Первым замечательным пределом называется равенство

[latex] \lim_{x \to 0}\frac{\sin\ x}{x}=1[/latex] ,

где величина [latex]x[/latex] выражена в радианах.

Примеры

Замечание: примеры для данной темы желательно разбирать только после прочтения материала о замене переменной при вычислении предела

Тест

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 8 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5
6. 6
7. 7
8. 8

Информация

Тест на использование первого замечательно предела

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Средний результат
Ваш результат

Рубрики

1. Математический анализ 0%

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

максимум из 18 баллов

Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5
6. 6
7. 7
8. 8

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 8

   1.

   Найти предел [latex]\lim_{x \to 0}\frac{\sin\ x}{x}[/latex]
   Правильно
   

   Неправильно
   

   Перечитайте теоретический материал
2. Задание 2 из 8

   2.

   Найти предел [latex]\lim_{x \to 0}\frac{\sin\ 5x}{x}[/latex]
   Правильно
   

   Неправильно
   

   Правильный ответ 5

   Подсказка

   Попробуйте замену [latex]t=5x;x=\frac{t}{5}[/latex]
3. Задание 3 из 8

   3.

   Найти предел [latex] \lim_{x \to 0}\frac{\sin{mx}}{\sin{nx}}[/latex], если m и n -целые числа

   • $$\frac{n}{m}$$
   • $$\frac{m}{n}$$
   Правильно
   

   Неправильно
   

   Подсказка

   Попробуйте умножить числитель на [latex]m\cdot nx[/latex] и знаменатель на [latex]n\cdot mx[/latex]
4. Задание 4 из 8

   4.

   Найдите предел [latex] \lim_{x \to \infty }\frac{\sin\ x}{x}[/latex]

   • $$0$$
   • $$1$$
   Правильно
   

   Неправильно
   

   Обращайте внимание на то к чему стремится переменая
5. Задание 5 из 8

   5.

   Найти предел [latex] \lim_{x \to a}\frac{\sin{x}-\sin{a}}{x-a}[/latex]

   • $$\sin{x}$$
   • $$\frac{1}{\sin{a}}$$
   • $$\cos{a}$$
   Правильно
   

   Неправильно
   
6. Задание 6 из 8

   6.

   Найти предел [latex] \lim_{x \to a}\frac{tg\ x-tg\ a}{x-a}[/latex]

   • $$\cos{a}$$
   • $$0$$
   • $$\frac{1}{\cos^2{a}}$$
   • $$x-a$$
   Правильно
   

   Неправильно
   
7. Задание 7 из 8

   7.

   Найти предел [latex]\lim_{x\to 0}\frac{1-\sqrt{\cos{x}}}{1-\cos{\sqrt{x}}}[/latex]
   Правильно
   

   Неправильно
   

   Правильный ответ 0
8. Задание 8 из 8

   8.

   Отсортируйте по значения пределов по возростанию

   • $$\lim_{x\to 0}x~ctg~3x$$
   • $$\lim_{x\to \pi/4}tg~2x~tg\left ( \frac{\pi}{4}-x \right )$$
   • $$\lim_{x\to 0}\frac{\sin{5x}-\sin{3x}}{\sin{x}}$$
   • $$\lim_{x\to 0}\frac{\cos{x}-\cos{3x}}{x^2}$$
   Правильно
   

   Неправильно
   

Источники

Тер-Крикоров A.M., Шабунин М.И. Курс математического анализа: Учеб. пособие для вузов.  3-е изд., исправл. — М.: ФИЗМАТ-ЛИТ, 2001.(стр. 97-98). 

