Решение

$S=\frac{1}{2} \int_\limits{0}^{2 \pi}(1+ \cos \varphi)^2 d \varphi =$

$=\frac{1}{2}\int_\limits{0}^{2\pi}\left ( 1+2\cos\varphi+\cos^2\varphi \right )d\varphi=$

$=\frac{1}{2}\int_\limits{0}^{2\pi}\left ( 1+2\cos\varphi+\frac{1+\cos 2 \varphi}{2} \right )d \varphi=$

$=\frac{1}{2}\int_\limits{0}^{2\pi}\left ( \frac{3}{2} + 2\cos\varphi+\frac{\cos2\varphi}{2} \right )d\varphi=$

$=\frac{1}{2}\left ( \frac{3}{2}\varphi + 2\sin\varphi+\frac{\sin2\varphi}{4}\right )\bigg|_{0}^{2\pi}=\frac{3\pi}{2}$

Ответ: $\displaystyle S=\frac{3 \pi}{2}.$
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линией $r(\varphi)=2 \cos ^2 \varphi$

Решение

Так как, $r(\varphi)=2 \cos ^2 \varphi \geq 0$ $\forall \varphi ,$ значит угол принимает все значения от $\alpha = 0$ до $\beta = 2 \pi .$ По рабочей формуле:

$S=\frac{1}{2} \int_\limits{\alpha}^{\beta}r^2(\varphi)d \varphi=\frac{1}{2}\int_\limits{0}^{2\pi}(2 \cos^2 \varphi)^2 d \varphi=$

$=\frac{1}{2}\cdot 4 \int_\limits{0}^{2\pi}(\cos^2 \varphi)^2 d \varphi =2\int_\limits{0}^{2\pi}\left ( \frac{1+\cos 2\varphi}{2} \right )^2 d \varphi=$

$=2\cdot \frac{1}{4}\int\limits_{0}^{2\pi} (1+\cos 2\varphi)^2 d \varphi= \frac{1}{2}\int_\limits{0}^{2\pi}(1+2\cos 2\varphi+\cos^22\varphi)d \varphi=$

$=\frac{1}{2}\int_\limits{0}^{2\pi} \left ( 1+2\cos2\varphi+\frac{1+\cos4\varphi}{2} \right )d \varphi=$

$=\frac{1}{2}\int_\limits{0}^{2\pi}\left ( \frac{3}{2} + 2\cos2\varphi +\frac{\cos4\varphi}{2} \right )d \varphi=$

$=\frac{1}{2}\left ( \frac{3}{2} \varphi+\sin2\varphi+ \frac{\sin4\varphi}{8} \right )\bigg|_{0}^{2\pi}=$

$=\frac{1}{2}\left ( \frac{3}{2}\cdot 2\pi+\sin4\pi+\frac{\sin8\pi}{8}-\left ( \frac{3}{2}\cdot 0 +\sin 0 + \frac{\sin0}{8} \right ) \right )=$

$=\frac{3\pi}{2}$

Ответ: $\displaystyle S=\frac{3\pi}{2}.$
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными в полярных координатах r=√3cosφ, r=sinφ (0⩽φ⩽π2).
Решение

Фигура, ограниченная окружностями $r=\sqrt{3} \cos \varphi,$ $r=\sin \varphi ,$ не определена однозначно и поэтому в условии наложено дополнительное ограничение на угол $\displaystyle \left ( 0 \leqslant \varphi \leqslant \frac{\pi}{2} \right ),$ из которого следует, что необходимо вычислить заштрихованную площадь:

Сначала найдем луч $\displaystyle \varphi=\frac{\pi}{3},$ по которому пересекаются окружности. Приравниваем функции и решаем уравнение:

sinφcosφ=√3

tgφ=√3

Таким образом: $\displaystyle \varphi=\arctg\sqrt{3}=\frac{\pi}{3}$

Из чертежа следует, что площадь фигуры нужно искать как сумму площадей:
- На промежутке $\displaystyle \left [0;\frac{\pi}{3}\right ]$ фигура ограничена отрезком луча $\displaystyle \varphi=\frac{\pi}{3}$ и дугой окружности $r=\sin\varphi .$
  
  $S_{1}=\frac{1}{2}\int_\limits{0}^{\frac{\pi}{3}}(\sin\varphi)^2d \varphi=\frac{1}{2}\int_\limits{0}^{\frac{\pi}{3}}\sin^2 \varphi d \varphi=$
  
  $=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\int_\limits{0}^{\frac{\pi}{3}}(1-\cos2\varphi)d \varphi=\frac{1}{4}\left ( \varphi-\frac{1}{2}\sin2\varphi \right )\bigg|_{0}^{\frac{\pi}{3}}=$
  
  $=\frac{1}{4}\left ( \frac{\pi}{3}-\frac{1}{2}\sin\frac{2\pi}{3} \right )=\frac{1}{4}\left ( \frac{\pi}{3}-\frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \right )=\frac{\pi}{12}-\frac{\sqrt{3}}{16}$
- На промежутке $\displaystyle \left [ -\frac{\pi}{3};\frac{\pi}{3}\right ]$ фигура ограничена тем же отрезком луча $\displaystyle \varphi=\frac{\pi}{3}$ и дугой окружности $r=\sqrt{3}\cos\varphi .$
  
  $S_{2}=\frac{1}{2}\int_\limits{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}}(\sqrt{3}\cos\varphi)^2d \varphi = \frac{3}{2} \int_\limits{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}}\cos^2\varphi d \varphi=$
  
  $=\frac{3}{2}\cdot \frac{1}{2}\int_\limits{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}}(1+\cos2\varphi)d \varphi= \frac{3}{4}\left ( \varphi + \frac{1}{2} \sin 2\varphi \right )\bigg|_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}}=$
  
  $=\frac{3}{4}\left ( \frac{\pi}{2}+\frac{1}{2}\sin\pi-\left ( \frac{\pi}{3}+\frac{1}{2}\sin\frac{2\pi}{3} \right ) \right )=$
  
  $=\frac{3}{4}\left ( \frac{\pi}{2}+0-\frac{\pi}{3}-\frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} \right )=\frac{3}{4}\left ( \frac{\pi}{6}-\frac{\sqrt{3}}{4} \right )=\frac{3\pi}{24}-\frac{3\sqrt{3}}{16}$
- Пользуемся аддитивностью площади:
  
  $S=S_{1}+S_{2}=\frac{\pi}{12}-\frac{\sqrt{3}}{16}+\frac{3\pi}{24}-\frac{3\sqrt{3}}{16}=$
  
  $=\frac{5\pi}{24}-\frac{\sqrt{3}}{4}=\frac{5\pi-6\sqrt{3}}{24}$
Ответ: $\displaystyle S=\frac{5\pi-6\sqrt{3}}{24}.$

Площадь в полярных координатах

Пройдите этот тест, чтобы проверить свои знания по только что прочитанной теме «Площадь в полярных координатах».

Коляда В. И., Кореновский А. А. Курс лекций по математическому анализу. — Одесса: Астропринт, 2009, ч.1, с. 220-221

См. также:

Использование полярных, цилиндрических и сферических координат для вычисления кратных интегралов

При вычислении кратных интегралов часто возникает необходимость перейти к более простой области интегрирования для упрощения их вычисления, возможно даже ценой некоторого усложнения подынтегральной функции.

Использование полярных координат

Из курса аналитической геометрии известны следующие соотношения между декартовыми и полярными координатами: $x = r\cos\phi,\quad y = r\sin\phi\quad(*)$ .
При этом, $r \geq 0, 0 \leq \phi <2\pi$ . Рассмотрим вспомогательную плоскость $RO\Phi$ , где $r$ и $\phi$ являются декартовыми координатами, и определим на ней множество точек $G$ , такое, что: $G = \{(r, \phi)| r > 0, 0 \leq \phi < 2\pi\}$ .

Тогда формулы $(*)$ определяют непрерывно дифференцируемое отображение $F : G \to \widetilde{XOY}$ , где $\widetilde{XOY} = XOY \setminus\{(0, 0)\}$ .

По определению полярных координат, в декартовой системе координат $XOY$ $r$ задает радиус окружности с центром в начале координат, а $\phi$ определяет луч, исходящий из центра координат, такой что угол между лучом и положительным направлением оси $OX$ равен $\phi$ . С геометрической точки зрения очевидно, что они пересекаются в единственной точке.

Таким образом, любую точку $P = (x_0, y_0)$ из $\widetilde{XOY}$ можно однозначно определить пересечением луча, направленного под углом $\phi_0$ и окружности радиусом $r_0$ , и тогда точка $P’ = (r_0, \phi_0)$ будет единственным прообразом $P$ в $G$ . Очевидно, что любой элемент из $G$ служит прообразом, и что двум различным точкам из $G$ будут соответствовать 2 различные точки из $\widetilde{XOY}$ . Таким образом, отображение $F$ между точками плоскостей $G$ и $\widetilde{XOY}$ взаимно однозначное:

Якобиан полученного отображения будет равен:
$J_F = \begin{array}{|cc|} \frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial \phi} \\ \frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial \phi} \end{array} = \begin{array}{|cc|} \cos{\phi}& -r\sin{\phi} \\ \sin{\phi} & r\cos{\phi} \end{array} = r$

Теперь рассмотрим множество точек $G’$ , полученное добавлением к множеству $G$ отрезка $r = 0$ , т.е. $G’ = \{(r, \phi)| r \geq 0, 0 \leq \phi < 2\pi\}.$ $G’$ уже является прообразом всей плоскости $XOY$ , но на отрезке $r = 0, 0 \leq \phi < 2\pi$ не достигается взаимная однозначность, а $\left|J_F\right| = 0$ . Обратим внимание, что его Жорданова мера равна нулю.

Наконец, пусть дана область $\Omega \subset XOY$ и функция $f$ , непрерывная на измеримом множестве $\overline{\Omega}$ . Ее прообразом при отображении $F$ , заданного формулами $(*)$ , будет некоторая область $\Omega’ \subset G’$ . Если область $\Omega$ не содержит точки O — начала координат, то выполнены все условия теоремы о замене переменной в кратных интегралах, и справедлива формула:

$\iint\limits_{\Omega} f(x, y)\,dxdy = \iint\limits_{\Omega’} f(r\cos{\phi}, r\sin{\phi})r\,drd\phi$
Если же точка

$O \in \Omega$ , то взаимная однозначность и не обращение якобиана в нуль не выполняются на множестве

$r = 0$ , что не влияет на справедливость данной формулы (следует из замечания к указанной теореме).

Пример №1

Вычислить интеграл:
$\iint\limits_{\Omega}(x^2 + y^2)\,dxdy, \Omega = \{(x, y)| y \geq 0, x^2 + y^2 \leq a^2\}.$
Заметим, что в полярных координатах полукруг $\Omega$ будет представлять из себя более простую область интегрирования:

Поэтому, воспользуемся формулой замены переменной и перейдем к полярным координатам:
$\iint\limits_{\Omega}(x^2 + y^2)\,dxdy = \iint\limits_{\Omega’}r^2r\,drd\phi = \int\limits_0\limits^{\pi}\,d\phi\int\limits_0\limits^ar^3\,dr =$ $\int\limits_0\limits^{\pi}\frac{a^4}{4}\,d\phi = \frac{\phi a^4}{4}|_0^{\pi} = \frac{\pi a^4}{4}$ .

[свернуть]

Использование цилиндрических и сферических координат

Рассмотрим теперь пространство $\mathbb{R}^3$ , в котором задана декартова система координат $OXYZ$ . Цилиндрические координаты связанны с декартовыми следующим образом:
$x = r\cos\phi,\quad y = r\sin\phi,\quad z = t\quad(**),$
где $r \geq 0, 0 \leq \phi <2\pi, t \in \mathbb{R}$ (величины $r$ и $\phi$ для любой точки $A = (x, y, z)$ определяются таким же образом, как и в полярных координатах для ее проекции $P’ = (x, y, 0)$ на $XOY$ ). Теперь, аналогично случаю с полярными координатами, рассмотрим вспомогательное пространство $OR\Phi T$ , где $r, \phi, t$ — декартовы координаты, а в нем — множество точек $G = \{(r, \phi, t)| r \geq 0, 0 \leq \phi <2\pi, t \in \mathbb{R}\}$ .

Отображение $F : G \to OXYZ$ , определяемое формулами $(**)$ , является непрерывно дифференцируемым.
$J_F = \begin{array}{|ccc|} \frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial \phi} & \frac{\partial x}{\partial t} \\ \frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial \phi} & \frac{\partial y}{\partial t} \\ \frac{\partial z}{\partial r} & \frac{\partial z}{\partial \phi} & \frac{\partial z}{\partial t} \end{array} = \begin{array}{|ccc|} \cos{\phi}& -r\sin{\phi} & 0 \,\\ \sin{\phi} & r\cos{\phi} & 0 \,\\ 0 & 0 & 1\,\end{array} = r$

Очевидно, что как и в случае с полярными координатами, отображение $F$ — взаимно однозначное, и его якобиан не равен нулю. Данные условия не выполняются только при $r = 0$ , т.е. на множестве $L = \{(r, \phi, t)| r = 0, 0 \leq \phi <2\pi, t \in \mathbb{R}\}$ . Пересечение такого множества с любым другим ограниченным множеством есть ограниченное линейное множество, и жорданова мера этого пересечения равна нулю.

Тогда, если дана область $\Omega \subset OXYZ$ , и функция $f$ непрерывна на измеримом множестве $\overline{\Omega}$ , а $\Omega’ \subset G$ — прообраз данной области при отображении $F$ , то выполнены все условия теоремы о замене, и справедлива следующая формула:

$\iiint\limits_{\Omega} f(x, y, z)\,dxdydz = \iiint\limits_{\Omega’} f(r\cos{\phi}, r\sin{\phi}, t)r\,drd\phi dt$

Наконец, рассмотрим сферические координаты, связанные с декартовыми следующими соотношениями: $x = r\cos{\phi} \cos{\psi},\quad y = r\sin{\phi} \cos{\psi},\quad z = r\sin{\psi}\quad (***),$
где $r \geq 0, 0 \leq \phi < 2\pi, -\frac{\pi}{2} \leq \psi \leq \frac{\pi}{2}$ . Введем вспомогательное пространство $OR\Phi\Psi$ , где $r, \phi, \psi$ — декартовы координаты, а в нем рассмотрим множество точек $G = \{(r, \phi, \psi)| r \geq 0, 0 \leq \phi < 2\pi -\frac{\pi}{2} \leq \psi \leq \frac{\pi}{2}\}$ .

Отображение $F : G \to OXYZ$ , определяемое формулами $(***)$ , непрерывно дифференцируемо.
$J_F = \begin{array}{|ccc|} \frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial \phi} & \frac{\partial x}{\partial \psi} \\ \frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial \phi} & \frac{\partial y}{\partial \psi} \\ \frac{\partial z}{\partial r} & \frac{\partial z}{\partial \phi} & \frac{\partial z}{\partial \psi} \end{array} = \begin{array}{|ccc|} \cos{\phi}\cos{\psi}& -r\sin{\phi}\cos{\psi} & -r\cos{\phi}\sin{\psi} \,\\ \sin{\phi}\cos{\psi} & r\cos{\phi}\cos{\psi} & -r\sin{\phi}\sin{\psi} \,\\ \sin{\psi} & 0 & r\cos{\psi}\,\end{array} =$ $r^2\cos{\psi}$ .

Взаимная однозначность данного отображения устанавливается по тем же рассуждениям, что и в предыдущих двух случаях, и не выполняется только при $r = 0, \psi = -\frac{\pi}{2}, \psi = \frac{\pi}{2}$ , когда и якобиан равен нулю. Однако любое подмножество множества, задаваемого такими равенствами, будет представлять собой ограниченную часть плоскости с жордановой мерой нуль в пространстве $OXYZ$ , что не помешает совершить замену.

Тогда, при соответствующих условиях, справедлива формула замены переменной ( $\Omega \subset OXYZ, \Omega’ \subset G$ ):

$\iiint\limits_{\Omega} f(x, y, z)\,dxdydz =$

$\iiint\limits_{\Omega’} f(r\cos{\phi}\cos{\psi}, r\sin{\phi}\cos{\psi}, r\sin{\psi})r^2\cos{\psi}\,drd\phi d\psi$

Пример №2

Вычислить интеграл $\iiint\limits_{\Omega} e^{{(x^2 + y^2 + z^2)}^{\frac{3}{2}}}\,dxdydz$ , где граница области $\Omega$ задается уравнением $x^2 + y^2 + z^2 = 1$ .

Область интегрирования представляет собой шар радиуса $1$ с центром в начале координат. Следовательно, будет удобно воспользоваться переходом к цилиндрической системе координат. В ней новая область интегрирования $\Omega'$ будет определятся следующими неравенствами: $0 \leq \phi \leq 2\pi,\quad -\frac{\pi}{2} \leq \psi \leq \frac{\pi}{2},\quad 0 \leq r \leq 1$ . Воспользуемся формулой замены переменной для сферических координат:
$\iiint\limits_\Omega e^{(x^2 + y^2 + z^2)^{\frac{3}{2}}}\,dxdydz =$ $\iiint\limits_{\Omega’} e^{r^{2^{\frac{3}{2}}}}r^2\cos{\psi} \,drd\phi d\psi = \int\limits_0\limits^{2\pi}\,d\phi\int\limits_0\limits^1e^{r^3}r^2\,dr\int\limits_{-\frac{\pi}{2}}\limits^{\frac{\pi}{2}}\cos{\psi}\,d\psi =$ $\int\limits_0\limits^{2\pi}\,d\phi\int\limits_0\limits^1e^{r^3}r^2\,dr \cdot (\sin{\psi})|_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} = 2\int\limits_0\limits^{2\pi}\,d\phi\int\limits_0\limits^1\frac{1}{3}e^{r^3}\,d(r^3) =$ $\frac{2}{3}\int\limits_0\limits^{2\pi}\,d\phi \cdot e^{r^3}|_0^1 = \frac{2}{3}(e — 1)\int\limits_0\limits^{2\pi}\,d\phi = \frac{2}{3}(e — 1) \cdot \phi|_0^{2\pi} = \frac{4\pi}{3}(e — 1)$

[свернуть]

Литература

Тест: Использование полярных, цилиндрических и сферических координат для вычисления кратных интегралов

Для закрепления материала, рекомендуется пройти тест по данной теме.

Задание 1 из 5

Сопоставьте каждой системе координат якобиан, соответствующий переходу из декартовой системы координат в данную.

Элементы сортировки

$J_F = \begin{array}{|cc|} \cos{\phi}& -r\sin{\phi}\, \\ \sin{\phi} & r\cos{\phi}\, \end{array}$
$J_F = \begin{array}{|ccc|} \cos{\phi}& -r\sin{\phi} & 0\, \\ \sin{\phi} & r\cos{\phi} & 0\, \\ 0 & 0 & 1\,\end{array}$
$J_F = \begin{array}{|ccc|} \cos{\phi}\cos{\psi}& -r\sin{\phi}\cos{\psi} & -r\cos{\phi}\sin{\psi} \,\\ \sin{\phi}\cos{\psi} & r\cos{\phi}\cos{\psi} & -r\sin{\phi}\sin{\psi} \,\\ \sin{\psi} & 0 & r\cos{\psi}\,\end{array}$

Полярные координаты

Цилиндрические координаты

Сферические координаты

Задание 2 из 5

2.
Пусть $R$ — заданная область интегрирования в декартовых координатах, а $S$ — область интегрирования, получаемая при переходе к полярным координатам. В каких формулах замена переменных при переходе к полярным координатам была выполнена правильно?
- $\iint\limits_R (x^2 + y^2)\,dxdy = \iint\limits_S r^3\,drd\theta$
- $\iint\limits_R (x^2 + y^2)\,dxdy = \iint\limits_S r^2\,drd\theta$
- $\iint\limits_R \sin {\sqrt {x^2 + y^2}}\,dxdy = \iint\limits_S r\sin r\,drd\phi$
- $\iint\limits_R \sin {\sqrt {x^2 + y^2}}\,dxdy = \iint\limits_S r\sin \phi \,drd\phi$
Задание 3 из 5

3.
Расположите данные интегралы в порядке возрастания их значений (для вычисления каждого из них воспользуйтесь переходом к цилиндрическим, сферическим или полярным координатам).
- $\iint\limits_U {xy\,dydx}, U: 1 \leq x^2 + y^2 \leq 5$
- $\iiint\limits_U {\left( {{x^4} + 2{x^2}{y^2} + {y^4}} \right)\,dxdydz} , U: 0 \leq z \leq 1, x^2 + y^2 \leq 1$
- $\iiint\limits_U {\sqrt {{x^2} + {y^2} + {z^2}}\,dxdydz}, U: x^2 + y^2 + z^2 \leq 25$
Задание 4 из 5

4.
Переход к каким координатам (полярным, сферическим или цилиндрическим) наиболее упростит вычисление интеграла $\iiint\limits_U {\left( {{x^4} + 2{x^2}{y^2} + {y^4}} \right)\,dxdydz},$ где область $U$ задается следующим образом: $x^2+y^2 \leq 1, 0 \leq z \leq 1?$
- цилиндрическим
- сферическим
- полярным
Задание 5 из 5

5.
Вычислите c помощью перехода к полярным координатам интеграл $\iint\limits_Uxy^2\,dxdy,$ $U = \{(x, y)| 4 \leq x^2 + y^2 \leq 16, x \geq 0, y \leq 0\}.$ Для обозначения деления используйте символ «/», для обозначения числа $\pi$ — «pi».

Таблица лучших: Переход к полярным, цилиндрическим и сферическим координатам при вычислении кратных интегралов

максимум из 7 баллов
Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Вычисления площадей плоских областей, ограниченных кривыми, заданными параметрически и в полярных координатах

Параметрическое задание

Пусть границами криволинейной трапеции являются прямые $x=a, x=b$ , ось абсцисс и параметрически заданная кривая

$\left\{\begin{matrix} y=\varphi (t); \\ x=\psi (t); \end{matrix} \right.$

Причем: функции $x$ и $y$ непрерывны на интервале $[a,b]$ , $a<b$ ; $x=\varphi (t)$ монотонно возрастает на этом интервале и $\varphi (\alpha )=a, \psi (\beta )=b$ .

Тогда площадь криволинейной трапеции находится по формуле $S(G)=\int\limits_\alpha ^\beta \psi (t)*\varphi ‘(t)dt$

Эта формула получается из формулы площади криволинейной трапеции $S(G)=\int\limits_\alpha ^\beta \psi (t)*\varphi ‘(t)dt$ подстановкой: $S(G)=\int\limits_\alpha^\beta \psi (t)*\varphi ‘(t)dt$

Если функция является монотонно убывающей на интервале $[\beta ,\alpha], \beta < \alpha$ , то формула примет следующий вид: $S(G)=-\int\limits_{\beta }^{\alpha }\psi (t)*\varphi ‘(t)dt$

Что делать, если нам дана не криволинейная трапеция? Свести данную фигуру к ней. Поделить её на части (прямыми, параллельными абсциссе и ординате), площадь которых уже можно будет посчитать описанным выше способом.

Примеры:

Спойлер

Дан эллипс $\left\{\begin{matrix} x=2\cos t\\y=3\sin t \end{matrix}\right.$ . Посчитать его площадь.

Делим эллипс абсциссой и ординатой на 4 симметричные части.

Очевидно, их площади равны — а площадь эллипса получается равной площади верхней правой четверти, умноженной на 4.

Считаем её. Она равна
$-\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}3\sin t*(2\cos )’ dt=$ $6\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}\sin ^{2}t dt=$ $3\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}(1-\cos 2t)dt=$ $\frac{3\pi }{2}$

Умножаем площадь одной четверти на 4, и:

Ответ — $6\pi$

[свернуть]

Спойлер

Дана линия,заданная функциями $x=2t-t^2$ и $y=2t^2-t^3.$
Найти площадь ограниченной ею и осью ОХ фигуры.
Находим производную $y'$ , она равна $(2t^2-t^3)’=4t-3t^3$ .
Находим $t$ , при которых наша линия пересекается с осью $OX$ . Это $t=0$ и $t=2$ . Составляем формулу площади:

$S=\int\limits_{0}^{2}(2t-t^2)(4t-3t^2)dt$ ;

$S=\int\limits_{0}^{2}(3t^4-10t^3+8t^2)dt$ ;

$S=\frac{3t^5}{5}-\frac{5t^4}{2}+\frac{8t^3}{3}|^2_0$ ;

$S=\frac{8}{15}$ ;
Ответ — $\frac{8}{15}$ .

[свернуть]

Полярное задание

А что, если функции, ограничивающие нашу область, заданы полярно?
Есть простая формула:

$S=\frac{1}{2} \int\limits_{\alpha }^{\beta }r^{2}d\varphi$ Здесь

$\alpha$ и

$\beta$ — значения углов, ограничивающих фигуру,

$r$ — расстояние от начала координат до точки,

$\varphi$ — угол. Уравнение функции в полярных координатах —

$r=f(\varphi )$

Помните: в полярных координатах тоже стоит делить область на простые части.

Пример:

Спойлер

Найдём площадь круга. Задан уравнением $r=a$ .

Площадь круга в первом квадранте — $S=\frac{1}{2} \int\limits_{0 }^{\frac{\pi }{2} }a^{2}d\varphi$

Преобразуем этот интеграл:

$S=\frac{1}{2}*\frac{\pi }{2}*a^{2}=\frac{\pi a^{2}}{4}$ .

Площадь всего круга — учетверённая площадь одной четверти, которую мы и подсчитали выше.

$S= \pi a^{2}$

[свернуть]

Источники:

Тест

Вычисления площадей плоских областей, заданных параметрически и в полярных координатах

В этом тесте предоставлены упражнения по пройденной теме. Если внимательно изучили материал, следовали всем данным ссылкам и рекомендациям,то вам не составит труда выполнить эти задания.

Задание 1 из 3

1.
По какой формуле находится площадь криволинейной трапеции?
- $S(G)=-\int\limits_{\alpha }^{\beta }\psi (t)*\varphi '(t)dt$
- $S(G)=\int\limits_{\beta }^{\alpha }\psi (t)*\varphi '(t)dt$
- $S(G)=\int\limits_{\alpha }^{\beta }\psi (t)*\varphi '(t)dt$
- ни один из вариантов не является правильным
Правильно

Неправильно
Задание 2 из 3

2.
При решении задач на вычисление площади плоской области, заданной параметрически, удобно придерживаться следующего порядка:
- - построить в декартовых координатах фигуру, площадь которой требуется найти;
- - найти точки пересечения кривых, образующих границу области для определения пределов интегрирования;
- - записать формулу для вычисления и найти площадь.
Правильно

Неправильно
Задание 3 из 3

3.
Вычислить площадь фигуры ограниченной эллипсом $\cfrac{x^2}{a^2}+\cfrac{y^2}{b^2}=1$
- $\pi ab$
- $ab$
- $\frac{1}{2}\pi ab$
- ни один из вариантов не является правильным
Правильно

Неправильно

Таблица лучших: Вычисления площадей плоских областей, заданных параметрически и в полярных координатах

максимум из 14 баллов
Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Средний результат
Ваш результат

Средний результат
Ваш результат

Средний результат
Ваш результат

Примеры решения задач

Площадь в полярных координатах

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

3.

4.

См. также:

Использование полярных координат

Использование цилиндрических и сферических координат

Литература

Навигация (только номера заданий)

Информация

Тест: Использование полярных, цилиндрических и сферических координат для вычисления кратных интегралов

Результаты

Рубрики

1.

Элементы сортировки

2.

3.

4.

5.

Таблица лучших: Переход к полярным, цилиндрическим и сферическим координатам при вычислении кратных интегралов

Параметрическое задание

Примеры:

Полярное задание

Пример:

Источники:

Тест

Вычисления площадей плоских областей, заданных параметрически и в полярных координатах

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

3.

Таблица лучших: Вычисления площадей плоских областей, заданных параметрически и в полярных координатах