Аналогом интегрирования по частям для сумм является следующее равенство, которое называют преобразованием Абеля:
n∑i=1αiβi=n−1∑i=1(αi—αi+1)Bi+αnBn,
где Bi=∑ij=1βj(i=1,2,…,n). Для его доказательства обозначим
B0=0. Тогда получим
n∑i=1αiβi=n∑i=1αi(Bi—Bi−1)=n∑i=1αiBi—n∑i=1αiBi−1= =n—1∑i=1αiBi+αnBn—n—1∑i=1αi+1Bi=n—1∑i=1(αi—αi+1)Bi+αnBn,
и тем самым завершается доказательство преобразования Абеля.
Пусть числа αi(i=1,2,…,n) монотонны (возрастают или убывают). Тогда справедливо неравенство
|n∑i=1αiβi|⩽max1⩽k⩽n|Bk|(|α1|+2|αn|)
Применим преобразование Абеля
|n∑i=1αiβi|=|n—1∑i=1(αi—αi+1)Bi+αnBn|⩽
⩽max1⩽k⩽n|Bk|(n—1∑i=1|αi—αi+1|+|αn|)=
=max1⩽k⩽n|Bk|(|α1—αn|+|αn|)⩽max1⩽k⩽n|Bk|(|α1|+2|αn|),
и тем самым лемма доказана.
Пусть последовательность {an} монотонна (возрастающая или убывающая) и ограничена, а последовательность {bn} такова, что сходится ряд ∑∞n=1bn. Тогда ряд ∑∞n=1anbn сходится.
Доказательство основано на применении критерия Коши . В силу этого критерия, нам нужно оценить отрезок Коши
n+p∑k=n+1akbk≡p∑i=1an+ibn+i
Обозначим αi=an+i,βi=bn+i. Пользуясь леммой, получим
|n+p∑k=n+1akbk|=|p∑i=1αiβi|⩽max1⩽k⩽p|Bk|(|α1|+2|αp|)=
=max1⩽k⩽p|n+k∑i=n+1bi|(|an+1|+2|an+p|)(15.16)
По условию, ряд ∑∞n=1bn сходится. Поэтому, в силу критерия Коши, для любого ε>0 найдется такой номер N, что при любом n⩾N и при любом k∈N справедливо неравенство |∑n+ki=n+1bi|<ε. Далее, в силу
ограниченности последовательности {an}, найдется такое M, что |an|≤M(n=1,2,…). Из неравенства (15.16), для заданного ε>0 и n⩾N имеем
|n+p∑i=n+1aibi|⩽3M⋅ε,
где произвольное p∈N. Таким образом, для ряда ∑∞i=1aibi выполнено условие критерия Коши, в силу которого этот ряд сходится.
Пусть последовательность {an} монотонно стремится к нулю, а последовательность {bn} такова, что частичные суммы Bn=∑ni=1bi ограничены, т.е существует такое M, что |Bn|≤M(n=1,2,…). Тогда ряд ∑∞n=1anbn сходится.
В силу неравенства (15.16), полученного при доказательстве предыдущей теоремы,
|n+p∑k=n+1akbk|⩽max1⩽k⩽p|Bn+k—Bn|(|an+1|+2|an+p|)(15.17)
Зададим ε>0 и, пользуясь условиями теоремы, найдем такой номер N, что |an|<ε при всех n⩾N. Тогда из (15.17) и из ограниченности Bi следует
|n+p∑k=n+1akbk|⩽2M⋅3ε=6Mε(n⩾N,p∈N)
Таким образом, для ряда ∑∞n=1anbn выполнено условие критерия Коши, в силу которого этот ряд сходится.
Замечание. Теорема Лейбница является частным случаем признака Дирихле, в котором an=un,bn=(−1)n−1.
Примеры:
Пример 1.
Доказать, что ряд ∞∑n=11nsinnα сходится по Дирихле.
Решение:
- limn→∞1n=0
- an+1an=nn+1<1
Положим также bn=sinnα, тогда по формуле суммы синусов кратных углов получим
n∑k=1sinnα=sinnα2⋅sin(n+1)α2sinα2,α≠2πm,(m=0,±1,…)
и отсюда
|n∑k=1sinnα|=|sinnα2⋅sin(n+1)α2sinα2|⩽1|sinα2|≡M,α≠2πm,(m=0,±1,…),
что и значит что наши суммы ограничены константой M. Подытожив, имеем последовательность {an}∞n=1, монотонно сходящуюся к 0 и последовательность {bn}∞n=1, частичные суммы которой ограниченны. Тогда по признаку Дирихле ряд ∑∞n=11nsinnα сходится.
Пример 2.
Исследовать ряд ∞∑n=1sinn⋅sinn2n2 на сходимость.
Решение:
n∑k=1bk=n∑k=1sink⋅sink2=n∑k=1cos(k—k2)—cos(k+k2)2=(cos02—cos22)+
+(cos(−2)2—cos62)+(cos(−6)2—cos122)+(cos(−12)2—cos202)+⋯
+(cos(n—n2)2—cos(n+n2)2)=12—cos(n+n2)2
|n∑k=1bk|=|12—cos(n+n2)2|⩽12+|cos(n+n2)|2⩽12+12=1
Получили, что частичные суммы последовательности {bn}∞n=1 в совокупности ограниченны единицей.
Теперь пусть {an}∞n=1={n2}∞n=1. Убедимся, что {an}∞n=1 монотонно стремится к нулю.
- limn→∞1n2=0
- an+1an=n2(n+1)2<1
Действительно, {an}∞n=1 монотонно стремится к нулю.
Значит ряд ∞∑n=1sinn⋅sinn2n2 сходится по Дирихле.
Пример 3.
Доказать, что ряд ∞∑n=1sinπn12lnncosπn сходится по Абелю.
Решение:
Пусть an=1lnn, тогда последовательность {an}∞n=1 монотонно стремится к нулю т.к.
- limn→∞1lnn=0
- an+1an=lnnlnn+1<1
И пусть bn=sinπn12, отсюда из формулы суммы синусов кратных углов следует, что
|n∑k=1sinπn12|=|sinπ24n⋅sin(π24(n+1))sinπ24|⩽1|sinπ24|≡M,
значит частичные суммы последовательности {bn}∞n=1 ограничены. По признаку Дирихле ряд сходится.
Последовательность {cosπn}∞n=1 ограниченна единицей и монотонна т.к. косинус на промежутке [π;0) монотонно убывает.
Оба условия признака Абеля выполнены, а значит ряд сходится.
Тест по теме: "Признаки Абеля и Дирихле"
Небольшой тест, чтобы закрепить теоретический материал.
- Коляда В.И., Кореновский А. А. Курс лекций по математическому анализу.- Одесса : Астропринт , 2009. стр.19-21
- Б. П. Демидович «Сборник задач и упражнений по математическому анализу» 13-е издание, 1997 М.: Изд-во Моск. ун-та, ЧеРо.
- Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа : учебник для вузов: В 3 т. Т. 2. Радиус сходимости и круг сходимости степенного ряда / Л. Д. Кудрявцев. — 5-е изд., перераб. и доп. — Москва: Дрофа, 2003. — 720 с. — c. 43-47.
- Лысенко З.М. Конспект лекций по математическому анализу.