В. И. Коляда, А. А. Кореновский. Курс лекций по математическому анализу. К93:в 2-х ч. Ч. 1. — Одесса: Астропринт, 2009. (стр. 60-62)  

Б.П.Демидович. Cборник задач и упражнений по математическому анализу (стр 58-60)

Бесконечные пределы в конечной точке

Проколотой окрестностью точки [latex]a[/latex] называется:

[latex]\dot{U}_{\delta }(a)=(a-\delta ;a)\cup (a;a+\delta ).[/latex]

Пусть функция [latex]f(x)[/latex] определена в некоторой проколотой окрестности точки [latex]a.[/latex] Говорят, что [latex]f(x)[/latex] имеет бесконечный предел в этой точке [latex](\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)= \infty),[/latex] если:

[latex]\forall \varepsilon >0 \: \exists \delta>0 :\forall x\in\dot{U}_{\delta }(a):\: |f(x)|>\varepsilon.[/latex]

В этом случае функцию называют бесконечно большой при [latex]x\rightarrow a.[/latex] Данный общий случай можно разделить на два частных:

[latex]\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)= +\infty\Leftrightarrow \forall \varepsilon >0 \: \exists \delta>0 :\forall x\in\dot{U}_{\delta }(a):\: f(x)>\varepsilon[/latex]

и, соответственно

[latex]\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)= -\infty \Leftrightarrow \forall \varepsilon >0 \: \exists \delta>0 :\forall x\in\dot{U}_{\delta }(a):\: f(x)<-\varepsilon.[/latex]

Пример 1

Дана функция [latex]f(x)=\frac{1}{x}:[/latex]

Найти предел при [latex]x\rightarrow 0.[/latex]

Пределы на бесконечности

Число [latex]A[/latex] называют пределом функции [latex]f(x)[/latex] на бесконечности [latex](\lim\limits_{x\rightarrow \infty }f(x)=A),[/latex] если

[latex]\forall \varepsilon >0\: \exists \delta _{\varepsilon }>0:\forall |x|>\delta _{\varepsilon }:\: |f(x)-A|<\varepsilon.[/latex]

Отсюда, очевидно, следуют определения предела на [latex]+\infty:[/latex]

[latex]\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }f(x)=A\Leftrightarrow \forall \varepsilon >0\: \exists \delta _{\varepsilon }>0:\forall x >\delta _{\varepsilon }:\: |f(x)-A|<\varepsilon[/latex]

и на [latex]-\infty:[/latex]

[latex]\lim\limits_{x\rightarrow -\infty }f(x)=A\Leftrightarrow \forall \varepsilon >0\: \exists \delta _{\varepsilon }>0:\forall x<-\delta _{\varepsilon }:\: |f(x)-A|<\varepsilon.[/latex]

Абсолютно аналогично определяется бесконечный предел на бесконечности:

[latex]\lim\limits_{x\rightarrow \infty }f(x)=\infty \Leftrightarrow \forall \varepsilon >0\: \exists \delta _{\varepsilon }>0:\forall |x|>\delta _{\varepsilon }:\: |f(x)|>\varepsilon[/latex]
[latex]\lim\limits_{x\rightarrow \infty }f(x)=+ \infty \Leftrightarrow \forall \varepsilon >0\: \exists \delta _{\varepsilon }>0:\forall |x|>\delta _{\varepsilon }:\: f(x)>\varepsilon[/latex]
[latex]\lim\limits_{x\rightarrow \infty }f(x)=- \infty \Leftrightarrow \forall \varepsilon >0\: \exists \delta _{\varepsilon }>0:\forall |x|>\delta _{\varepsilon }:\: f(x)<-\varepsilon[/latex]
[latex]\lim\limits_{x\rightarrow -\infty }f(x)=\infty \Leftrightarrow \forall \varepsilon >0\: \exists \delta _{\varepsilon }>0:\forall x<-\delta _{\varepsilon }:\: |f(x)|>\varepsilon[/latex]
[latex]\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }f(x)=\infty \Leftrightarrow \forall \varepsilon >0\: \exists \delta _{\varepsilon }>0:\forall x>\delta _{\varepsilon }:\: |f(x)|>\varepsilon[/latex]

Пример 2

Рассмотрим функцию [latex]f(x)=\ln x^{2}:[/latex]

Литература

1. Тер-Киркоров А.М., Шабунин М.И., Курс математического анализа, физмат-лит, 2001 г., стр. 79-80
2. Демидович Б.П., Сборник задач и упражнений по математическому анализу, физмат-лит, 1966 г., стр. 50

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 6 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5
6. 6

Информация

Тест

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 6

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Средний результат
Ваш результат

Рубрики

1. Математический анализ 0%

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

максимум из 17 баллов

Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5
6. 6

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 6

   1.

