Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

15.3.2 Признаки Абеля и Дирихле

Аналогом интегрирования по частям для сумм является следующее равенство, которое называют преобразованием Абеля:
ni=1αiβi=n1i=1(αiαi+1)Bi+αnBn,
где Bi=ij=1βj(i=1,2,,n). Для его доказательства обозначим
B0=0. Тогда получим
ni=1αiβi=ni=1αi(BiBi1)=ni=1αiBini=1αiBi1= =n1i=1αiBi+αnBnn1i=1αi+1Bi=n1i=1(αiαi+1)Bi+αnBn,
и тем самым завершается доказательство преобразования Абеля.

Лемма

Пусть числа αi(i=1,2,,n) монотонны (возрастают или убывают). Тогда справедливо неравенство
|ni=1αiβi|max1kn|Bk|(|α1|+2|αn|)

Применим преобразование Абеля
|ni=1αiβi|=|n1i=1(αiαi+1)Bi+αnBn|
max1kn|Bk|(n1i=1|αiαi+1|+|αn|)=
=max1kn|Bk|(|α1αn|+|αn|)max1kn|Bk|(|α1|+2|αn|),
и тем самым лемма доказана.

Теорема (признак Абеля)

Пусть последовательность {an} монотонна (возрастающая или убывающая) и ограничена, а последовательность {bn} такова, что сходится ряд n=1bn. Тогда ряд n=1anbn сходится.

Доказательство основано на применении критерия Коши . В силу этого критерия, нам нужно оценить отрезок Коши
n+pk=n+1akbkpi=1an+ibn+i
Обозначим αi=an+i,βi=bn+i. Пользуясь леммой, получим
|n+pk=n+1akbk|=|pi=1αiβi|max1kp|Bk|(|α1|+2|αp|)=
=max1kp|n+ki=n+1bi|(|an+1|+2|an+p|)(15.16)
По условию, ряд n=1bn сходится. Поэтому, в силу критерия Коши, для любого ε>0 найдется такой номер N, что при любом nN и при любом kN справедливо неравенство |n+ki=n+1bi|<ε. Далее, в силу
ограниченности последовательности {an}, найдется такое M, что |an|M(n=1,2,). Из неравенства (15.16), для заданного ε>0 и nN имеем
|n+pi=n+1aibi|3Mε,
где произвольное pN. Таким образом, для ряда i=1aibi выполнено условие критерия Коши, в силу которого этот ряд сходится.

Теорема (признак Дирихле)

Пусть последовательность {an} монотонно стремится к нулю, а последовательность {bn} такова, что частичные суммы Bn=ni=1bi ограничены, т.е существует такое M, что |Bn|M(n=1,2,). Тогда ряд n=1anbn сходится.

В силу неравенства (15.16), полученного при доказательстве предыдущей теоремы,
|n+pk=n+1akbk|max1kp|Bn+kBn|(|an+1|+2|an+p|)(15.17)
Зададим ε>0 и, пользуясь условиями теоремы, найдем такой номер N, что |an|<ε при всех nN. Тогда из (15.17) и из ограниченности Bi следует
|n+pk=n+1akbk|2M3ε=6Mε(nN,pN)
Таким образом, для ряда n=1anbn выполнено условие критерия Коши, в силу которого этот ряд сходится.

Замечание. Теорема Лейбница является частным случаем признака Дирихле, в котором an=un,bn=(1)n1.

Примеры:

Пример 1.
Доказать, что ряд n=11nsinnα сходится по Дирихле.

Решение:
Положим an=1n, тогда последовательность {an}n=1 монотонно стремится к нулю т.к.

  1. limn1n=0
  2. an+1an=nn+1<1

Положим также bn=sinnα, тогда по формуле суммы синусов кратных углов получим
nk=1sinnα=sinnα2sin(n+1)α2sinα2,α2πm,(m=0,±1,)
и отсюда
|nk=1sinnα|=|sinnα2sin(n+1)α2sinα2|1|sinα2|M,α2πm,(m=0,±1,),
что и значит что наши суммы ограничены константой M. Подытожив, имеем последовательность {an}n=1, монотонно сходящуюся к 0 и последовательность {bn}n=1, частичные суммы которой ограниченны. Тогда по признаку Дирихле ряд n=11nsinnα сходится.

Пример 2.
Исследовать ряд n=1sinnsinn2n2 на сходимость.

Решение:
Пусть {bn}n=1={sinnsinn2}n=1, покажем, что частичные суммы ограниченны.
nk=1bk=nk=1sinksink2=nk=1cos(kk2)cos(k+k2)2=(cos02cos22)+
+(cos(2)2cos62)+(cos(6)2cos122)+(cos(12)2cos202)+
+(cos(nn2)2cos(n+n2)2)=12cos(n+n2)2
|nk=1bk|=|12cos(n+n2)2|12+|cos(n+n2)|212+12=1
Получили, что частичные суммы последовательности {bn}n=1 в совокупности ограниченны единицей.
Теперь пусть {an}n=1={n2}n=1. Убедимся, что {an}n=1 монотонно стремится к нулю.

  1. limn1n2=0
  2. an+1an=n2(n+1)2<1

Действительно, {an}n=1 монотонно стремится к нулю.
Значит ряд n=1sinnsinn2n2 сходится по Дирихле.

Пример 3.
Доказать, что ряд n=1sinπn12lnncosπn сходится по Абелю.

Решение:
Выделим в исходном ряде 2 последовательности: {sinπn12lnn}n=1 и {cosπn}n=1. Докажем, что ряд n=1sinπn12lnn сходится:
Пусть an=1lnn, тогда последовательность {an}n=1 монотонно стремится к нулю т.к.

  1. limn1lnn=0
  2. an+1an=lnnlnn+1<1

И пусть bn=sinπn12, отсюда из формулы суммы синусов кратных углов следует, что
|nk=1sinπn12|=|sinπ24nsin(π24(n+1))sinπ24|1|sinπ24|M,
значит частичные суммы последовательности {bn}n=1 ограничены. По признаку Дирихле ряд сходится.
Последовательность {cosπn}n=1 ограниченна единицей и монотонна т.к. косинус на промежутке [π;0) монотонно убывает.

Оба условия признака Абеля выполнены, а значит ряд сходится.

Тест по теме: "Признаки Абеля и Дирихле"

Небольшой тест, чтобы закрепить теоретический материал.