Метка: построение асимптот

Напомним, что различают три вида асимптот: вертикальные, горизонтальные и наклонные, которые могут быть как односторонними так и двусторонними.

Определение 1. Пусть функция $f$ определена на отрезке $(a; + \infty )$. Прямая $y = kx + b$ называется асимптотой (или наклонной асимптотой) графика функции $f$ при $x \to + \infty$, если

$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } (f(x) — (kx + b)) = 0$

По аналогии определяется (наклонная асимптота) при $x \to — \infty$.

Итак, прямая $x=0$ является двусторонней вертикальной асимптотой графика функции $y = \frac{1}{x}$.
Определение 2. Пусть функция $f$ определена на $( — \infty ,a)$. Прямая $y = kx + b$ называется асимптотой (или наклонной асимптотой) графика функции $f$ при $x \to — \infty$ если

$\mathop {\lim }\limits_{x \to — \infty } (f(x) — (kx + b)) = 0$

Определение 3. Прямая $x = {x_0}$ называется вертикальной асимптотой графика функции $f$, если хотя бы одна из границ или

$f(x_0 + 0) = \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0 + 0} f(x) = \infty$

равны бесконечности. Отсюда следует, что вертикальные асимптоты графика функции  $f(x)$ могут быть только при наличии граничных точек области определения функции или точек разрыва.

Что бы найти вертикальные асимптоты графика функции $f$, надо найти такие значения${x_0}$, для которых выполняется одно или оба предыдущих условия. 

Пример 1.Найдем вертикальные асимптоты графика функции $y = {e^{\frac{1}{{x — 2}}}}$. Ясно, что эта функция определена во всех точках числовой оси $R$, кроме точки $x=2$. Вычислим пределы:

$\mathop{\lim }\limits_{x \to 2 — 0} {e^{\frac{1}{{x — 2}}}} = 0$

и

$\mathop{\lim }\limits_{x \to 2 + 0} {e^{\frac{1}{{x — 2}}}} = \infty$

Следовательно, прямая $x=2$ является односторонней вертикальной асимптотой графика рассматриваемой функции при $x \to 2 + 0$.

Пример 2.Выясним существует ли вертикальные асимптоты у графика функции $y = \frac{1}{x}$. Эта функция определена на множестве всех вещественных чисел кроме нуля причем

$\mathop {\lim }\limits_{x \to — 0} \frac{1}{x} =- \infty$

и

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{1}{x} =\infty$

Иными словами, если мы имеем кривую, которая отдаляется в бесконечность, и если расстояние от точки кривой к некоторой прямой при отдалении точки в бесконечность стремится к нулю, то эта прямая называется асимптотой кривой.

Из определения наклонной асимптоты следует следующее утверждение.
Для того, что бы График функции $f$ имел при $x \to \pm \infty$ наклонную асимптоту $y = kx + b$, необходимо и достаточно, что бы

$k = \mathop {\lim }\limits_{x \to\pm \infty } \frac{{f(x)}}{x}$

$b = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } (f(x) — kx)$

Пример 3. Найти асимптоты графика

$f(x) = \frac{{{x^2} — 3x + 1}}{x}$

Функция определена на всей числовой оси кроме нуля. Вычислим пределы:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to +0} \frac{x — 3x + 1}{x}=+\infty$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to -0} \frac{x — 3x + 1}{x}=-\infty$

Следовательно, прямая $x=0$ — двухсторонняя вертикальная асимптота графика рассматриваемой функции.

Для нахождения наклонных асимптот графика представим эту функцию в виде

$f(x) = \frac{{{x^2} — 3x + 1}}{x} = x — 3 + \frac{1}{x}$

Так как $1/x \to 0$ при $x\to \infty$, то из определения наклонной асимптоты следует, что прямая $y=x-3$ является двухсторонней наклонной асимптотой графика указанной функции. Поскольку $1/x>0$ при $x>0$ и $1/x<0$ при $x<0$, кривая графика лежит выше асимптоты при $x \to -\infty$.

Литература

• Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа — М.: Высш.школа, 1981, т I — 687 с. ( с. 374- 375).
• Вартаняна Г.М. Конспект лекций по математическому анализу  ч. 1.(с. 52-53).
• Лысенко З.М. Конспект лекций по математическому анализу.
• Исследование функций