Ограниченность сходящейся последовательности

Определение

Пусть задано метрическое пространство $X$. Последовательность $\{ x^{(n)} \}$ называется ограниченной, если существует $C > 0$ и существует $a \in X$ такие, что для любого $n \in \mathbb{N}$ выполняется неравенство: $\rho(x^{(n)}, a) \le C$.

Теорема (ограниченность сходящейся последовательности)

Если последовательность имеет предел, то она ограничена.

Доказательство

Пусть дана последовательность $\{x^{(n)}\}$ и $\lim \limits_{n \to \infty} x^{(n)} = a$. По определению сходящейся последовательности, $\lim \limits_{n \to \infty} \rho(x^{(n)}, a) = 0$. По определению ограниченной числовой последовательности, числовая последовательность $\{\rho(x^{(n)}, a)\}$ ограничена, то есть существует $C \in \mathbb{R}$ такое, что для любого $k \in \mathbb{N}$ выполняется неравенство $\rho(x^{(k)}, a) \le C$. По определению ограниченной последовательности $\{x^{(n)}\}$ — ограничена.

Спойлер

Рассмотрим последовательность $x^{(n)} = ((-1)^n, \dfrac{1}{n}, \dfrac{1}{2^n})$, $(n = 1, 2, \ldots)$ точек в пространстве $\mathbb{R}^3$ с заданной евклидовой метрикой. Эта последовательность ограничена: $\rho(x^{(n)}, 0) \le \sqrt{3}$, но не имеет предела, поскольку не имеет предела числовая последовательность, составленная из первых координат данной последовательности.

Последовательность $y_n = (\frac{n+1}{n}, \frac{1}{n}, \frac{2n-1}{n+3})$ $(n = 1, 2, \ldots)$ точек из $\mathbb{R}^3$, очевидно, имеет пределом точку $y = (1, 0, 2)$, так как сходимость в метрике $\mathbb{R}^n$ эквивалентна покоординатной.

[свернуть]

Источники

  • Конспект лекций по математическому анализу Лысенко З.М.

Литература

Предел сходящейся последовательности

Тестовые вопросы по темам «Определение предела сходящейся последовательности. Единственность предела сходящейся последоваетльности. Ограниченность сходящейся последовательности».

Ограниченность сходящейся последовательности: 2 комментария

  1. Неудачно выбран свободный тип ответа для «Следует ли из ограниченности сходящейся последовательности существование её предела?»

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *