Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/SuppMathOperators.js

Первый замечательный предел

sin x xПервым замечательным пределом называется равенство

limx0sin xx=1 ,

где величина x выражена в радианах.

 

 

Спойлер

Примеры

Замечание: примеры для данной темы желательно разбирать только после прочтения материала о замене переменной при вычислении предела

Спойлер
Спойлер
Спойлер

Тест

Тест на использование первого замечательно предела

Источники

Тер-Крикоров A.M., Шабунин М.И. Курс математического анализа: Учеб. пособие для вузов.  3-е изд., исправл. — М.: ФИЗМАТ-ЛИТ, 2001.(стр. 97-98)

В. И. Коляда, А. А. Кореновский. Курс лекций по математическому анализу. К93:в 2-х ч. Ч. 1. — Одесса: Астропринт, 2009. (стр. 60-62)  

Б.П.Демидович. Cборник задач и упражнений по математическому анализу (стр 58-60)

Различные типы пределов: бесконечные пределы в конечной точке и на бесконечности

Бесконечные пределы в конечной точке

Проколотой окрестностью точки a называется:

˙Uδ(a)=(aδ;a)(a;a+δ).

Пусть функция f(x) определена в некоторой проколотой окрестности точки a. Говорят, что f(x) имеет бесконечный предел в этой точке (limxaf(x)=), если:

ε>0δ>0:x˙Uδ(a):|f(x)|>ε.

В этом случае функцию называют бесконечно большой при xa. Данный общий случай можно разделить на два частных:

limxaf(x)=+ε>0δ>0:x˙Uδ(a):f(x)>ε

и, соответственно

limxaf(x)=ε>0δ>0:x˙Uδ(a):f(x)<ε.

Пример 1

Дана функция f(x)=1x:
frac1x
Найти предел при x0.

Спойлер

Пределы на бесконечности

Число A называют пределом функции f(x) на бесконечности (limxf(x)=A), если

ε>0δε>0:|x|>δε:|f(x)A|<ε.

Отсюда, очевидно, следуют определения предела на +:

limx+f(x)=Aε>0δε>0:x>δε:|f(x)A|<ε

и на :

limxf(x)=Aε>0δε>0:x<δε:|f(x)A|<ε.

Абсолютно аналогично определяется бесконечный предел на бесконечности:

limxf(x)=ε>0δε>0:|x|>δε:|f(x)|>ε
limxf(x)=+ε>0δε>0:|x|>δε:f(x)>ε
limxf(x)=ε>0δε>0:|x|>δε:f(x)<ε
limxf(x)=ε>0δε>0:x<δε:|f(x)|>ε
limx+f(x)=ε>0δε>0:x>δε:|f(x)|>ε

Пример 2

Рассмотрим функцию f(x)=lnx2:
lnxpow2

Спойлер

Литература

  1. Тер-Киркоров А.М., Шабунин М.И., Курс математического анализа, физмат-лит, 2001 г., стр. 79-80
  2. Демидович Б.П., Сборник задач и упражнений по математическому анализу, физмат-лит, 1966 г., стр. 50

Тест


Таблица лучших: Бесконечные пределы в конечной точке и на бесконечности

максимум из 17 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Различные типы пределов: односторонние конечные пределы

Определения

Односторонний предел по Коши

Число A называют левосторонним пределом функции f(x) в точке a:

A=limxa0f(x),

если

ε>0δε>0x:aδε<x<a:|f(x)A|<ε

Аналогично, число A» называют правосторонним пределом функции f(x) в точке a:

A»=limxa+0f(x),

если

ε>0δε>0x:a<x<a+δε:|f(x)A»|<ε

Односторонний предел по Гейне

Число A называют левосторонним пределом функции f(x) в точке a:

A=limxa0f(x),

если

[latex]\forall \left \{ x_{n} \right \}_{n=1 }^{\infty }:(\forall k \in \mathbb{N}:x_{k}

Аналогично, число A» называют правосторонним пределом функции f(x) в точке a:

A»=limxa+0f(x),

если

{xn}n=1:(kN:xk>a)limnxn=alimn{f(xn)}n=1=A»

Пределы слева и справа называют односторонними пределами.
Соответственно, функция f(x) называется непрерывной слева (справа) в точке a, если

limxa0f(x)=f(a)(limxa+0f(x)=f(a)).

Теорема

Функция f(x) имеет предел в точке a тогда и только тогда, когда существуют равные между собой односторонние пределы в этой точке. В этом случае их общее значение является пределом функции в точке a.

Спойлер

Пример

Дана функция f(x)=\rm sgn(x):\: \left\{\begin{matrix}1, x>0;\\ 0, x=0;\\ -1, x<0.\end{matrix}\right.
signx
Выяснить существует ли предел в точке 0.

Спойлер

Литература

  1. Тер-Киркоров А.М., Шабунин М.И., Курс математического анализа, физмат-лит, 2001. стр. 77-79
  2. Кудрявцев Л.Д., Курс математического анализа, 2003, т.1. стр. 185-189

Тест


Таблица лучших: Односторонние конечные пределы

максимум из 10 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных