Определение. Определенная на интервале $I$ функция $f$ называется выпуклой (выпуклой вниз) на $I$, если для любых $x^\prime, x^{\prime\prime} \in I$ и любого числа $\lambda (0 < \lambda < 1)$ выполняется неравенство
$$f (\lambda x^\prime + (1− \lambda )x^{\prime\prime}) \leqslant \lambda f (x^\prime ) + (1− \lambda )f (x^{\prime\prime}).$$

С геометрической точки зрения смысл выпуклости состоит в том, что все точки дуги графика функции $y = f(x)$ расположены не выше хорды, соединяющей концы этой дуги. Действительно, отрезок, соединяющий точки $(x^\prime , f (x^\prime ))$ и $(x^{\prime\prime} , f (x^{\prime\prime})),$ имеет вид
$$l(x) = f (x^\prime) + \frac{f (x^{\prime\prime})− f (x^\prime )}{x^{\prime\prime}− x^\prime}(x− x^\prime ).$$
При $0 <  \lambda < 1$ точка $x = \lambda x^\prime + (1− \lambda)x^{\prime\prime}$ принадлежит интервалу с концами $x^\prime$ и $x^{\prime\prime}.$ При этом неравенство, определяющее понятие выпуклости, принимает такой вид: $f(x) \leqslant l(x).$
Обозначим $x = \lambda x^\prime + (1 − \lambda)x^{\prime\prime}.$ Тогда $\lambda = \frac{x^{\prime\prime}−x}{x^{\prime\prime}− x^\prime }, 1− \lambda = \frac{x−x^\prime }{x^{\prime\prime}−x^\prime}.$ Поэтому определение выпуклости можно переписать в таком виде: функция $f$ называется выпуклой на интервале $I$, если для любых точек $x^\prime , x^{\prime\prime} \in I,$ таких, что $x^\prime < x^{\prime\prime},$ и для любого $x \in [x^\prime , x^{\prime\prime}]$справедливо неравенство
$$f(x) \leqslant f (x^\prime ) \frac{x^{\prime\prime}− x}{x^{\prime\prime}− x^\prime}+ f (x^{\prime\prime}) \frac{x− x^\prime}{x^{\prime\prime}− x^\prime}.$$
Если в определении выпуклости нестрогое неравенство заменить строгим, то получим определение строгой выпуклости вниз. С геометрической точки зрения строгая выпуклость означает, что, кроме выпуклости, график функции не содержит линейных отрезков.

Пример 1. Функция $f(x) = x,$ очевидно, выпукла вниз на всей числовой прямой.

Пример 2. Пусть $f(x) = x^2.$ Выберем произвольные $x^\prime < x^{\prime\prime}.$ Тогда для $0 < \lambda < 1$ имеем
$$(\lambda x^\prime + (1− \lambda) x^{\prime\prime} )^2 = \lambda^2 {x^\prime}^2 + 2 \lambda (1− \lambda )x^\prime x^{\prime\prime} + (1− \lambda)^2 {x^{\prime\prime}}^2 =$$
$$= \lambda {x^\prime}^2 +(1− \lambda){x^{\prime\prime}}^2 + {x^\prime}^2 ( \lambda^2− \lambda) +{x^{\prime\prime}}^2 [(1− \lambda)^2− (1− \lambda)] +2 \lambda (1− \lambda) x^\prime x^{\prime\prime} =$$

$$= \lambda {x^\prime}^2 + (1- \lambda ){x^{\prime\prime}}^2- [ \lambda (1- \lambda ) {x^{\prime}}^2 + \lambda (1- \lambda ) {x^{\prime\prime}}^2- 2 \lambda (1- \lambda ) x^\prime x^{\prime\prime} ] =$$

$$= \lambda {x^\prime}^2 + (1- \lambda ) {x^{\prime\prime}}^2- \lambda ( 1- \lambda ) ( x^\prime- x^{\prime\prime} )^2 < \lambda {x^\prime}^2 + (1- \lambda) {x^{\prime\prime}}^2$$

Это означает, что функция $f(x) = x^2$ строго выпукла вниз на $(− \infty, + \infty).$

Определение. Заданная на интервале $I$ функция $f$ называется вогнутой (выпуклой вверх) на этом интервале, если для любых $x^\prime, x^{\prime\prime} \in I$ и для любого $\lambda (0 < \lambda < 1)$ справедливо неравенство

$$f( \lambda x^\prime + (1 — \lambda) x^{\prime\prime}) \geqslant \lambda f(x^\prime) + (1 — \lambda) f(x^{\prime\prime}).$$

Ясно, что если $f$ выпукла вниз, то функция − $f$ выпукла вверх. Поэтому достаточно изучить свойства лишь выпуклых вниз (т. е. выпуклых) функций.

Зафиксируем точку $x_0 \in I.$ Из существования конечных односторонних производных $f’_{-} (x_0)$ и $f’_{+} (x_0)$ следует непрерывность $f$ в точке $x_0.$
Докажем, что существует $f’_{+} (x_0).$ Пусть $0 < h_1 < h_2$ таковы, что $x_0 + h_2 \in I.$ Тогда, в силу выпуклости $f,$
$$f (x_0 + h_1 ) \leqslant f (x_0) \frac{h_2- h_1}{h_2} + f (x_0 + h_2 ) \frac{h_1}{h_2},$$
откуда
$$\frac{f (x_0 +h_1)- f (x_0)}{h_1} \leqslant \frac{f(x_0 + h_2)- f (x_0)}{h_2}$$ Это неравенство означает, что функция  $\varphi(h) = \frac{f (x_0 + h)- f (x_0)}{h}$ убывает при убывании $h$ к нулю справа. Покажем, что $\varphi$ ограничена снизу. Пусть $\delta > 0$  такое, что $x_0- \delta \in I.$ Тогда, в силу выпуклости $f,$ для любого $h > 0$ $$f (x_0) \leqslant f ( x_0- \delta ) \frac{h}{h + \delta } + f (x_0 + h) \frac{\delta }{ h + \delta },$$ откуда
$$\frac{f (x_0)- f (x_0- \delta)}{ \delta } \leqslant \frac{f (x_0 + h)- f (x_0)}{h} = \varphi (h),$$ т. е. для любого $h > 0$ справедливо неравенство $$\varphi (h) \geqslant \frac{f (x_0)- f (x_0- \delta)}{ \delta },$$ т. е. $\varphi (h)$ ограничена снизу.
Итак, функция $\varphi (h)$ при убывающем $h,$ стремящемся к нулю справа, убывает и ограничена снизу. Следовательно, существует $$f’_{+} (x_0) = \lim_{h \to 0+} \frac{f (x_0 + h )- f (x_0)}{h} = \lim_{h \to 0+}{ \varphi (h) }.$$
Аналогично можно показать, что существует $f’_{-} (x_0).$

Замечание. Из выпуклости функции не следует ее дифференцируемость. Например, функция $f(x) = |x|$ выпукла, но не дифференцируема в нуле. Теорема 1 утверждает, что у выпуклой функции существуют лишь односторонние производные. Анализируя доказательство теоремы 1, легко установить, что для выпуклой вниз функции $f$ в каждой точке $x_0$ справедливо неравенство $f’_{+} (x_0) \geqslant f’_{-} (x_0).$ Можно доказать, что выпуклая функция дифференцируема всюду, за исключением, быть может, не более чем счетного множества точек.

Предположим противное. Тогда найдется последовательность точек $x_n \in (a, b),$ таких, что $f (x_n) <−n.$ Так как $\{x_n\}$ ограниченная последовательность, то можем выделить сходящуюся подпоследовательность $\{x_{n_k}\}.$ Пусть $x_0 = \lim_{k \to \infty}  x_{n_k}.$ Точка $x_0 \in [a, b]$ (она не обязана принадлежать $(a, b)$). Тогда либо слева от $x_0,$ либо справа от $x_0$ найдется бесконечно много элементов нашей подпоследовательности $\{x_{n_k}\},$ из которой можно выделить монотонную подпоследовательность. Обозначим ее через $\{y_k\}_{k \geqslant 0}.$ Рассмотрим случай, когда $\{y_k\}$ возрастает. Пусть $f (y_k) = −m_k \to −\infty$ при $k \to \infty.$ Обозначим $z_0 = \frac{1}{2} (y_0 + x_0) \in (a, b).$ Тогда, начиная с некоторого номера $N,$ будем иметь $z_0 \in [y_0, y_n]$ при $n \geqslant N.$
В силу выпуклости $f,$ для $n \geqslant N$ получаем $$f(z_0) \leqslant f (y_0) \frac{y_n- z_0}{y_n- y_0} + f (y_n) \frac{z_0- y_0}{y_n- y_0}.$$ Поскольку правая часть этого неравенства стремится к  $−\infty$ при $n \to \infty,$ то получаем противоречие с тем, что значение $f (z_0)$ конечно.

Замечание. Выпуклая вниз на ограниченном интервале функция не обязана быть ограниченной сверху. Например, функция $f(x) = \frac{1}{x}$ выпукла вниз на $(0, 1)$ и неограничена сверху на этом интервале.
Также выпуклая вниз на неограниченном интервале функция не обязана быть ограниченной снизу. Например, функция $f(x) = \ln \frac{1}{x}$ выпукла вниз на $(0, +\infty)$ и неограничена снизу.

Необходимость. Пусть $x_1 < x < x_2 .$ Тогда, как было показано при доказательстве теоремы 1, выпуклость функции $f$ равносильна такому неравенству: $$\frac{f(x)- f(x_1)}{x — x_1} \leqslant \frac{f(x_2)- f(x)}{x_2 -x} \quad \quad (5.5)$$ Устремляя $x \to x_1 + 0,$получаем $$f’ (x_1) = f’_{+} (x_1) = \lim_{x \to x_1 + 0} \frac{f(x)- f(x_1)}{x- x_1} \leqslant \frac{f(x_2) — f(x_1)}{x_2- x_1}.$$ С другой стороны, если устремим $x \to x_2 − 0,$ то получим $$f’ (x_2) = f’_{-} (x_2) = \lim_{x \to x_2- 0} \frac{f (x_2)- f (x)}{x_2- x} \geqslant \frac{f (x_2) — f (x_1)}{x_2 — x_1}.$$ Из двух последних неравенств следует, что $$f’ (x_1) \leqslant f’ (x_2).$$

Достаточность.  Пусть $x_1 < x < x_2.$ Так как выпуклость $f$ равносильна (5.5), то достаточно показать, что справедливо неравенство (5.5).
По теореме Лагранжа, $$\frac{f (x)- f (x_1)}{x- x_1} = f'(\xi_1), \frac{f (x_2) — f (x)}{x_2- x} = f'(\xi_2),$$
где $x1 < \xi_1 < x < \xi_2 < x_2,$ т. е. $\xi_1 < \xi_2.$ Отсюда следует (5.5).$\quad \square$

Замечание. При доказательстве достаточности мы получили, что $\xi_1 < \xi_2.$ Если производная $f’$ строго возрастает на $I,$ то $f’ (\xi_1) < f’ (\xi_2),$ откуда следует

$$\frac{f (x)- f (x_1)}{x- x_1} < \frac{f (x_2) — f (x)}{x_2- x}.$$ Это означает, что функция $f$ выпукла строго. Справедливо также и обратное, т. е. из строгой выпуклости дифференцируемой функции следует, что ее производная $f’$ строго возрастает. Действительно, в силу доказанной теоремы 3, из строгой выпуклости $f,$ в силу теоремы Лагранжа, следует неравенство $$f’ (x_1) \leqslant f’ (\xi_1) = \frac{f (x)- f (x_1)}{x- x_1} < \frac{f (x_2) — f (x)}{x_2- x} = f’ (\xi_2) \leqslant f'(x_2),$$ где $x_1 < x < x_2$ – произвольные точки из $I,$ а точки $\xi_1 \in (x_1, x), \xi_2 \in (x, x_2).$ Отсюда следует, что $f’ (x_1) < f’ (x_2).$

Замечание. Если в условии теоремы 4 производная $f^{\prime\prime} > 0,$ то $f’$ строго возрастает, и поэтому, в силу замечания к теореме 3, функция $f$ строго выпукла на $I.$ Обратное, однако, неверно. Из строгой выпуклости $f$ не следует, что $f^{\prime\prime} > 0.$ Например, функция $f(x) = x^4$ строго выпукла на $(− \infty, + \infty),$ однако $f’ (x) = 4x^3 , f^{\prime\prime}(x) = 12x^2$ и $f^{\prime\prime}(0) = 0.$

Пример 1. Пусть $f(x) = x^\alpha (0 < x < +\infty).$ Тогда $f’ (x) =  \alpha x ^{ \alpha−1} , f^{\prime\prime}(x) = \alpha (\alpha − 1) x^{\alpha −2}.$ Если $\alpha \in (0, 1),$ то $f^{\prime\prime}(x) < 0$ и $f$ вогнута (выпукла вверх). Если $\alpha \in (− \infty, 0) \cup (1, + \infty),$ то $f^{\prime\prime}(x) > 0$ и $f$ выпукла вниз.

Пример 2. Для функции $f(x) = \sin x$ имеем $f’ (x) = \cos x, f^{\prime\prime}(x) =− \sin x.$ При $x \in (2k\pi,(2k + 1)\pi)$ имеем $f^{\prime\prime}(x) < 0,$ т. е. $f$ выпукла вверх, а при $x \in ((2k− 1)\pi, 2k\pi)$ имеем $f^{\prime\prime}(x) > 0,$ т. е. $f$ выпукла вниз.

Точки перегиба. Точкой перегиба называется такая точка графика функции $y = f(x),$ которая разделяет его выпуклую и вогнутую части.

Определение. Пусть функция $f$ определена на интервале $(a, b)$ и точка $x_0 \in (a, b).$ Если на $(a, x_0)$ функция $f$ выпукла, а на $(x_0, b)$ – вогнута, или на $(a, x_0) f$ вогнута, а на $(x_0, b)$ – выпукла, то точка $(x_0, f (x_0))$ называется точкой перегиба функции $f.$

Если существует $f^{\prime\prime} (x_0)$ и $(x_0, f (x_0))$ – точка перегиба, то $f^{\prime\prime} (x_0) = 0.$ Действительно, существование $f^{\prime\prime} (x_0)$ предполагает существование $f’ (x)$ в некоторой окрестности точки $x_0.$ Если при переходе через точку $x_0$ функция $f$ меняет характер выпуклости, то, согласно теореме 3, при переходе через точку $x_0$ производная $f’ (x)$ меняет характер монотонности. Значит, в точке $x_0$ производная $f’ (x)$ имеет экстремум, откуда, в силу теоремы Ферма, $f^{\prime\prime} (x_0) = 0.$

Однако условие $f^{\prime\prime} (x_0) = 0$ не означает, что $(x_0, f (x_0))$ – точка перегиба функции $f.$ Например, для функции $f(x) = x^4$ имеем $f^{\prime\prime}(0) = 0,$ но в точке $(0, 0)$ перегиба нет.

Достаточным условием перегиба для дважды дифференцируемой функции является условие сохранения знака второй производной $f^{\prime\prime}$ слева от $x_0,$ справа от $x_0$ и его изменения при переходе через точку $x_0.$

Эта теорема является следствием теоремы 3.

Примеры решения задач

Пример 1.
Найти интервалы, при которых кубическая функция $y = x^3$ выпукла вниз и выпукла вверх.

Пример 2.
Найти точки перегиба функции $f(x) = {e^{-x}}^2.$

Пример 3. Найти точки перегиба функции $f(x) = x^3- 3x^2+ x.$

Пример 4. Найти точки перегиба функции $f(x) = \arccos(x + 2).$

Пример 5. Найти точки перегиба функции $y = \frac{\ln(x)}{x}$.

Литература

1. Коляда В.И., Кореновский А. А. Курс лекций по математическому анализу.- Одесса : Астропринт , 2009. стр.149-154;
2. Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа : учебник для вузов: В 3 т. Т. 1. Дифференциальное и интегральное исчисления функций одной переменной / Л. Д. Кудрявцев. 5-е изд., перераб. и доп. — Москва: Дрофа, 2003. стр. 365-378
3. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления: учеб. пособие для ун-тов и пед. ин-тов. Т. 1 / Г. М. Фихтенгольц. — 5-е изд., стереотип. — Москва: Физматгиз, стр. 294-303.
4. З. М. Лысенко. Лекции по математическому анализу.

Выпуклые функции и точки перегиба

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 4 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4

Информация

Этот тест проверит ваши знания касательно темы «Выпуклые функции и точки перегиба»

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 4

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Средний результат
Ваш результат

Рубрики

1. Нет рубрики 0%
2. Математический анализ 0%

максимум из 9 баллов

Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 4

   1.

   Количество баллов: 1

   Вставьте пропущенные слова

   • (точкой перегиба, точками перегиба, точка перегиба, точкоми перегиба, точкой перигиба, точка перигиба, точкай перегиба, точкай перигиба, перегиба точки, перегиба точкой, точки перегиба) называется такая точка графика функции $$y = f(x),$$ которая разделяет его выпуклую и вогнутую части.
   Правильно
   

   Неправильно
   
2. Задание 2 из 4

   2.

   Количество баллов: 3

   Установите соответствие между частями теорем:

   Элементы сортировки

   • Для того чтобы $f$ была выпуклой вниз на $I,$ необходимо и достаточно, чтобы было выполнено неравенство $f^{\prime\prime} (x) \ge 0 (x \in I).$
   • Для того чтобы $f$ была выпуклой вниз на $I,$ необходимо и достаточно, чтобы ее производная $f'$ была возрастающей на $I.$
   • Тогда $f$ ограничена снизу.

   • Пусть функция $f$ дважды дифференцируема на интервале $I.$

   • Пусть функция $f$ дифференцируема на интервале $I.$

   • Пусть функция $f$ выпукла вниз на интервале $(a, b),$ где $−\infty < a < b < +\infty.$

   Правильно
   

   Неправильно
   
3. Задание 3 из 4

   3.

   Количество баллов: 1

   Какой является функция $y = a^x?$

   • строго выпуклой вниз
   • строго выпуклой вверх
   Правильно
   

   Неправильно
   
4. Задание 4 из 4

   4.

   Количество баллов: 4

   Вычислите точки перегиба функций и отсортируйте их по количеству точек перегиба по возрастанию.

   • $f (x) = 2x$
   • $f (x) = x^3$
   • $f (x) = e^{-x^2}$
   • $\frac{x + 1}{x^2 + 1}$
   Правильно
   

   Неправильно