Свойства пределов, связанные с алгебраическими операциями

Если функции [latex]f(x)[/latex] и [latex]g(x)[/latex] имеют конечные пределы в точке [latex]a[/latex], причем [latex]\lim_{x\rightarrow a}f(x)=A[/latex] и [latex]\lim_{x\rightarrow a}g(x)=B[/latex] то:

1. [latex]\lim_{x\rightarrow a}(f(x)+g(x))=A+B[/latex]

Доказательство
Так как функции [latex]f(x)[/latex] и [latex]g(x)[/latex] имеют предел в точке [latex]a[/latex], то при [latex]x\rightarrow a[/latex] величины [latex]h_{f}(x)=A-f(x)[/latex] и [latex]h_{g}(x)=B-g(x)[/latex] будут бесконечно малыми. Отсюда, согласно свойствам бесконечно малых [latex]h_{f}+h_{g}=(A+B)-(f(x)+g(x))[/latex] также будет бесконечно малой величиной. Что в свою очередь означает, что [latex]\lim_{x\rightarrow a}(f(x)+g(x))=A+B[/latex]

2. [latex]\lim_{x\rightarrow a}(f(x)g(x))=AB[/latex]

Доказательство
Так как функции [latex]f(x)[/latex] и [latex]g(x)[/latex] имеют предел в точке [latex]a[/latex], то при [latex]x\rightarrow a[/latex] величины [latex]h_{f}(x)=A-f(x)[/latex] и [latex]h_{g}(x)=B-g(x)[/latex] будут бесконечно малыми. Поэтому [latex]g(x)=A-h_{f}(x)[/latex] и [latex]g(x)=B-h_{g}(x)[/latex]. Отсюда
[latex]\\f(x)g(x)=(A-h_{f})(B-h_{g})\\f(x)g(x)=AB-Ah_{g}-Bh_{f}+h_{f}h_{g}\\AB-f(x)g(x)=Ah_{g}+Bh_{f}-h_{f}h_{g}[/latex]
Согласно свойствам бесконечно малых, величина в правой части — бесконечно малая. Что в свою очередь означает, что [latex]\lim_{x\rightarrow a}(f(x)g(x))=AB[/latex]

3. [latex]\lim_{x\rightarrow a}(\frac{f(x)}{g(x)})=\frac{A}{B}[/latex], причем [latex]B\neq 0[/latex]

Доказательство
Условие [latex]\lim_{x\rightarrow a}(\frac{f(x)}{g(x)})=\frac{A}{B}[/latex] эквивалентно тому, что разность [latex]\frac{A}{B}-\frac{f(x)}{g(x)}[/latex]
бесконечно малая величина при [latex]x\rightarrow a[/latex]. Покажем, что это утверждение имеет место. Приведем к общему знаменателю, получим [latex]\frac{Ag(x)-Bf(x)}{Bg(x)}[/latex]. Рассмотрим предел числителя дроби.
[latex]\\\lim_{x\rightarrow a}(Ag(x)-Bf(x))\\A\lim_{x\rightarrow a}g(x)-B\lim_{x\rightarrow a}f(x)\\AB-BA=0\: \Rightarrow \frac{A}{B}-\frac{f(x)}{g(x)}=0[/latex]
Что в свою очередь означает, что [latex]\lim_{x\rightarrow a}(\frac{f(x)}{g(x)})=\frac{A}{B}[/latex]

Свойства пределов, связанные с неравенствами

1. Теорема о двух милиционерах

Если [latex]\exists \delta > 0:\forall x\in \dot{U}_{\delta }(a)[/latex] выполняются неравенства [latex]g(x)\leqslant f(x)\leqslant h(x)[/latex] и если [latex]\lim_{x\rightarrow a}g(x)= \lim_{x\rightarrow a}h(x)=A[/latex] то [latex]\exists \lim_{x\rightarrow a}f(x)=A[/latex].
Доказательство
Воспользуемся определением предела по Гейне. Пусть [latex]\begin{Bmatrix}x_{n}\end{Bmatrix}[/latex] — последовательность из [latex]\dot{U}_{\delta }(a)[/latex], причем [latex]\lim_{x\rightarrow \infty }x_{n}=a[/latex]. Тогда выполняются условия [latex]g(x_{n})\leqslant f(x_{n})\leqslant h(x_{n})[/latex] и [latex]\lim_{n\rightarrow \infty}g(x_{n})= \lim_{n\rightarrow \infty}h(x_{n})=A[/latex]. Тогда в силу свойств пределов последовательностей [latex]\lim _{n\rightarrow \infty }f(x_{n})=A[/latex]. Следовательно [latex]\lim _{x\rightarrow a }f(x)=A[/latex].
Теорему можно проиллюстрировать следующим графиком:


2. Если [latex]\exists\delta >0:\forall x\in \dot{U}_{\delta }(a)[/latex] выполняется неравенство [latex]f(x)\leqslant g(x)[/latex] и если[latex]\lim_{x\rightarrow a}f(x)=A[/latex], [latex]\lim_{x\rightarrow a}g(x)=B[/latex], то [latex]A\leqslant B[/latex].

Доказательство
Воспользуемся определением предела по Гейне. Пусть [latex]\begin{Bmatrix}x_{n}\end{Bmatrix}[/latex] — последовательность из [latex]\dot{U}_{\delta }(a)[/latex], тогда числа [latex]A[/latex] и [latex]B[/latex] будут пределами последовательности [latex]\begin{Bmatrix}x_{n}\end{Bmatrix}_{1}^{\infty }[/latex] т.е. [latex]\lim_{n\rightarrow \infty }f(x_{n})=A[/latex] и [latex]\lim_{n\rightarrow \infty }g(x_{n})=B[/latex] Тогда в силу свойств пределов последовательностей [latex]A\leqslant B[/latex].

Литература

1. Тер-Киркоров А.М., Шабунин М.И., Курс математического анализа, физмат-лит, 2001. стр. 81-84

Следующая тема →

Рассмотрим вычисление пределов с помощью формулы Тейлора на примерах:

$latex 1)\; \;

\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{tg x-\frac{x}{1+x^{2}} }{\sin x-sh x}=\begin{bmatrix}
tg x=x+\frac{x^{3}}{3}+\circ (x^{2})\\
-\frac{1}{1+x^{2}}=1-x^{2}+\circ (x^{2})\\
-x\frac{1}{1+x^{2}}=x(1-x^{2}+\circ (x^{2}))=x-x^{3}+\circ (x^{3})\\
tg x-\frac{x}{1+x^{2}}=x+\frac{x^{3}}{3}+\circ (x^{2})-x+x^{3}-\circ (x^{3})=\frac{4}{3}x^{3}+\circ (x^{3})\\

\sin x=x-\frac{x^{3}}{3!}+\circ (x^{4})\\

sh x=x+\frac{x^{3}}{3!}+\circ (x^{4})\\

\sin x-sh x=x-\frac{x^{3}}{3!}-x-\frac{x^{3}}{3!}+\circ (x^{4})=-\frac{1}{3}x^{3}+\circ (x^{4})\\

\end{bmatrix}=\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\frac{4}{3}x^{3}+\circ (x^{3})}{-\frac{1}{3}x^{3}+\circ (x^{4})}=-4 &s=4

$

$latex 2)\; \;

\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }x(\sqrt{x^{2}+2x}-2\sqrt{x^{2}+x}+x)=\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }x(\sqrt{x^{2}(1+\frac{2}{x})}-2\sqrt{x^{2}(1+\frac{1}{x})}+x)=\begin{bmatrix}
t=\frac{1}{x}\\
t\rightarrow 0\\
\end{bmatrix}=\lim\limits_{t\rightarrow 0}\frac{1}{t^{2}}(\sqrt{1+2t}-2\sqrt{1+t}+1)=\begin{bmatrix}
(1+x)^{\alpha }=1+\frac{\alpha }{1!}x+\frac{\alpha(\alpha-1) }{2!}x^{2}+\circ (x^{2})\\
(1+2t)^{\frac{1}{2}}=1+\frac{\frac{1}{2}}{1!}2t+\frac{\frac{1}{2}(-\frac{1}{2}) }{2!}4t^{2}+\circ (t^{2})\\
(1+t)^{\frac{1}{2}}=1+\frac{\frac{1}{2}}{1!}t+\frac{\frac{1}{2}(-\frac{1}{2}) }{2!}t^{2}+\circ (t^{2})\\

\end{bmatrix}=\lim\limits_{t\rightarrow 0}\frac{1}{t^{2}}(1+t-\frac{1}{2}t^{2}-2-t+\frac{1}{4}t^{2}+\circ (t^{2})+1)=\lim\limits_{t\rightarrow 0}\frac{1}{t^{2}}*(-\frac{1}{4})t^{2}+\circ \frac{(t^{2})}{t^{2}}=\begin{bmatrix}
\circ \frac{(t^{2})}{t^{2}}\rightarrow 0\\
\end{bmatrix}=-\frac{1}{4} &s=1

$

Источники:

• Лысенко З.М. Конспект лекций по курсу математического анализа. (тема «Вычисление предела с помощью формулы Тейлора»).
• Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа.Выпуск 2, 1982 год. Часть 1. Глава 8, пар. 16, стр 278-281.

Спойлер

1. Утверждение 1
2. Утверждение 2
3. Утверждение 3
4. Утверждение 4
5. Утверждение 5
6. Утверждение 6
7. Утверждение 7
8. Утверждение 8
9. Тест
10. Источники