Формула конечных приращений Лагранжа

Определение

Выпуклой областью называется открытое множество, любые две точки которого можно соединить отрезком, лежащим в области.

Теорема (Формула конечных приращений Лагранжа)

Пусть функция [latex] f(x) [/latex] дифференцируема в выпуклой области [latex] G\subset\mathbb{R}^{n} [/latex]. Тогда для любых двух точек [latex] x= \left ( x_{1},…,x_{n} \right )\in G[/latex], [latex]y= \left ( y_{1},…,y_{n} \right )\in G [/latex] найдется такое число [latex] \theta \in \left(0,1 \right ) [/latex], что
$$f(y)-f(x)= \sum _{i=1}^{n}\frac{\partial f}{\partial x_{i}}\left (x+\theta \left ( y-x \right )\left ( y_{i}-x_{i} \right ) \right ).\ \ \ \ \ \ \ \ \ \  (1)$$

Формула [latex](1)[/latex] называется формулой конечных приращений Лагранжа.

Доказательство

Пусть точки [latex] x,y \in G [/latex]. Так как область [latex]G[/latex] выпукла, то отрезок, соединяющий точки [latex]x[/latex] и [latex]y[/latex], лежит в области [latex]G[/latex]. Поэтому определена функция одной переменной:

[latex] \varphi (t) = f(x_{1}+t(y_{1}-x_{1}),…,x_{n}+t(y_{n}-x_{n})), 0\leqslant t\leqslant 1 [/latex]. [latex](2)[/latex]

По теореме о производной сложной функции [latex]\varphi (t)[/latex] — дифференцирума на отрезке [latex][0,1][/latex] и очевидно, что [latex] \varphi (0) = f(x)[/latex], [latex]\varphi (1) = f(y) [/latex]. По правилу нахождения производной сложной функции имеем:

$$\varphi{}’ (t)=\sum_{i=1}^{n}\frac{\partial f}{\partial x}\left ( x_{1}+t(y_{1}-x_{1}),…,x_{n}+t(y_{n}-x_{n}) \right )\left ( y_{i}-x_{i} \right ). \ \ \ \ \ \ (3)$$

Применим к функции [latex] \varphi(t) [/latex] формулу приращений Лагранжа для функции одной переменной. Получаем, что найдется число [latex] \theta \in \left(0,1 \right ) [/latex] такое, что [latex] \varphi(1) — \varphi(0) = \varphi{}’ (\theta ) [/latex]. Используя формулы [latex](2)[/latex] и [latex](3)[/latex], теперь легко получаем формулу [latex](1)[/latex].[latex]\square [/latex]

[spoilergroup]

Спойлер

Доказать, что [latex]\left | \arctan x_{2} -\arctan x_{1} \right |\leqslant \left | x_{2}-x_{1} \right |[/latex], [latex]x_{1}\in \mathbb{R}[/latex], [latex]x_{2}\in \mathbb{R}[/latex]. (*)
По теореме Лагранжа для функции [latex]\arctan x[/latex] на отрезке с концами [latex]x_{1}[/latex] и [latex]x_{2}[/latex] находим
$$\arctan x_{2} — \arctan x_{1}=\frac{1}{1+\xi ^{2}}(x_{2}-x_{1}),$$
откуда получаем [latex]\left | \arctan x_{2}-\arctan x_{1} \right |=\frac{\left | x_{2}-x_{1} \right |}{1+\xi ^{2}}\leqslant \left | x_{2}-x_{1} \right |[/latex], так как [latex]0<\frac{1}{1+\xi^{2}}\leqslant 1[/latex].
Полагая в соотношении (*) [latex]x_{2}=x[/latex], [latex]x_{1}=0[/latex], получаем
[latex]\left | \arctan x \right |\leqslant \left | x \right |[/latex], [latex]x\in \mathbb{R}[/latex],
и, в часности,
[latex]0\leqslant \arctan x\leqslant x[/latex], [latex]x\geqslant 0[/latex].

[свернуть]

[/spoilergroup]

Литература

Тест

Формула конечных приращений Лагранжа

Теста на знание формулы конечных приращений Лагранжа


Таблица лучших: Формула конечных приращений Лагранжа

максимум из 10 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *