Множество всех подстановок порядка [latex]n[/latex] с операцией умножения подстановок образуют группу [latex]S_n[/latex]. Единичным элементом группы является подстановка [latex]e=

$\begin{pmatrix}1&2&\cdots&n\\1&2&\cdots&n\end{pmatrix}$ [/latex], обратной подстановкой для [latex]\pi=

$\begin{pmatrix}i_1&i_2&\cdots&i_n\\j_1&j_2&\cdots&j_n\end{pmatrix}$ [/latex] является [latex]\pi^{-1}=

$\begin{pmatrix}j_1&j_2&\cdots&j_n\\i_1&i_2&\cdots&i_n\end{pmatrix}$ [/latex]. Порядок этой группы равен [latex]n![/latex].
Группа [latex]S_n[/latex] называется симметрической группой порядка [latex]n[/latex] .
При [latex]n>2[/latex] группа [latex]S_n[/latex] не коммутативна.

Пример

Группа [latex]S_3[/latex] состоит из шести элементов: [latex]e=

$\begin{pmatrix}1&2&3\\1&2&3\end{pmatrix}$ ,

$\begin{pmatrix}1&2&3\\1&3&2\end{pmatrix}$ ,

$\begin{pmatrix}1&2&3\\2&1&3\end{pmatrix}$ ,

$\begin{pmatrix}1&2&3\\2&3&1\end{pmatrix}$ ,

$\begin{pmatrix}1&2&3\\3&1&2\end{pmatrix}$ ,

$\begin{pmatrix}1&2&3\\3&2&1\end{pmatrix}$ .[/latex] Эта группа не коммутативна: произведение [latex]

$\begin{pmatrix}1&2&3\\1&2&3\end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix}1&2&3\\1&3&2\end{pmatrix}$ [/latex] равно [latex]

$\begin{pmatrix}1&2&3\\2&1&3\end{pmatrix}$ [/latex], что отлично от [latex]

$\begin{pmatrix}1&2&3\\1&3&2\end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix}1&2&3\\2&3&1\end{pmatrix}$ =

$\begin{pmatrix}1&2&3\\3&2&1\end{pmatrix}$ [/latex].

Задача

Доказать, что порядок группы [latex]S_n[/latex] равен [latex]n![/latex].

Спойлер

Источники

Кострикин А.И. «Введение в алгебру», 1994, стр.60
Конспект лекций Г.С.Белозёрова

Структуры и подструктуры

Тест на тему «Простейшие задачи на определение структур группы, кольца, поля. Подструктуры.Циклическая группа. Симметрическая группа.». Прочтите все четыре статьи, прежде чем проходить тест.

Задание 1 из 3

1.
Какое из нижеприведенных множеств образует группу?
- Неотрицательные числа относительно сложения
- Целые числа относительно вычитания
- Целые числа, кратные данному натуральному числу n , относительно сложения
- Рациональные числа относительно умножения
Правильно

Неправильно
Задание 2 из 3

2.
В каком порядке следует доказывать, что некоторое кольцо [latex]R[/latex] является подкольцом кольца [latex]G[/latex]?
- Проверить, является ли G кольцом
- Проверить, является ли R кольцом
- Проверить, что $\forall a,b\in R (a+b)\in R$
- Проверить, что $\forall a,b\in R_1 ab\in R_1$
Правильно

Неправильно

Задание 3 из 3

3.

Осуществите сортировку

Элементы сортировки

матрицы порядка n с действительными числами относительно сложения
Числа вида $a+b\sqrt{2}$ , где $a,b\in Z,$ относительно сложения и умножения
Комплексные числа относительно сложения и умножения

Группа

Кольцо

Поле

Порядок группы

Пусть [latex]\left(G,*\right)[/latex] — группа, если [latex]G[/latex] — конечное множество, то порядком группы называется число элементов [latex]G[/latex] и обозначается [latex]\left|G \right|[/latex] или [latex]\mathrm{card}[/latex] [latex]G[/latex]. Если [latex]G[/latex] — бесконечно, то порядок бесконечен.

Порядок элемента группы

Пусть [latex]\left(G,*\right)[/latex] — произвольная группа и [latex]a[/latex] — некоторый ее элемент. Имеются две возможности:

Все степени элемента [latex]a[/latex] различны, то есть [latex]m\neq n[/latex] [latex]\Rightarrow[/latex] [latex]a^{m} \neq a^{n}[/latex]. В этом случае говорят, что элемент [latex]a\in G[/latex] имеет бесконечный порядок.
Имеются совпадения [latex]a^{m}=a^{n}[/latex] при [latex]m\neq n[/latex]. Если, например, [latex]m>n[/latex], то [latex]a^{m-n}=e[/latex], то есть существуют положительные степени элемента [latex]a\in G[/latex], равные единичному элементу. Пусть [latex]q\ -[/latex] наименьший положительный показатель, для которого [latex]a^{q}=e.[/latex] Тогда говорят, что [latex]a[/latex] — элемент конечного порядка [latex]q[/latex].

В конечной группе [latex]\left(G,*\right)[/latex] все элементы будут конечного порядка.

Порядок группы с циклическими подгруппами

Пусть [latex]\left(G,*\right)[/latex] — данная группа. Любой ее элемент порождает некоторую циклическую подгруппу. Если [latex]\left(G,*\right)[/latex] — конечная группа, то и все ее циклические подгруппы конечны. Порядок группы [latex]\left(G,*\right)[/latex] делится на порядок ее любой подгруппы, в частности, на порядок любой циклической подгруппы. Этот порядок равен порядку образующего элемента. Таким образом, верна следующая теорема.

Теорема

Порядок конечной группы делится на порядок любого ее элемента.

Спойлер

Примеры:

Пусть [latex]\left(G,+ \right)[/latex] — группа, где [latex]G=\left\{1,2,3,4 \right\}[/latex]. Найти порядок группы.
Ответ: [latex]\left|G \right|=4[/latex]
Пусть [latex]\left(G,* \right)[/latex] — группа, где [latex]G=\mathbb N[/latex]. Найти порядок группы.
Ответ: [latex]\left|G \right|=\infty[/latex]

Литература:

Белозеров Г.С. Конспект лекций
Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре. М.:Наука, 1984, стр. 247
Кострикин А.И. Введение в алгебру. Часть I. Основы алгебры. М.:Физико-математическая литература, 2000, стр. 142-143

Порядок группы

Тест для проверки знаний по теме «Порядок группы»

Задание 1 из 4

1.
Количество баллов: 1
[latex]\left(G,+\right)[/latex] — группа, где [latex]G=\left\{1,2,3,4,6,7,8,9,10\right\}[/latex]. Какой порядок этой группы?
- 10
- 9
- 1
Правильно

Правильно

Неправильно

Неправильно
Задание 2 из 4

2.
Количество баллов: 1
Пусть [latex]\left(G,*\right)[/latex] — группа. Если [latex]G[/latex] — конечное множество, то порядком группы называется
Правильно

Правильно

Неправильно

Неправильно
Задание 3 из 4

3.
Количество баллов: 1
Как обозначается порядок группы?
- $\left|G\right|$
- $\left[G \right]$
- $\left( G \right)$
Правильно

Правильно

Неправильно

Неправильно

Задание 4 из 4

4.

Количество баллов: 1

Установить соответствие между множеством [latex]G[/latex], из которого состоят группы и порядком этих групп.

Элементы сортировки

$n$
15
$\infty$
0

$G=\left\{1,2,...,n\right\}$

$\left\{g\in \left[0,15 \right] \mid g\in \mathbb{N} \right\}$

$G= \mathbb{Z}$

Множество действительных корней уравнения

$y^{4}+2y^{2}+1=0$

Таблица лучших: Порядок группы

максимум из 4 баллов
Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Метка: порядок

Симметрическая группа

Пример

Задача

Источники

Структуры и подструктуры

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

3.

Элементы сортировки

Порядок группы

Порядок группы

Порядок элемента группы

Порядок группы с циклическими подгруппами

Теорема

Примеры:

Литература:

Порядок группы

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

3.

4.

Элементы сортировки

Таблица лучших: Порядок группы

Средний результат
Ваш результат