   
   Сопоставьте записи в кванторах с определениями:

   Элементы сортировки

   • \(\forall \varepsilon >0\: \exists \delta >0:\forall x \in \dot{U}_{\delta }(a): |f(x)|>\varepsilon\)
   • \(\forall \varepsilon >0\: \exists \delta >0:\forall x>\delta: |f(x)-A|<\varepsilon\)
   • \(\forall \varepsilon >0\: \exists \delta >0:\forall x \in \dot{U}_{\delta }(a): f(x)>\varepsilon\)
   • \(\forall \varepsilon >0\: \exists \delta >0:\forall x>\delta: \left |f(x) \right |>\varepsilon\)

   • Функция бесконечно большая при \( x\rightarrow a \)

   • Предел функции равен \(A\) при \(x\rightarrow +\infty\)

   • Предел функции равен \(+\infty\) при \(x\rightarrow a\)

   • Функция бесконечно большая при \(x\rightarrow +\infty\)

   Правильно
   

   Неправильно
   
2. Задание 2 из 6

   2.

   
   Проколотой \(\delta \)-окрестностью точки \(a\) называется:

   • \((x-\delta )\cup (x+\delta )\), где \(x\in (a-\delta;a+\delta)\)
   • \((a-\delta )\cup (a+\delta )\)
   • \(\bigcup_{1}^{n}(x_{i-1}:x_{i})\), где \(x_{0}=a-\delta\) и \(x_{n}=a+\delta\)
   Правильно
   

   Неправильно
   
3. Задание 3 из 6

   3.

   
   Проанализируйте график функции \(|e^{2x+2}+1|-1\):
   

   • функция \(f(x)\) ограничена на всей числовой оси
   • функция \(f(x)\) ограничена в некоторой окрестности точки \(-1\)
   • \(\lim\limits_{x\rightarrow -\infty }f(x)=2\)
   • функция \(f(x)\) не имеет предела при \(x\rightarrow +\infty\)
   • предел функции \(f(x)\) при \(x\rightarrow +\infty\) равен \(+\infty\)
   Правильно
   

   Неправильно
   
4. Задание 4 из 6

   4.

   
   Функция, удовлетворяющая условию \( \forall x_{1},x_{2}:x_{1}<x_{2}:f(x_{1})<f(x_{2}) \) называется:
   Правильно
   

   Неправильно
   
5. Задание 5 из 6

   5.

   
   Заполните пропуски.

   • Функция имеет (бесконечный) предел при \(x\rightarrow a\), если для (любого, всякого) \(\varepsilon \) (существует, есть) \( \delta \), что для всех \(x\) из \((a-\delta ;a)\cup (a;a+\delta )\) \(|f(x)|>\) (эпсилон, епсилон)
   Правильно
   

   Неправильно
   
6. Задание 6 из 6

   6.

   
   Расположите пределы функции \(f(x)=\frac{-x}{6x^{2}-7}\)в таком порядке:
   \(x\rightarrow-\infty \), \(x\rightarrow-0 \), \(x\rightarrow+0 \), \(x\rightarrow+\infty \):

   • +0
   • \(+\infty \)
   • \(-\infty \)
   • -0
   Правильно
   

   Неправильно
   

Определения

Односторонний предел по Коши

Число [latex]A^{‘}[/latex] называют левосторонним пределом функции [latex]f(x)[/latex] в точке [latex]a:[/latex]

[latex]A^{‘}=\lim\limits_{x\rightarrow a-0} f(x),[/latex]

если

[latex]\forall \varepsilon >0\: \: \exists\delta _{\varepsilon }>0\: \:\forall x:a-\delta _{\varepsilon }<x<a:|f(x)-A^{‘}|<\varepsilon[/latex]

Аналогично, число [latex]A^{»}[/latex] называют правосторонним пределом функции [latex]f(x)[/latex] в точке [latex]a:[/latex]

[latex]A^{»}=\lim\limits_{x\rightarrow a+0}f(x),[/latex]

если

[latex]\forall \varepsilon >0\: \: \exists\delta _{\varepsilon }>0\: \:\forall x:a<x<a+\delta _{\varepsilon }:|f(x)-A^{»}|<\varepsilon[/latex]

Односторонний предел по Гейне

Число [latex]A^{‘}[/latex] называют левосторонним пределом функции [latex]f(x)[/latex] в точке [latex]a:[/latex]

[latex]A^{‘}=\lim\limits_{x\rightarrow a-0} f(x),[/latex]

если

[latex]\forall \left \{ x_{n} \right \}_{n=1 }^{\infty }:(\forall k \in \mathbb{N}:x_{k}

Аналогично, число [latex]A^{»}[/latex] называют правосторонним пределом функции [latex]f(x)[/latex] в точке [latex]a:[/latex]

1. Тер-Киркоров А.М., Шабунин М.И., Курс математического анализа, физмат-лит, 2001. стр. 77-79
2. Кудрявцев Л.Д., Курс математического анализа, 2003, т.1. стр. 185-189

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 4 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4

Информация

Тест

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 4

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Средний результат
Ваш результат

Рубрики

1. Математический анализ 0%

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

максимум из 10 баллов

Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 4

   1.

   
   Функция \(f(x)\) называется непрерывной слева, если

   • \(\exists \lim\limits_{x\rightarrow a-0}f(x)=f(a)\)
   • \(\exists \lim\limits_{x\rightarrow a+0}f(x)=f(a)\)
   • \(\forall x\in (a-\delta_{0})\: \lim\limits_{x\rightarrow a}=f(a)\)
   • \(\forall x\in (a+\delta_{0})\: \lim\limits_{x\rightarrow a}=f(a)\)
   Правильно
   

   Неправильно
   
2. Задание 2 из 4

   2.

   
   Сопоставьте записи в кванторах с определениями:

   Элементы сортировки

   • \(\forall \varepsilon >0\: \: \exists\delta _{\varepsilon }>0\: \:\forall x:a-\delta _{\varepsilon }<x<a:|f(x)-A|<\varepsilon\)
   • \(\forall \left \{ x_{n} \right \}_{n=1 }^{\infty }:(\forall k \in \mathbb{N}:x_{k}<a )\vee \lim\limits_{n\rightarrow \infty}x_{n}=a\Rightarrow \lim\limits_{n\rightarrow \infty}\left \{ f(x_{n}) \right \}_{n=1 }^{\infty }=A\)
   • \(\forall \varepsilon >0\: \: \exists\delta _{\varepsilon }>0\: \:\forall x:a<x<a+\delta _{\varepsilon }:|f(x)-A|<\varepsilon\)
   • \(\forall \left \{ x_{n} \right \}_{n=1 }^{\infty }:(\forall k \in \mathbb{N}:x_{k}>a )\vee \lim\limits_{n\rightarrow \infty}x_{n}=a\Rightarrow \lim\limits_{n\rightarrow \infty}\left \{ f(x_{n}) \right \}_{n=1 }^{\infty }=A\)

   • Определение левостороннего предела по Коши

   • Определение левостороннего предела по Гейне

   • Определение правостороннего предела по Коши

   • Определение правостороннего предела по Гейне

   Правильно
   

   Неправильно
   
3. Задание 3 из 4

   3.

   
   Заполните пропуски.

   • Функция \(f(x)\) имеет предел в точке \(a\) тогда и только тогда, когда существуют (равные, одинаковые) между собой (односторонние) пределы в этой точке.
   Правильно
   

   Неправильно
   
4. Задание 4 из 4

   4.

   
   Найти односторонние пределы функции \(f(x)=\frac{1}{x}\) при \(x\rightarrow 0\):

   • Правый предел = \(+\infty\)
   • Левый предел = \(-\infty\)
   • Правый предел = \(-\infty\)
   • Левый предел = \(+\infty\)
   Правильно
   

   Неправильно