Формула конечных приращений Лагранжа

Определение

Выпуклой областью называется открытое множество, любые две точки которого можно соединить отрезком, лежащим в области.

Теорема (Формула конечных приращений Лагранжа)

Пусть функция  f(x) дифференцируема в выпуклой области  G\subset\mathbb{R}^{n} . Тогда для любых двух точек  x= \left ( x_{1},...,x_{n} \right )\in G, y= \left ( y_{1},...,y_{n} \right )\in G найдется такое число  \theta \in \left(0,1 \right ) , что
$$f(y)-f(x)= \sum _{i=1}^{n}\frac{\partial f}{\partial x_{i}}\left (x+\theta \left ( y-x \right )\left ( y_{i}-x_{i} \right ) \right ).\ \ \ \ \ \ \ \ \ \  (1)$$

Формула (1) называется формулой конечных приращений Лагранжа.

Доказательство

Пусть точки  x,y \in G . Так как область G выпукла, то отрезок, соединяющий точки x и y, лежит в области G. Поэтому определена функция одной переменной:

 \varphi (t) = f(x_{1}+t(y_{1}-x_{1}),...,x_{n}+t(y_{n}-x_{n})), 0\leqslant t\leqslant 1 . (2)

По теореме о производной сложной функции \varphi (t) — дифференцирума на отрезке [0,1] и очевидно, что  \varphi (0) = f(x), \varphi (1) = f(y) . По правилу нахождения производной сложной функции имеем:

$$\varphi{}’ (t)=\sum_{i=1}^{n}\frac{\partial f}{\partial x}\left ( x_{1}+t(y_{1}-x_{1}),…,x_{n}+t(y_{n}-x_{n}) \right )\left ( y_{i}-x_{i} \right ). \ \ \ \ \ \ (3)$$

Применим к функции  \varphi(t) формулу приращений Лагранжа для функции одной переменной. Получаем, что найдется число  \theta \in \left(0,1 \right ) такое, что  \varphi(1) - \varphi(0) = \varphi{}' (\theta ) . Используя формулы (2) и (3), теперь легко получаем формулу (1).\square

[spoilergroup]

Спойлер

Доказать, что \left | \arctan x_{2} -\arctan x_{1} \right |\leqslant \left | x_{2}-x_{1} \right |, x_{1}\in \mathbb{R}, x_{2}\in \mathbb{R}. (*)
По теореме Лагранжа для функции \arctan x на отрезке с концами x_{1} и x_{2} находим
$$\arctan x_{2} — \arctan x_{1}=\frac{1}{1+\xi ^{2}}(x_{2}-x_{1}),$$
откуда получаем \left | \arctan x_{2}-\arctan x_{1} \right |=\frac{\left | x_{2}-x_{1} \right |}{1+\xi ^{2}}\leqslant \left | x_{2}-x_{1} \right |, так как 0<\frac{1}{1+\xi^{2}}\leqslant 1.
Полагая в соотношении (*) x_{2}=x, x_{1}=0, получаем
\left | \arctan x \right |\leqslant \left | x \right |, x\in \mathbb{R},
и, в часности,
0\leqslant \arctan x\leqslant x, x\geqslant 0.

[свернуть]

[/spoilergroup]

Литература

Тест

Формула конечных приращений Лагранжа

Теста на знание формулы конечных приращений Лагранжа


Таблица лучших: Формула конечных приращений Лагранжа

максимум из 10 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *